Фізика і астрономія. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 19. Основи спеціальної теорії відносності

Постулати спеціальної теорії відносності. Після того як учені переконалися, що в усіх інерціальних системах механічні явища протікають однаково, у кінці ХІХ — на початку ХХ ст. були здійснені експерименти, спрямовані на виявлення таких явищ природи, які б змінювалися під час переходу з однієї інерціальної системи в іншу. Проте жодна спроба не була успішною. Теплові, електричні, оптичні, магнітні й атомні явища відбуваються в усіх інерціальних системах відліку однаково. Однаково протікають також хімічні й біологічні процеси.

У 1905 р. Альберт Ейнштейн висловив припущення про те, що незалежність явищ природи від вибору інерціальної системи відліку є одним з основних законів Всесвіту.

Цей постулат став першим основним положенням спеціальної теорії відносності (СТВ).

Оскільки Земля рухається по орбіті у світовому просторі (який вважався абсолютним і нерухомим), то на швидкість поширення світлового сигналу має впливати швидкість руху самої Землі. В експерименті визначали час, за який світло проходить одну й ту саму відстань у прямому і зворотному напрямках у двох випадках. В одному — світловий сигнал посилався у напрямку добового обертання Землі, а в другому — перпендикулярно до напрямку обертання Землі.

Якби швидкість поширення світлового сигналу залежала від швидкості руху джерела, то цей час був би різним. Вимірювання проводилися дуже точно за допомогою спеціального приладу — інтерферометра Майкельсона. Експерименти ставили в різний час доби і в різні пори року, а результат завжди був негативним — швидкість поширення світлового сигналу була однаковою й не залежала від швидкості руху джерела.

Отже, було встановлено, що класичний закон додавання швидкостей не справджується для явищ, пов’язаних із поширенням світла. Із цього робимо висновок і про обмеженість застосування перетворень Галілея, з яких випливає, що при складному русі швидкості руху тіл алгебраїчно додаються.

Виявились певні суперечності, які не можна було вирішити, застосовуючи закони механіки Ньютона. Учені намагалися подолати ці труднощі різними шляхами. Найреволюційнішим шляхом до розв’язання проблем підійшов Альберт Ейнштейн: не потрібно придумувати різні гіпотези — необхідно ці факти сприймати як постулати (постулат — положення, яке не можна довести логічно, це результат узагальнення дослідних фактів).

Отже, основні постулати спеціальної теорії відносності формулюються так:

1. Усі закони фізики в усіх інерціальних системах відліку однакові (принцип відносності Ейнштейна).

2. Швидкість поширення світла у вакуумі не залежить від швидкості руху джерела чи приймача, тобто є однаковою в усіх інерціальних системах відліку.

З другого постулату випливає, що швидкість поширення світла є максимально можливою швидкістю передавання взаємодії у природі. Жодний сигнал, жодна взаємодія тіл не може поширюватися зі швидкістю, більшою за швидкість світла.

Висновки теорії відносності є основою релятивістської (від. англ. relativity — відносність) механіки, що вивчає закони руху тіл, швидкість яких наближається до швидкості світла.

У повсякденному житті ми стикаємося тільки з рухом тіл зі швидкостями, набагато меншими за швидкість світла, коли всі релятивістські ефекти практично не помітні. Ми звикли до повільних рухів і позбавлені можливості уявити собі процеси за швидкостей, близьких до швидкості світла. Такі процеси недоступні ані нашим органам чуття, ані нашій уяві.

Але описуючи реальні рухи заряджених частинок (електронів, протонів, α-частинок тощо) у прискорювачах (пристроях для отримання частинок з великою кінетичною енергією — циклотронах, бетатронах, синхрофазотронах, генераторах Ван-де-Граафа тощо) та частинок високих енергій у космічних променях, виникає необхідність використовувати співвідношення саме спеціальної теорії відносності. Адже швидкість руху цих частинок наближається до швидкості поширення світла й найчастіше її виражають у частках від швидкості світла (наприклад, v = 0,99 с, де с — швидкість поширення світла у вакуумі).

