Фізика і астрономія. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

Цей підручник можна завантажити у PDF форматі на сайті тут.

§ 10. Рух під дією кількох сил

Сили пружності й тертя. Рухів, які відбуваються під дією лише однієї сили, у земних умовах практично немає. У розглянутих перед цим випадках руху тіл під дією земного тяжіння ми нехтували опором повітря. Результуючий характер руху тіла залежить від усіх прикладених до нього сил, у тому числі й тих, що перешкоджають руху (сили опору середовища, реакції опори, тертя).

Сила тяжіння є проявом гравітаційної взаємодії. Сили пружності й сили тертя, які також розглядаються в механіці, є проявом електромагнітної взаємодії (на рівні міжмолекулярної взаємодії).

При деформації тіл їх частинки зміщуються одна відносно іншої (мал. 49, а). Унаслідок цього змінюються відстані між атомами чи молекулами, з яких складаються тіла. Це приводить до зміни сил взаємодії між частинками. Якщо відстані між ними збільшуються (наприклад, при розтягуванні), то силою міжмолекулярної взаємодії є сила притягання. Якщо відстані між частинками зменшуються (наприклад, при стискуванні), то силою міжмолекулярної взаємодії є сила відштовхування. Тобто при деформації тіла в ньому виникають сили, що прагнуть повернути його в попередній стан. Ці сили і є силами пружності.

Мал. 49. Сила пружності: а — виникає внаслідок деформації; б — направлена проти зміщення частин деформованого тіла

Мал. 50. З’єднання пружин: а — паралельне; б — послідовне

Важливою особливістю сил реакції опори є те, що вони напрямлені перпендикулярно до поверхні дотику тіл (мал. 51).

Мал. 51. Напрямок сил реакції: а — підвісу; б, в — опори

Сила тертя, що також є проявом електромагнітної взаємодії, виникає тому, що поверхня будь-якого тіла має різні нерівності, виступи й западини (мал. 52, а). Коли одне тіло рухається по поверхні іншого, то нерівності перешкоджають цьому рухові. Однак природа тертя набагато складніша. Тертя можна зменшити, якщо відполірувати поверхні тіл, які перебувають у взаємодії. Оскільки розміри нерівностей стануть значно меншими, то зменшиться й тертя. Однак завжди настає момент, коли подальше полірування поверхонь не зменшує силу тертя, а навпаки, вона починає збільшуватися. Причиною цього є те, що під час полірування поверхонь відстань між верхніми шарами молекул тіл, що контактують, стає все меншою. І коли ця відстань зменшується настільки, що між молекулами обох поверхонь виникає сила взаємного притягання, сила тертя збільшується(мал. 52, б).

Мал. 52. Сила тертя: а — виникає між поверхнями дотику; б — у відполірованих тіл проявляється міжмолекулярна взаємодія, що збільшує силу тертя

Особливістю сили тертя є те, що вона виникає лише в макроскопічних системах, де внаслідок хаотичного руху атомів відбувається необоротний процес розсіяння енергії макроскопічного руху складових системи в енергію мікроскопічного руху атомів і молекул. Тобто сила тертя — це сила, яка протидіє рухові фізичного тіла, розсіюючи його механічну енергію в тепло (цю властивість (непотенційність сили тертя) детальніше розглянемо, вивчаючи енергетичні характеристики руху).

Найближчим часом розглядатимемо випадки, у яких будемо враховувати, що сила тертя залежить від: швидкості руху тіл відносно одне одного; речовини, з якої складаються тіла, що взаємодіють; стану поверхонь тіл (взаємодія твердих тіл); розмірів і форми тіла (рух твердого тіла в рідині або газі); ваги тіла.

Сила тертя спокою завжди діє вздовж поверхні дотику тіл, дорівнює за модулем і протилежна за напрямком зовнішній силі, яка намагається зрушити тіло з місця, F_т_ep_{. сп} ≤ μ_спN, тут N — сила нормального тиску (або рівна їй за модулем сила реакції опори), μ — коефіцієнт тертя, який залежить від стану поверхонь тіл і від властивостей речовини, з якої вони виготовлені.

Зрушивши з місця, тіло починає ковзати по поверхні іншого тіла, і між ними вже існує сила тертя ковзання, яка дещо менша від максимальної сили тертя спокою, хоча також пропорційна силі нормального тиску (силі реакції опори) і залежить від матеріалу контактуючих поверхонь: F_{тер.ковз} = μ_ковзN (мал. 53). У цьому випадку менший коефіцієнт тертя μ_ковз.

