§ 9. Рух у полі земного тяжіння

Рух тіла у вертикальному напрямку. Рухи, що відбуваються поблизу поверхні Землі під дією сили тяжіння, поділяються на вільне падіння, рух тіла, кинутого вертикально вгору/вниз або під кутом до горизонту та горизонтально з певної висоти. Розділ механіки, що досліджує рух тіл у полі тяжіння Землі, називається балістикою, а сам рух — балістичним.

Рух тіла, кинутого вертикально вгору до максимальної висоти підйому, є рівносповільненим, потім вниз — рівноприскореним, без початкової швидкості. Час підйому дорівнює часу падіння.

З певної висоти тіло можуть кидати вниз, надаючи йому деякої початкової швидкості, а можуть відпускати — тоді тіло падає без початкової швидкості (v0 = 0) (вільне падіння).

Рух тіла, кинутого під кутом α до горизонту. Рух тіла, кинутого під кутом α до горизонту, можна розглядати як результат додавання двох незалежних рухів: рівномірного прямолінійного вздовж осі Х і рівнозмінного вздовж осі Y. Із цього випливає, що проекція швидкості v_x (мал. 45, с. 52) весь час залишається постійною: v₀_x = v_x = const. Координата х змінюється згідно із законом рівномірного руху: x = x₀ + v₀_xt.

У вибраній нами системі координат (мал. 45, с. 52) x₀ = 0; у₀ = 0; v_0у = v₀ sin α; v₀_x = v₀ cos α.

Таким чином, закон балістичного руху для тіла, кинутого під кутом α до горизонту, має вигляд:

З рівняння видно, що залежність y(x) є квадратичною, отже, графіком руху є парабола. Вітки параболи напрямлені вниз, оскільки коефіцієнт перед x² менший від нуля, і парабола проходить через початок координат, оскільки у = 0 при x = 0 (мал. 45).

Мал. 45. Рух тіла, кинутого під кутом α до горизонту

Визначимо основні параметри балістичного руху: час і дальність польоту, максимальну висоту підйому.

Унаслідок незалежності рухів уздовж координатних осей підйом тіла по вертикалі визначається лише проекцією початкової швидкості v₀_y на вісь Y. Звідси випливає, що якщо вертикальна проекція швидкості тіла, кинутого під кутом α до горизонту, така сама, як і початкова швидкість тіла, кинутого вертикально вгору, то ці тіла будуть рухатися синхронно. Тому максимальну висоту підйому і час підйому можна визначити з відомих вам формул, що описують рух тіла, кинутого вертикально вгору.

МАТЕМАТИЧНА ДОВІДКА

Як видно з формули, дальність польоту L буде найбільшою, коли sin 2α = 1, тобто для кута α = 45°.

За наявності опору повітря траєкторія польоту тіла, кинутого під кутом до горизонту, не буде правильною параболою. Дальність польоту при цьому буде меншою від розрахованої за цією формулою.

Форму траєкторії руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, відтворює струмінь води, спрямований під кутом до горизонту. Спочатку зі збільшенням кута α струмина б’є все далі й далі. Коли кут досягає 45°, дальність є найбільшою. З подальшим збільшенням кута дальність зменшується.

Для розрахунку швидкості руху тіла в довільній точці траєкторії та визначення кута β, який утворює вектор швидкості з горизонталлю, достатньо знати проекції швидкості на осі Х та Y. При цьому слід враховувати, що горизонтальна проекція швидкості залишається постійною й дорівнює початковому значенню, v_x = v₀_x = const, вертикальна ж проекція змінюється: у разі підйому вгору вона зменшується за лінійним законом, v_y = v₀ sin α - gt, на максимальній висоті v_y = 0, далі тіло падає вниз.

Рух тіла, кинутого горизонтально з висоти H. Це окремий випадок руху тіла, кинутого під кутом до горизонту (α = 0) з деякої висоти Н. Це криволінійний рух уздовж однієї вітки параболи від її вершини. У вертикальному напрямку вздовж осі Y відбувається вільне падіння, у горизонтальному напрямку вздовж осі Х — рівномірний рух (мал. 46, с. 54).

Мал. 46. Рух тіла, кинутого горизонтально з певної висоти

Зверніть увагу! Усі формули в даному параграфі отримано за умови g = const, тобто рух відбувається на малих висотах.

Геометричний спосіб опису руху в полі тяжіння Землі. Розглянуті вище формули виводились аналітичним методом — з використанням проекцій векторних величин на осі координат. Описати рух кинутого під кутом до горизонту тіла можна й векторним методом.

Розглянемо приклад. Нехай тіло, що кинуто з поверхні Землі під деяким кутом з початковою швидкістю v₀, через деякий час t впало на землю. Необхідно визначити відстань l від місця кидання до місця падіння. Накреслимо трикутник переміщень (мал. 47).

Спробуйте самостійно, використовуючи цей метод та малюнок 48, визначити дальність польоту l, якщо тіло кидають зі схилу, що утворює з горизонтом кут β. Початкова швидкість тіла v₀ напрямлена під кутом α до схилу.

Мал. 48

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Доведіть, що час підйому тіла, кинутого вертикально вгору, дорівнює часу його падіння.
2. Доведіть, що тіло, яке кидають вертикально вгору і яке згодом падатиме вниз, матиме в будь-якій точці траєкторії швидкості, рівні за модулем і протилежні за напрямком.
3. Людина, що стоїть на краю схилу, кидає одне тіло вертикально вгору, інше — вертикально вниз. У якого з тіл у момент падіння на землю буде більша швидкість?
4. Які фактори має враховувати людина, що виконує стрибок у довжину? А людина, що стрибає у висоту?

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Тіло, що вільно падає, пройшло останні 10 м за 0,25 с. Визначте, з якої висоти падало тіло та швидкість у момент його приземлення.