Фізика. Профільний рівень. 11 клас. Засєкіна

§ 22. Затухаючі електромагнітні коливання

Рівняння затухаючих електромагнітних коливань. Уявімо собі коливальний контур, до складу якого входить конденсатор С, котушка L й активний опір R (мал. 109). Нехай у певний момент часу конденсатор зарядили до напруги U і від’єднали зовнішнє джерело живлення. Якби в електричному колі, крім конденсатора, був лише резистор R, то струм продовжувався б лише доти, поки потенціали обкладок конденсатора не зрівнялися. Якщо ж у колі є ще й котушка індуктивністю L, то електрорушійна сила самоіндукції, що виникає в котушці внаслідок зміни сили струму, підтримає струм, який зменшується, і відбудеться перезарядка обкладок конденсатора, але не до початкового значення. Після цього струм у контурі йтиме у протилежному напрямі, конденсатор знову перезарядиться, втративши ще дещо в заряді. Виникають затухаючі електромагнітні коливання, які ми вже дослідили якісно.

Мал. 109. Реальний коливальний контур

Одержимо рівняння затухаючих електромагнітних коливань на основі узагальнення закону Ома для кола, що містить джерело ЕРС. Напруга на обкладках конденсатора U. За законом Ома сума напруг, які є в колі, має дорівнювати сумі діючих у цьому колі електрорушійних сил. Зрозуміло, що в цьому разі в колі діє лише одна електрорушійна сила — електрорушійна сила самоіндукції. Отже,

Виразимо всі змінні в цьому рівнянні через заряд q. Силу струму можна визначити за зміною заряду за одиницю часу:

Напруга

а швидкість зміни сили струму

Підставимо у вираз закону Ома й отримаємо рівняння:

яке можна переписати у вигляді

Якщо тепер ввести позначення

то рівняння матиме вигляд

а його розв’язок —

де β — коефіцієнт затухання.

Отримане рівняння описує затухаючі гармонічні коливання заряду в реальному коливальному контурі.

Формула періоду затухаючих коливань. Період затухаючих коливань визначається за формулою

якщо в попередню формулу підставити значення

виражені через параметри коливального контура L, С і R. Ця формула дає можливість зробити важливий висновок про те, за яких умов коливання в досліджуваному колі можливі. Період коливань повинен бути додатним числом і не може бути нескінченно великим. Отже, підкореневий вираз у знаменнику має бути більшим за нуль,

Лише за цих умов коливання в колі можливі, і коло можна вважати коливальним контуром.

Формула

відразу перетворюється на формулу Томсона

якщо припустити, що R = 0 (ідеальний коливальний контур).

Відповідно з рівняння

також можна отримати формули для опису незатухаючих гармонічних коливань. Оскільки R=0, то

Розв’язком такого рівняння є функція

де qm — амплітуда коливань заряду конденсатора із циклічною частотою

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Які енергетичні перетворення відбуваються у процесі електромагнітних коливань в ідеальному й реальному коливальних контурах? 2. Якими рівняннями описують затухаючі електромагнітні коливання? Запишіть рівняння для коливань напруги й заряду. 3. Який фізичний зміст коефіцієнта затухання коливань? Що треба зробити, щоб коливання в коливальному контурі стали незатухаючими? 4. Як можна встановити умови, за яких коливання в контурі взагалі не можливі?

Вправа 14

  • 1. Заряджений конденсатор ємністю 10 мкФ підключили до котушки індуктивністю 0,1 Гн. Через 5 періодів амплітуда коливань напруги в контурі становила 95 % початкової напруги на конденсаторі. Визначте активний опір контура.
  • 2. Конденсатор, який має ємність 10 мкФ, зарядили до напруги Um = 400 В і приєднали до котушки. Після цього в контурі виникли затухаючі коливання. Яка кількість теплоти виділиться в контурі за час, протягом якого амплітуда зменшиться у 2 рази?
  • 3. У коливальному контурі конденсатору надали заряд 1 мКл, після чого в контурі виникли затухаючі електромагнітні коливання. Яка кількість теплоти виділиться до моменту, коли максимальна напруга на конденсаторі зменшиться в 4 рази? Ємність конденсатора — 10 мкФ.
  • 4. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 48 мкФ, котушки з індуктивністю 24 мГн й активним опором 20 Ом. Визначте частоту вільних електромагнітних коливань в цьому контурі. На скільки зміниться частота електромагнітних коливань в контурі, якщо знехтувати активним опором котушки?