Мал. 53. Графік залежності сили тертя від прикладеної сили

Слід зазначити, що залежність F_{тер.ковз} = μ_ковзN не є законом, а лише встановлює взаємозв’язок між силою тертя, що діє вздовж поверхні дотику, і силою нормального тиску, перпендикулярною до цієї поверхні. Це співвідношення не є векторним, оскільки дві сили перпендикулярні між собою.

Під час руху шарів рідини чи газу виникають сили внутрішнього тертя. Ці самі сили виникають й у випадку руху твердого тіла в рідині чи газі. Сили тертя завжди напрямлені проти напрямку швидкості відносного руху.

У загальному випадку закон, що встановлює зв’язок між силою рідкого тертя і швидкістю руху тіла відносно рідини чи газу, досить складний. У тих випадках, які розглядатимемо ми, можна вважати, що сила рідкого тертя прямо пропорційна швидкості відносного руху тіла:

Знак «-» вказує на те, що сила рідкого тертя напрямлена проти напрямку швидкості руху. Коефіцієнт α називається коефіцієнтом рідкого тертя, або коефіцієнтом опору середовища. Його значення залежить від форми і розмірів тіла, що рухається, а також від властивостей рідини (чи газу).

Сили пружності, як і сила тяжіння, належать до консервативних сил. Консервативні сили — це сили, робота яких під час переміщення тіла залежить тільки від початкового і кінцевого положень тіла у просторі. Системи, у яких не відбувається перетворення механічної енергії в інші види (внутрішню, електромагнітну, хімічну тощо), називаються консервативними системами. Сили тертя не є потенціальними, вони розсіюють механічну енергію, перетворюючи її в теплову. Сили тертя протидіють рухові й залежать від швидкості тіла.

Найтиповіші випадки графічного зображення руху під дією кількох сил. Не можна детально розглянути всі можливі варіанти рухів тіл під дією кількох сил, тому звернемо увагу лише на деякі типові випадки, які можна підпорядкувати загальному алгоритму розв’язування задач.

Перша ідеалізація, до якої вдаються під час розв’язування задач із динаміки — усю масу тіла можна вважати зосередженою в точці. Виконуючи малюнок до задачі, вектори сил, що діють на тіло, паралельним перенесенням розташовують так, щоб початки векторів були прикладені до цієї точки. Паралельним перенесенням у цю точку переміщують вектор сили тертя, яка виникає між поверхнями дотику тіл, і вектор сили реакції опори, що напрямлена перпендикулярно до поверхні дотику тіл.

Вибирають інерціальну систему відліку, у якій зручно досліджувати рух у цій конкретній задачі. Напрямок координатних осей (обирають залежно від характеру руху. Наприклад, якщо тіло рухається по похилій площинні то вісь Х спрямовують уздовж похилої площини в напрямку руху і, відповідно, перпендикулярно до неї — вісь Y; якщо рух відбувається вздовж однієї прямої, достатньо вибрати одну вісь і спрямувати її в напрямку руху тіла.

Векторну суму сил замінюють алгебраїчною сумою їх проекцій на координатні осі. Тому далі записують рівняння другого закону Ньютона у проекціях на кожну вісь, враховуючи знаки проекцій. Порівнюють кількість невідомих величин у задачі з кількістю рівнянь отриманої системи. Якщо кількість невідомих дорівнює або менша від кількості рівнянь, то задачу математично сформульовано правильно й вона має розв’язання. В іншому разі необхідно дописати додаткові рівняння, наприклад кінематичні, і розв’язати утворену систему рівнянь. Отримавши кінцеву формулу, перевірити за нею розмірність шуканої величини, визначити її числове значення, проаналізувати отриману відповідь.

Умова невагомості блока, якщо передбачена умовою задачі, дає змогу вважати силу натягу нитки (при переході через блок) незмінною за модулем. Звичайно на практиці застосовують комбінацію нерухомого блока з рухомим. Нерухомий блок використовують для зручності. Він не дає виграшу в силі, але змінює напрямок дії сили, наприклад, дає змогу піднімати вантаж, стоячи на землі. Рухомий блок дає виграш у силі у 2 рази.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Унаслідок чого з’являється сила пружності? Яка природа цієї сили?
2. Що означає знак «мінус» у формулі закону Гука?
3. Чи є формули для розрахунку сили реакції опори або підвісу?
4. Яку силу називають силою нормального тиску?
5. За яких умов виникає сила тертя спокою? Сила тертя ковзання? Від чого вони залежать?
6. Які сили називаються силами рідкого тертя? Від чого вони залежать?

