§ 17. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу

Момент імпульсу, L — це характеристика обертального руху матеріальної точки (чи системи матеріальних точок), що визначається відстанню точки від осі обертання, величиною та напрямком імпульсу відносно осі обертання: L = Jω = mvr.

Момент імпульсу є векторною величиною. Напрямок вектора моменту імпульсу збігається з напрямком вектора кутової швидкості.

Закон збереження моменту імпульсу. Зміна моменту імпульсу тіла відбувається лише в результаті дії зовнішніх сил і залежить від моменту зовнішніх сил (обертального моменту). Якщо на тіло не діють зовнішні сили або їх рівнодійна не створює моменту відносно осі обертання M = 0, то зміна моменту імпульсу також дорівнює нулю: ΔJω = MΔt = 0. Якщо зміна величини ΔJω дорівнює нулю, сама величина залишається незмінною: Jω = const. Отже, ми познайомилися ще з одним законом збереження — законом збереження моменту імпульсу:

Збільшення моменту імпульсу одного з тіл має бути скомпенсованим відповідним зменшенням моменту імпульсу інших тіл системи.

Якщо розглядати окремо взяте тіло, яке не зазнає дії зовнішніх сил і не є твердим, тобто може змінювати свій момент інерції, то для такого тіла також виконується умова Jω = const. При цьому зміна моменту інерції (наприклад, збільшення) супроводжується відповідною зміною кутової швидкості (зменшенням). Продемонструємо це на прикладі.

Дівчинка стоїть на круглій платформі, яка може обертатися навколо нерухомої осі майже без тертя (мал. 107). Змінюючи положення рук (краще з гантелями), вона змінюватиме свій момент інерції, у результаті чого зміниться кутова швидкість обертання (мал. 107, б).

Мал. 107. Зміна кутової швидкості обертання внаслідок зміни моменту інерції

Цю властивість на практиці використовують балерини, акробати, танцівники, фігуристи під час виконання стрибків, переворотів тощо.

Кінетична енергія тіла, що обертається. Лінійна швидкість v матеріальної точки масою m, що обертається навколо осі О, може бути виражена через кутову швидкість ω й радіус обертання r: v = ωr.

Отже, для загального випадку руху твердого тіла, що одночасно рухається поступально й обертається, наприклад котиться, повна кінетична енергія складається з кінетичної енергії поступального руху центра мас та енергії обертального руху відносно осі, що проходить через центр мас:

Зіставлення характеристик і рівнянь механіки поступального й обертального рухів (табл. 3).

Таблиця 3

Закінчення таблиці 3

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Що називають моментом імпульсу?
2. Сформулюйте закон збереження моменту імпульсу.
3. За якої умови зміна моменту інерції зумовлює зміну кутової швидкості? Як практично використовується прийом зміни моменту інерції?
4. Виведіть формулу кінетичної енергії тіла, що обертається.
5. Якою є кінетична енергія тіла, що котиться?

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Горизонтальна платформа масою M і радіусом R обертається з кутовою швидкістю ω. На краю платформи стоїть людина масою m. З якою кутовою швидкістю ω₁обертатиметься платформа, якщо людина перейде з краю платформи до її центра? Людину можна вважати матеріальною точкою, платформу — однорідним диском.

Задача 3. Маховик масою m та радіусом R обертається навколо осі, що проходить через його центр. Кутова швидкість обертання маховика — ω. Щоб зупинити маховик, до його обода притискають гальмівну колодку, яка діє на нього із силою F_тер. Скільки обертів зробить маховик до повної зупинки? Вважайте, що маса маховика розподілена по ободу.

Задача 4. На барабан масою m = 9 кг намотано шнур, до кінця якого прив’язано вантаж масою m₀ = 2 кг. Визначте прискорення вантажу. Барабан вважайте однорідним циліндром. Тертям знехтуйте.