Фізика і астрономія. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 12. Момент сили. Рівновага тіла

Абсолютно тверде тіло. Точка прикладання сили. Ми детально розглянули закони кінематики та динаміки поступального руху матеріальної точки. Але знання законів поступального руху однієї матеріальної точки буває недостатнім для опису руху всього тіла. У складніших випадках дослідження законів руху здійснюється за допомогою моделі — абсолютно твердого тіла.

Абсолютно тверде тіло можна розглядати як систему жорстко зв’язаних матеріальних точок, розміщених на незмінних відстанях одна від одної.

Замість поняття «абсолютно тверде тіло» часто вживають термін «тверде тіло». Цією моделлю зручно користуватись у тих випадках, коли деформаціями фізичних тіл можна знехтувати.

Мал. 80. Точки прикладання сили

Досліди свідчать, що дія сили не змінюється, якщо точку прикладання переносити вздовж лінії дії сили.

Центр тяжіння тіла. Окрім точки прикладання сили, для встановлення характеру руху твердого тіла важливо знати, де міститься його центр тяжіння. Центром тяжіння тіла називають точку С всередині тіла (або поза ним), відносно якої сума моментів сил тяжіння, які діють на окремі частини тіла, дорівнює нулю. (Для деяких практичних завдань потрібно знати центр маси, його ще називають центром інерції.) Це точка, що характеризує розподіл маси в тілі або системі тіл. Найчастіше поняття «центр маси» застосовують, розглядаючи рух не одного тіла, а спільний рух декількох взаємодіючих тіл. Наприклад, рух планет Сонячної системи, системи «Земля — Місяць» (детальніше про це — в § 46).

В однорідному полі тяжіння положення центра мас тіла збігається з положенням центра тяжіння.

Положення центра тяжіння плаского тіла можна визначити за допомогою виска (мал. 81).

Мал. 81. Визначення центра тяжіння плаского тіла

Якщо тіло має центр симетрії, то центр тяжіння збігається із центром симетрії; якщо тіло має вісь симетрії, його центр тяжіння лежить на цій осі; якщо тіло має площину симетрії, його центр тяжіння лежить у цій площині. Центр тяжіння може міститись і поза тілом, наприклад, у кільця, м’яча чи сірникової коробки.

Момент сили. Будь-який рух твердого тіла можна розглядати як сукупність поступального й обертального рухів. Величина, яка характеризує обертальну дію сили на тверде тіло, називається моментом сили.

Мал. 82. Визначення моменту сили

Одиниця моменту сили в СІ — ньютон на метр, 1 Н • м.

Найкоротшу відстань від осі обертання до лінії дії сили називають плечем сили й позначають літерою d (мал. 82). Оскільки sin (180° - α) = sin α, то d = r sin α.

Тоді момент сили можна записати як добуток модуля сили та її плеча: M = Fd.

МАТЕМАТИЧНА ДОВІДКА

Момент сили називають ще обертальним моментом. Прийнято вважати момент сили від’ємним, якщо тіло обертається під дією цієї сили проти годинникової стрілки, і додатним, якщо тіло обертається за годинниковою стрілкою.

Вектор моменту сили напрямлений уздовж осі обертання (мал. 82).

З означення моменту сили стає зрозумілим, чому обертання тіла, що має нерухому вісь, може спричинити лише сила, не паралельна цій осі й така, що її не перетинає.

Досить часто трапляється дія двох рівних за модулем паралельних сил, які напрямлені у протилежних напрямках. Такі сили називають парою сил.

Розглянемо випадок, зображений на малюнку 83, а. Обидві сили обертають тіло за годинниковою стрілкою, і їхні моменти M₁ = Fd₁ та M₂ = Fd₂. Тоді момент пари сил визначається алгебраїчною сумою моментів M = Fd₁ + Fd₂ = F(d₁ + d₂) = Fl, де l — плече пари сил є найкоротшою відстанню між напрямками дії сил.

Мал. 83. Дія пари сил на стержень із закріпленою віссю обертання

Такий самий результат отримуємо й у випадку, зображеному на малюнку 83, б. Тут момент M₁ = Fd₁ — від’ємний, а момент M₂ = Fd₂ — додатний. Момент пари сил M = -Fd₁ + Fd₂ = F(d₂ - d₁) = Fl.

Таким чином, момент пари сил відносно будь-якої осі обертання дорівнює добутку однієї із сил на плече пари. Іншими словами, пара сил не має рівнодійної та обертає тіло, на яке вона діє.

Прикладами обертання тіла під дією пари сил є обертання гайки, яку закручують; обертання звареного яйця на поверхні стола, якщо його розкрутити великим і вказівним пальцями; обертання стрілки компаса в магнітному полі Землі тощо.

Умови рівноваги тіла. Розглянемо окремий випадок руху, коли рівнодійна сил і моментів сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю. У цьому разі тіло або перебуває у стані спокою (статична рівновага), або його центр тяжіння рухається з постійною швидкістю (динамічна рівновага). У загальному випадку рівновагою тіла називають такий стан механічної системи, у якому тіло залишається нерухомим відносно вибраної інерціальної системи відліку. (При цьому відносно будь-якої іншої інерціальної системи відліку центр тяжіння тіла рухатиметься поступально з постійною швидкістю.)

