Розділ 1. Механіка

Ми у цьому розділі розглянемо теоретичні й прикладні результати пояснення механічних процесів у природі й техніці. Для пояснення багатьох явищ потрібно буде проявити математичну компетентність — застосувати знання з алгебри й геометрії для пояснення фізичних процесів!

§ 1. Кінематичний опис механічного руху матеріальної точки

Види механічного руху. Науку, яка вивчає механічний рух матеріальних тіл і взаємодії, які при цьому відбуваються, називають механікою. Залежно від опису руху в механіці виділяють розділи: кінематику, де вивчається рух тіл, не беручи до уваги сили; динаміку, яка вивчає рух тіл під дією сил; статику, що вивчає питання рівноваги тіл.

Закони механічного руху, які ми вивчатимемо в цьому розділі, поширюються на тіла макро- і мега світу, що рухаються зі швидкостями, набагато меншими від швидкості світла.

Механічні рухи тіл можуть бути різноманітні й складні. На малюнку 1 показані приклади поступального, обертального та коливального рухів.

Мал. 1. Приклади рухів: а — поступальний; б — обертальний; в — коливальний

У природі, як правило, тіла одночасно здійснюють кілька рухів. Наприклад, Земля обертається навколо власної осі, навколо Сонця, і разом із Сонцем рухається у напрямку до зорі Вега (мал. 2, с. 10).

Мал. 2. Складний рух Землі у просторі

Зверніть увагу, у цьому випадку ми Землю розглядали як матеріальну точку. Так можна ідеалізувати рух, якщо розміри й форма тіла в розглядуваному русі не суттєві й ними можна знехтувати. Надалі, якщо немає спеціальних застережень, вживаючи слово тіло, матимемо на увазі, що його можна розглядати як матеріальну точку.

Основною задачею механіки є опис механічного руху тіл, тобто встановлення закону руху (рівняння руху) тіла на основі його характеристик (координати, переміщення, довжини пройденого шляху, кута повороту, швидкості, прискорення тощо).

У тривимірній системі відліку рівняння руху математично записують так: x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Дослідити рух тіла (зміну його положення у просторі з плином часу) можна і за його траєкторією, шляхом і переміщенням.

Мал. 3. До введення понять радіус-вектор і переміщення

Мал. 4. Визначення модуля та напрямку вектора переміщення за його координатами

І навпаки, різниця координат може бути виражена через модуль вектора переміщення:

Таким чином, визначити положення рухомого тіла відносно вибраної системи відліку можна трьома способами: координатним, векторним і траєкторним (природним).

Зазначимо, що можна розглядати рух не лише між початковим і кінцевим положеннями тіла, а й у будь-який момент часу його руху.

Про те, як визначають координати й положення небесних тіл у безмежному Всесвіті, дізнаєтесь у § 39.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. У чому полягає основна задача механіки?
2. Для чого, досліджуючи рух, вводять систему відліку?
3. У яких випадках футбольний м’яч можна вважати матеріальною точкою, а в яких — ні? Наведіть приклади.
4. Чим різняться поняття траєкторія, пройдений шлях і переміщення?
5. Які способи опису механічного руху існують?

ВПРАВА 1

1. За що ми сплачуємо в таксі: за шлях чи переміщення?

2. У спортивній залі м’яч упав з висоти 3 м, відбився від підлоги й був зловлений на висоті 1 м. Визначте шлях і переміщення м’яча.

3. На малюнку 5 зображено траєкторію руху тіла з точки А в точку В. Визначте координати тіла на початку та в кінці руху, проекції переміщення на осі координат, модуль переміщення.

Мал. 5

4. Тіло перемістилося з точки, координати якої х₁ = 0, у₁ = 2 м, у точку з координатами х₂ = 4 м, у₂ = -1 м. Зробіть малюнок і визначте вектор переміщення та його проекції на осі координат.

5. Перед початком поїздки на одометрі автомобіля зафіксовано 40 280 км. Автомобіль проїхав 30 км прямолінійно, потім здійснив поворот, проїхавши половину кола кільцевої дороги радіусом 20 км, і зупинився. Визначте переміщення автомобіля. Якими стали покази одометра?

8. Сходинка ескалатора піднялась угору на 10 м. Людина по ескалатору за цей час спустилась униз на 5 м. Визначте й накресліть вектор переміщення людини відносно землі. Накресліть вектори переміщення ескалатора відносно землі та людини відносно ескалатора.

9. Вагон рівномірно рухається в горизонтальному напрямку. У вагоні до стелі прикріплено пружинку, на кінці якої закріплено тягарець. Тягарець здійснює вертикальні коливання. Накресліть траєкторію руху тягарця відносно вагона та відносно землі.

10. Запишіть рівняння траєкторій точок, якщо відомо залежності їх координат від часу: а) х = 2t, y = t - 1; б) х = 2t, у = 8t²; в) х = 2t, у = 0.