Приклади розв’язування задач

Задача 1. По похилій площині рівномірно витягують ящик масою 100 кг. Яку силу слід прикласти, щоб витягти ящик, якщо висота похилої площини 1,5 м, а довжина — 4,5 м. Задачу розв’яжіть: а) з урахуванням сили тертя (μ = 0,3); б) нехтуючи силою тертя.

Мал. 55. Конічний маятник

Мал. 56. Сили, що діють на мотоцикліста під час повороту

Задача 4. На горизонтальній площині лежить брусок масою m₁ = 2 кг. До кінця нитки, прикріпленої до бруска й перекинутої через нерухомий блок, підвішено тягар масою m₂ = 0,5 кг. Визначте силу натягу нитки, якщо коефіцієнт тертя між площиною і бруском μ = 0,1. Масою нитки і блока, а також тертям у блоці знехтуйте.

Мал. 58. Рух ліфта з прискоренням, напрямленим униз

Мал. 59. Рух ліфта з прискоренням, напрямленим угору

Мал. 61. Зміна ваги тіла, що рухається по мосту округлої форми

Задача 7. Як сила опору повітря впливає на вільне падіння тіла?

Розв’язання:

Мал. 62. Рух парашутиста на початку стрибка

Графіки зміни з часом прискорення і швидкості руху парашутиста під час затяжного стрибка наведено на малюнку 63.

Мал. 63. Графіки залежності a(t) та v(t) під час затяжного стрибка з парашутом

ВПРАВА 10

9. У ліфті стоїть відро з водою, у якому плаває м’яч. Як зміниться глибина занурення м’яча, якщо ліфт рухатиметься з постійним прискоренням: а) вгору; б) вниз?

10. Як рухається тіло під дією сили, яка періодично змінює свій напрямок на протилежний (мал. 64)? Накресліть графіки залежності проекції швидкості v_x(t) та координати. Вважайте, що початкові швидкість і координата дорівнюють нулю.

Мал. 64

11. На похилій площині завдовжки 13 м і заввишки 5 м лежить вантаж, маса якого 26 кг. Коефіцієнт тертя дорівнює 0,5. Яку силу треба прикласти до вантажу вздовж площини, щоб витягнути його? Щоб стягнути? Рух вважайте рівномірним.

12. З яким прискоренням рухається брусок по похилій площині з кутом нахилу 30°, якщо коефіцієнт тертя 0,2?

13. Тіло сковзає рівномірно похилою площиною з кутом нахилу в 40°. Визначте коефіцієнт тертя об площину.

14. Автомобіль масою 1 т підіймається по шосе з нахилом 30° під дією сили тяги 7 кН. Коефіцієнт тертя між шинами автомобіля та поверхнею шосе 0,1. Визначте прискорення автомобіля.

15. Тіло вільно ковзає з вершини нерухомої похилої площини під кутом α = 30° до горизонту. Визначте його швидкість у кінці похилої площини та час руху, якщо висота похилої площини 10 м, а коефіцієнт тертя 0,05.

16. Для рівномірного піднімання вантажу вагою 1000 Н по похилій площині, яка утворює кут 60° з вертикаллю, треба прикласти силу 600 Н. З яким прискоренням рухатиметься вантаж униз, якщо його відпустити?

17. На похилій площині висотою h = 3 м і довжиною l = 5 м лежить тіло масою m = 10 кг. Яку горизонтальну силу F необхідно прикласти до тіла, щоб воно рівномірно рухалось по площині?

18. За який час тіло зісковзне з вершини похилої площини висотою h = 2 м і кутом при основі α = 45°, якщо граничний кут, за якого тіло може не зісковзувати з площини, β = 30°?

19. По похилій площині, що утворює з горизонтом кут α = 30°, кидають знизу вгору тіло. Воно протягом t₁ = 2 с проходить відстань l = 16 м, після чого починає зісковзувати вниз. За який час тіло зісковзне донизу? Який коефіцієнт тертя між тілом і поверхнею площини?

20. Тіло масою m міститься на площині, кут нахилу якої можна змінювати від 0 до 90°. Накресліть графік залежності сили тертя між тілом і площиною від кута нахилу площини до горизонту. Коефіцієнт тертя μ.

26.¹ Відерце з водою обертають у вертикальній площині на мотузці завдовжки 0,5 м. З якою найменшою швидкістю необхідно його обертати, щоб у верхній точці вода не виливалася?

¹ Після § 11 буде розглянуто ще один спосіб розв’язання цієї задачі.