Згідно з другим законом Ньютона тіло може залишатись у спокої (відносно вибраної системи відліку), якщо векторна сума всіх прикладених до тіла сил дорівнює нулю.

Тому перша умова рівноваги для тіла, що не обертається, сформулюється так:

Мал. 84. Рівновага тіла під дією трьох сил

Для обчислення рівнодійної сил, як вам уже відомо, усі сили слід звести до однієї точки. Якщо в конкретній задачі тіло можна розглядати як матеріальну точку, виконання першої умови рівноваги достатньо для того, щоб тіло залишалось у спокої. Використовуючи першу умову рівноваги, можна розраховувати сили, які діють з боку тіла, що перебуває в спокої, на кілька опор або підвісів. Якщо в задачі тіло не можна вважати матеріальною точкою й сили, що діють на тіло, прикладені не в одній точці, то тіло може обертатись.

Розглянемо тверде тіло, яке не може рухатись поступально, а може тільки обертатись відносно нерухомої осі. У цьому випадку тіло перебуватиме в рівновазі (мал. 85), якщо виконується друга умова рівноваги.

Тіло перебуває в рівновазі, якщо алгебраїчна сума моментів прикладених до тіла сил дорівнює нулю:

M₁ + M₂ + ... = 0.

Мал. 85. Сили, що діють на тіло із закріпленою віссю О

Таку умову ще називають правилом моментів. Так, для тіла, зображеного на малюнку 85, друга умова рівноваги має вигляд F₁d₁ + F₃d₃ - F₂d₂ - F₄d₄ = 0.

У загальному випадку, коли тіло може одночасно й рухатися поступально, й обертатися, для його рівноваги необхідне виконання обох умов рівноваги.

Умови рівноваги не є умовами стану спокою тіла. Наприклад, колесо може котитися по горизонтальній поверхні (мал. 86) і разом з тим у будь-який момент часу для нього виконуються умови рівноваги: рівнодійна сил і сумарний момент сил, що діють на колесо, дорівнюють нулю.

Мал. 86. Сили, що діють на колесо, яке котиться по горизонтальній поверхні

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Сформулюйте умови рівноваги тіла.

2. Виконавши пояснювальні малюнки, схарактеризуйте види рівноваги тіл, що мають точку опори, нерухому вісь обертання, площу опори. Які види рівноваги можливі для цих тіл?

Експериментуємо

1. За допомогою монет визначте модуль сили тяжіння, що діє на лінійку.

2. Спробуйте в домашніх умовах провести досліди на рівновагу тіл (мал. 87).

Мал. 87 Досліди з рівноваги тіл

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Однорідна тонка пластинка має форму круга радіусом R, у якому вирізано круглий отвір удвоє меншого радіуса, що дотикається до краю пластинки (мал. 88). Де буде центр тяжіння?

Мал. 88

Задача 2. Драбина завдовжки 4 м приставлена до гладенької стіни під кутом 60° до підлоги. Коефіцієнт тертя між драбиною та підлогою 0,33. На яку висоту може піднятись людина до того, як драбина почне ковзати? Масою драбини знехтуйте.

Мал. 89. Сили, що діють на драбину

ВПРАВА 12

2. П’ять куль, маси яких відповідно m, 2m, 3m, 4m і 5m, закріплено на стержні так, що їх центри перебувають на відстані l один від одного. Нехтуючи масою стержня, визначте положення центра тяжіння системи.

3. Двоє чоловіків несуть на плечах трубу масою 80 кг і завдовжки 5 м. Перший чоловік підтримує трубу на відстані 1 м від її краю, а другий чоловік — її протилежний край. Визначте силу тиску, яку чинить труба на кожного із чоловіків.

4. Дві сторони дротяної рамки у формі рівностороннього трикутника виготовлено з алюмінієвого дроту, а одну — з мідного. Визначте положення центра тяжіння рамки, якщо дріт має однаковий переріз, а сторона трикутника дорівнює 1 м.

5. Яким чином можна визначити модуль сили тяжіння неоднорідного стержня, якщо у вашому розпорядженні є штатив з муфтою й затискачем, нитка, мідний дріт, лінійка, олівець, таблиця густин речовин і сам неоднорідний стержень.

6. На дошці завдовжки 4 м і масою 30 кг гойдаються двоє дітей: дівчинка масою 30 кг і хлопчик масою 40 кг. Де має бути в дошки точка опори, якщо діти сидять на кінцях дошки?

7. До кінця стержня АС (мал. 90) завдовжки 2 м, один кінець якого шарнірно прикріплено до стіни, а інший підтримується тросом ВС завдовжки 2,5 м, підвісили вантаж масою 120 кг. Визначте сили, що діють на трос і стержень.

Мал. 90

8. Чи може людина масою 60 кг підніматись по триметровій драбині масою 10 кг, яку встановлено під кутом 30° до стіни? Коефіцієнт тертя ковзання між стіною та драбиною — 0,3, а між підлогою та драбиною — 0,5.

9. На площині, що має кут нахилу до горизонту α, стоїть циліндр радіусом r. Якою має бути найбільша висота циліндра, за якої він ще не перекидається, якщо його виготовлено з однорідного матеріалу?

10. Колесо радіусом R і масою m стоїть перед сходинкою, висота якої h. Яку найменшу горизонтальну силу F треба прикласти до осі колеса, щоб воно могло викотитись на сходинку?