Те, що ці розрахунки дають правильні результати, є підтвердженням правильності СТВ, якими б неймовірними не здавалися нам деякі висновки.

Відносність одночасності. Нехай із середини потяга, що рівномірно рухається, посилається світловий сигнал в обидва боки (мал. 112). Спостерігач у потязі помітить, що світловий сигнал досягнув голови і хвоста потяга одночасно. Спостерігач, який стояв на платформі, зазначив, що сигнал досягнув хвоста потяга раніше, ніж голови. Оскільки за другим постулатом швидкість поширення світлового сигналу однакова в обох інерціальних системах відліку, це означає, що час у цих системах не однаковий: що швидше рухається система відліку відносно спостерігача, то повільніше, з його погляду, у ній відбуваються події.

Мал. 112. Приклад, що доводить неодночасність події

До початку ХХ ст. ніхто не мав сумнівів щодо абсолютності часу. Дві події, одночасні для жителів Землі, одночасні й для жителів будь-якої космічної цивілізації. Тобто одночасність у ньютонівській механіці вважається абсолютною. Але теорія відносності довела, що це не так. Уявлення про абсолютний час, який тече раз і назавжди заданим темпом, цілком незалежно від матерії та її руху, хибне.

Події, одночасні в одній інерціальній системі відліку, не одночасні в інших інерціальних системах, що рухаються відносно першої. Одночасність подій — відносна.

Відносність інтервалів часу. Розглянемо такий уявний дослід. Припустимо, що на підлозі вагона розташоване джерело світла, а на стелі — дзеркало. Яким буде інтервал часу, протягом якого світло досягне стелі та, відбившись від дзеркала, повернеться назад?

Час, виміряний за годинником, який рухається разом з тілом (у системі відліку, пов’язаній із цим тілом), називають власним часом t₀.

Як бачимо, цей інтервал часу не залежить від того, нерухомий вагон чи рухається він рівномірно і прямолінійно.

Мал. 113. Поширення світлового сигналу відносно: а — спостерігача, що рухається разом із вагоном; б — відносно нерухомого спостерігача

Мал. 114. Інерціальні системи відліку

Нагадаємо, що співвідношення x = vt + x′, y = y′, z = z′, t = t′ називають перетвореннями Галілея. Ці рівняння дають змогу перейти від координат і часу в одній інерціальній системі відліку до координат і часу в іншій інерціальній системі. Координати тіла залежать від системи відліку, тобто є величинами відносними. Рівність t = t′ виражає абсолютний характер часу.

Згідно з теорією відносності час є величиною відносною, тому перетворення Галілея мають бути замінені більш загальними — перетвореннями Лоренца (Хендрик Антон Лоренц (1853-1928) — нідерландський фізик-теоретик).

Зв’язок між величинами, що характеризують подію в різних інерціальних системах відліку, називають перетвореннями Лоренца:

Знак «+» у чисельнику беруть, переходячи від системи K′ до системи K, знак «-» — від системи K до системи K′. Це зумовлено тим, що система K′ рухається відносно системи K зі швидкістю v, водночас можна вважати, що система K рухається відносно системи K′ зі швидкістю -v.

Як видно, у перетвореннях Лоренца взаємопов’язані координата x та час t. Для швидкостей v << c перетворення Лоренца практично не відрізняються від перетворень Галілея.

Таким чином, простір і час, які в ньютонівській механіці вважалися незалежними, у релятивістській механіці взаємопов’язані та є чотиривимірним простором—часом. Будь-яка подія характеризується чотирма величинами: координатами x, y, z, які вказують на те, де вона відбулася, і часом t, який вказує на те, коли вона відбулася. Значення цих чотирьох величин залежать від системи відліку, у якій спостерігається подія.