27. Посудина, що має форму зрізаного конуса з діаметром дна 20 см і кутом нахилу стінок до горизонту 60°, може обертатись навколо вертикальної осі. На дні посудини міститься кулька. За якої кутової швидкості обертання посудини кулька підніметься й буде викинута з посудини? Тертя не враховуйте.

28. Брусок, маса якого 400 г, під дією вантажу, що має масу 100 г (мал. 65), рухаючись зі стану спокою, проходить за 2 с шлях 80 см. Визначте коефіцієнт тертя.

Мал. 65

29. На шнурі, перекинутому через нерухомий блок, підвісили вантажі, маси яких 0,3 і 0,2 кг. З яким прискоренням рухається система? Яка сила натягу шнура під час руху?

31. На нитці, перекинутій через нерухомий блок, підвісили вантажі, маси яких 0,3 і 0,34 кг. За 2 с від початку руху кожний вантаж пройшов шлях 1,2 м. Визначте прискорення вільного падіння на підставі даних досліду.

32. На кінцях нитки, перекинутої через нерухомий блок, підвісили тіла, маса кожного 240 г. Який додатковий вантаж треба покласти на одне з тіл, щоб кожне з них за 4 с змістилося на 160 см?

33. Через невагомий блок, закріплений на ребрі призми, грані якої утворюють кути α і β з горизонтом, перекинуто нитку (мал. 66). До кінців нитки прикріплено вантажі масами m₁ і m₂. Вважати, що вантаж v = const опускається. Визначте прискорення вантажів і силу натягу нитки. Тертям знехтуйте.

Мал. 66

34. Визначте прискорення a₁ і a₂ тіл масами m₁ і m₂, а також силу натягу нитки в систему зображеній на малюнку 67. Масою блока й тертям знехтуйте.

Вказівка: оскільки тіло m2 закріплене на рухомому блоці, то воно проходить удвічі меншу відстань порівняно з відстанню, що її проходить тіло m₁, відповідно a₁ = 2a₂.

Мал. 67

35. Два тіла масами m₁ = 4 кг та m₂ = 8 кг, які зв’язані ниткою, ковзають одне за одним по поверхні похилої площини, кут нахилу якої до горизонту α = 30°. Коефіцієнт тертя між першим тілом і площиною μ₁ = 0,1, а між другим тілом і площиною μ₂ = 0,2. Яка сила натягу нитки між тілами?

36. З яким прискоренням має рухатись візок (мал. 68), щоб розташування тіл не змінювалось? Коефіцієнт тертя 0,3.

Мал. 68

37. Пілот діє на сидіння крісла літака в нижній точці «петлі Нестерова» із силою 7,1 кН. Маса пілота — 80 кг, радіус петлі — 250 м. Визначте швидкість літака.

41. З якою швидкістю автомобіль має проїжджати середину опуклого моста радіусом 40 м, щоб пасажир на мить опинився у стані невагомості?

42. Визначте, у скільки разів зменшується вага тіла на екваторі внаслідок добового обертання Землі та якої тривалості має бути доба на Землі, щоб тіла на екваторі перебували у стані невагомості.

43. Дитина, маса якої 50 кг, спустившися на санках з гірки, проїхала по горизонтальній дорозі (до зупинки) шлях 20 м за 10 с. Визначте силу тертя та коефіцієнт тертя.

47. Дві однакові сталеві кульки одночасно починають падати без початкової швидкості, одна — у в’язкій рідині, інша — у повітрі. У чому відмінність рухів кульок? Побудуйте графік залежності швидкості руху кульок від часу.

48. Два дерев’яні бруски, кожний з яких має масу 1 кг, лежать на дошці (мал. 69). Яку силу потрібно прикласти на початку рівномірного руху, щоб витягнути нижній брусок з-під верхнього? Коефіцієнт тертя на обох поверхнях нижнього бруска дорівнює 0,3.

Мал. 69

49. На аркуш паперу, що лежить на столі, поставили склянку з водою. З яким прискоренням треба рухати аркуш, щоб склянка почала ковзати назад відносно паперу? Коефіцієнт тертя між склянкою й папером дорівнює 0,3. Чи зміниться результат досліду, якщо склянка буде порожньою? Перевірте.

Експериментуємо

1. Дослідіть залежність рівнодійної двох сил, що діють на тіло під кутом α, від величини цього кута.

2. Дослідіть залежність зміщення початкового положення кінця стержня, розміщеного під кутом до горизонту (мал. 70) під час падіння його на горизонтальну площину від кута α.