§ 16. Механічна енергія. Закон збереження енергії

Механічна енергія. Пригадаємо, що нам відомо про механічну енергію з курсу 9 класу.

Значення кінетичної енергії тіла залежить від вибору системи відліку. Швидкість тіла, виміряна в різних системах відліку, має різні значення, тому й кінетична енергія тіла сталої маси матиме різні значення в різних системах відліку.

У формулі для роботи сили тяжіння A = mgh₁ - mgh₂ перший член характеризує початкове положення тіла, а другий — кінцеве. Величина mgh₁ — це потенціальна енергія тіла в початковому стані, а mgh₂ — потенціальна енергія тіла в кінцевому стані. Позначивши mgh₁ = E_п1 та mgh₂ = E_п2, можна записати: A = E_п1 - E_п2 = ΔΕ_п. Робота сили тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії тіла з протилежним знаком. Знак «мінус» вказує на те, що коли сила тяжіння сама виконує роботу (тіло падає вниз), потенціальна енергія тіла зменшується. Якщо тіло кинути вертикально вгору, то робота сили тяжіння від’ємна, а потенціальна енергія тіла збільшується. Кінетична енергія тіла при цьому змінюється навпаки: під час падіння — збільшується; під час піднімання вгору — зменшується. Іншим видом механічної енергії є потенціальна.

На відміну від кінетичної енергії, яка залежить від швидкості руху тіла, потенціальна енергія може бути відмінною від нуля навіть тоді, коли тіло перебуває у стані спокою. Наприклад, вантаж масою m, який піднятий за допомогою піднімального крана на певну висоту h й утримується у спокої, має потенціальну енергію mgh. Якщо надати вантажу можливість впасти, то сила тяжіння виконає роботу, яка дорівнює потенціальній енергії вантажу.

Як видно, робота сили пружності залежить лише від початкового і кінцевого станів пружини, тому так само, як і робота сили тяжіння, не залежить від форми траєкторії. А якщо траєкторія замкнена, робота дорівнює нулю.

Закон збереження механічної енергії. Розглянемо дію закону збереження і перетворення енергії в замкненій системі, у якій тіла взаємодіють одне з одним силами пружності або (та) силами тяжіння й жодні зовнішні сили на них не діють. Така система може мати як кінетичну, так і потенціальну енергію. Кінетичну — внаслідок руху тіл системи, потенціальну — унаслідок їх взаємодії.

Як ми вже з’ясували, за будь-яких взаємодій тіл робота сил пружності (тяжіння) визначається зміною їх потенціальної енергії, взятої з протилежним знаком: A = -(E_п2- E_п1).

Водночас, робота тих самих сил, за теоремою про кінетичну енергію, визначається зміною їх кінетичної енергії: A = E_к2 - E_к1. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: -(E_п2 - E_п1) = E_к2 - E_к1, або E_к1+ E_п1 = E_к2 + E_п2.

Суму кінетичної та потенціальної енергій тіла називають повною механічною енергію тіла: Ε = E_к + E_п.

Кінетична і потенціальна енергії тіл можуть змінюватися з часом, але в замкненій системі їх сума залишається сталою. Закон збереження і перетворення повної механічної енергії формулюють так:

повна механічна енергія замкненої системи тіл, які взаємодіють силами тяжіння або (та) пружності, залишається незмінною за будь-яких взаємодій тіл між собою.

Формулюючи цей закон, завжди підкреслюють, що він справджується лише тоді, коли тіла взаємодіють силами пружності або (та) тяжіння без дії сторонніх сил.

Наприклад, якщо підняти над сталевою плитою сталеву кульку й випустити потім її з рук, вона падатиме. У міру падіння кульки її потенціальна енергія меншає, а кінетична — більшає, бо зростає швидкість руху кульки. Від удару кульки об плиту деформуються і кулька, і плита, а кінетична енергія, яку мала кулька, перетворюється в потенціальну енергію деформованих плити і кульки. Потім унаслідок дії сил пружності плита і кулька наберуть своєї початкової форми, кулька відскочить від плити, а їхня потенціальна енергія знову перетвориться в кінетичну енергію кульки: кулька підскочить угору зі швидкістю, що дорівнює швидкості, яку вона мала в момент удару об плиту. Під час піднімання вгору швидкість кульки, а отже, і її кінетична енергія, зменшується, потенціальна енергія зростає. У верхній точці підйому вся кінетична енергія кульки знову перетворюється в потенціальну.

Якщо в системі діють сили тертя (опір повітря, внутрішнє тертя в речовині кульки і плити), повна механічна енергія не залишається сталою.

Робота сили тертя завжди від’ємна, тому повна механічна енергія тіла, на яке діє лише ця сила, поступово зменшується. Робота сил тертя завжди приводить до нагрівання взаємодіючих тіл, тобто до збільшення їх внутрішньої енергії.

Якщо система незамкнена і в ній діють сили тертя (опору), то зміна механічної енергії системи дорівнює сумі робіт зовнішніх сил і внутрішніх сил тертя, тобто A + A_оп = ΔΕ.

Закон збереження і перетворення енергії дає змогу розкрити фізичний зміст поняття роботи. Робота сил тяжіння або сил пружності, з одного боку, дорівнює збільшенню кінетичної енергії, а з другого — зменшенню потенціальної енергії тіл. Таким чином, робота дорівнює зміні енергії.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Виведіть формулу для розрахунку роботи, що виконується у випадку зміни швидкості тіла.
2. Як зміниться кінетична енергія тіла, якщо сила, прикладена до тіла, виконує додатну роботу; від’ємну роботу?
3. Тіло кинули вертикально вгору. Вкажіть, додатну чи від’ємну роботу виконує сила тяжіння: а) під час піднімання тіла; б) під час його падіння.
4. Чи залежить робота сили тяжіння від траєкторії руху тіла в полі тяжіння Землі? Чому дорівнює робота сили тяжіння по замкненій траєкторії?
5. Чому дорівнює потенціальна енергія тіла, що перебуває на деякій висоті над землею? Як змінюється потенціальна енергія тіла під час його руху вгору?
6. Чому під час розрахунків роботи сили пружності використовують її середнє значення?
7. Що спільного у виразах для роботи сили пружності та роботи сили тяжіння? Що спільного в потенціальних енергіях тіла, на яке діє сила тяжіння, і тіла, на яке діє сила пружності?
8. Що таке повна механічна енергія? Сформулюйте й запишіть закон збереження повної механічної енергії.
9. У яких системах виконується закон збереження повної механічної енергії в загальному вигляді?
10. Як впливає на енергію системи тіл дія сили тертя?

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Молотом, який падає з висоти h = 12 м, забивають палю. Від удару паля заглиблюється в землю на s = 2 см. Визначте середню силу удару F_с і його тривалість τ, якщо маса молота m = 5 • 10² кг, маса палі значно менша від маси молота.

Мал. 104

Задача 2. З якої мінімальної висоти h має спускатись велосипедист, щоб проїхати за інерцією (без тертя) по внутрішній стороні велотреку у вигляді «мертвої петлі» радіусом R без відриву у верхній точці (мал. 105, с. 108)?