Відносність довжин. Довжина відрізка, яка в ньютонівській механіці вважалась абсолютною, також залежить від швидкості руху тіла відносно певної системи відліку.

Адже що означає — виміряти довжину відрізка? Це означає — одночасно вказати координати його початку і кінця: l = x₂ - x₁. Але, як ми вже знаємо, поняття одночасності є відносним. Події, одночасні в одній системі відліку, неодночасні в іншій.

Альберт Ейнштейн показав, що уявлення про абсолютну довжину відрізка виникає в нас лише тому, що ми зазвичай маємо справу зі швидкостями, набагато меншими від швидкості світла. Якщо ж система рухається відносно спостерігача зі швидкістю, близькою до швидкості світла, і в ній міститься лінійка завдовжки l₀, то з погляду такого спостерігача довжина лінійки буде меншою: l < l₀.

Довжина відрізка не є поняттям абсолютним, вона залежить від тієї системи відліку, відносно якої відбувається вимірювання. Довжина тіла в системі відліку, відносно якої воно перебуває у спокої, називається власною довжиною l₀.

Релятивістський закон додавання швидкостей. Новим релятивістським уявленням про простір і час відповідає новий закон додавання швидкостей. Очевидно, що класичний закон додавання швидкостей уже не дійсний, бо суперечить постулату про сталість світла у вакуумі. Справді, згідно з класичним законом додавання, якщо в потязі, що рухається зі швидкістю v, відправити в напрямку руху світловий сигнал, то відносно землі його швидкість має бути c + v, а це суперечить другому постулату СТВ.

Мал. 115. До виведення релятивістського закону додавання

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Сформулюйте постулати спеціальної теорії відносності.
• 2. Чим відрізняється перший постулат СТВ від принципу відносності в класичній механіці?
• 3. Що показав експеримент Майкельсона—Морлі?
• 4. Чому виникла необхідність у перегляді уявлень про простір і час?
• 5. Чому не можна стверджувати, що події, які відбуваються одночасно в одній системі відліку, є одночасними і в іншій?
• 6. Яка тривалість подій у різних інерціальних системах відліку?
• 7. У чому відмінність між перетвореннями Галілея та Лоренца?
• 8. Чи впливає на вимірювання лінійних розмірів тіла рух системи, у якій відбувається вимірювання?
• 9. Що називають власним часом і власною довжиною?
• 10. Чому класичний закон додавання швидкостей і другий закон динаміки Ньютона не узгоджуються з постулатами теорії відносності?
• 11. Як залежить імпульс тіла від його швидкості руху в спеціальній теорії відносності?

Приклади розв’язування задач

Під час розв’язування задач необхідно чітко встановити, яку систему відліку вважати рухомою, а яку — нерухомою. Визначити, яке саме тіло перебуває у стані спокою відносно рухомої системи відліку, і тоді параметри цього тіла вважати власними.

ВПРАВА 19

1. Тіло рухається відносно рухомої системи відліку зі швидкістю 0,2 с, а відносно нерухомої — зі швидкістю 0,8 с, де с — швидкість поширення світла у вакуумі. З якою швидкістю рухається система відліку відносно нерухомої системи?

2. Два тіла рухаються відносно нерухомого спостерігача рівномірно і прямолінійно у протилежних напрямках зі швидкостями 0,8 с та — 0,5 с. Визначте відносні швидкості цих тіл за класичним і релятивістським співвідношеннями.

3. Частинки рухаються назустріч одна одній зі швидкістю 0,9 с. Визначте їх відносну швидкість.

4. За якої відносної швидкості руху релятивістське скорочення довжини рухомого тіла становить 25 %?

5. Яку швидкість повинно мати рухоме тіло, щоб його поздовжні розміри зменшились удвічі?

6. У скільки разів збільшується час існування нестабільної частинки за годинником нерухомого спостерігача, якщо вона рухається зі швидкістю 0,99 с ?