Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 7. Нерівномірний рух матеріальної точки по колу

Характеристики нерівномірного обертального руху. Рух по колу (обертальний рух) може бути як рівномірним, так і нерівномірним. У рівномірному русі по колу лінійна швидкість змінюється тільки за напрямком. У нерівномірному — і за напрямком, і за числовим значенням.

Оскільки лінійне прискорення характеризує зміну лінійної швидкості і за числовим значенням, і за напрямком, то його можна подати у вигляді суми двох складових, а саме

де нормальне (доцентрове) прискорення

характеризує зміну швидкості за напрямком і напрямлене до центра кола,

тангенціальне (або дотичне) прискорення

характеризує зміну модуля швидкості й напрямлене по дотичній до траєкторії,

(мал. 38).

Мал. 38. Складові лінійного прискорення

Модуль лінійного (або повного) прискорення

Кут α, який утворює вектор лінійного прискорення

з радіусом-вектором рухомої точки, визначається як

У разі рівномірного обертання тіла по колу тангенціальне прискорення дорівнює нулю.

Під час нерівномірного руху по колу змінюється і кутова швидкість ω, а це свідчить про те, що кутове прискорення не дорівнює нулю.

Одиниця кутового прискорення — радіан за секунду в квадраті:

Вектор

збігається за напрямком з вектором

якщо обертання прискорене, і напрямлений у протилежний бік, якщо обертання сповільнене. Вираз

характеризує середню за час Δt стрімкість зміни кутової швидкості руху матеріальної точки. Його називають середнім кутовим прискоренням. Якщо зменшувати інтервал часу, за який змінюється кутова швидкість, то що меншим буде цей інтервал, Δt → 0, то меншою буде зміна кутової швидкості,

а дріб

прямує до деякого граничного значення. Цю границю називають миттєвим кутовим прискоренням точки в певний момент часу, отже:

Нерівномірний обертальний рух є досить складним, тому надалі будемо досліджувати рух зі сталим кутовим прискоренням

тобто рівноприскорений обертальний рух. Кутова швидкість рівноприскореного обертального руху матеріальної точки в будь-який момент часу визначається формулою

Щоб встановити зв’язок між кутовим і лінійним прискореннями, скористаймося співвідношенням

тоді

Оскільки за означенням

— тангенціальне прискорення, то

Отже, якщо тіло рухається по колу рівномірно, воно має лише доцентрове (нормальне прискорення), яке зумовлене зміною напрямку його лінійної швидкості,

У разі нерівномірного руху по колу виникає тангенціальне (дотичне) та кутове прискорення, які зв’язані між собою залежністю, а_τ = εr.

Кінематичні рівняння обертального руху матеріальної точки. У випадку рівномірного обертання, тобто руху з постійною кутовою швидкістю, кутове переміщення визначається площею прямокутника, одна зі сторін якого — t, а інша — ω (мал. 39, а), φ = ωt. У випадку нерівномірного руху по колу зі сталим кутовим прискоренням графік кутової швидкості має вигляд, зображений на малюнку 39, б.

Мал. 39. Графічне визначення кутового переміщення обертальних рухів: а — рівномірного; б — рівноприскореного

Якщо на графіку (мал. 39, б) виділити вузьку смужку аbс'd, ширина якої відповідає малому інтервалу часу Δt, то вона мало відрізняється від прямокутника abcd. Для досить малого Δt можна вважати, що рух відбувається з постійною кутовою швидкістю, тому площа прямокутника abcd чисельно дорівнює кутовому переміщенню за малий інтервал часу Δt. На такі смужки можна розбити всю фігуру, розташовану під графіком кутової швидкості. Отже, кутове переміщення при рівноприскореному русі по колу визначається площею трапеції ABCD, основами якої є відрізки СВ = ω, DA = ω₀, а висота DC = t. Ураховуючи, що для рівноприскореного обертання ω = ω₀ + εt, отримуємо:

У векторній формі рівняння має вигляд:

Для рівноприскореного обертання виконується також формула:

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Який характер зміни швидкості руху тіла в його нерівномірному русі по колу?
• 2. Що таке повне прискорення руху тіла? З яких компонентів воно складається?
• 3. Яке прискорення називається тангенціальним? Нормальним? Якими формулами вони визначаються? Наведіть приклади, коли тангенціальне прискорення дорівнює нулю. А коли дорівнює нулю нормальне прискорення?
• 4. Що таке кутове прискорення? Яке обертання називають рівноприскореним?

Експериментуємо

• Визначте кутове прискорення обертального руху кульки під час скочування її по похилому жолобу.

Приклади розв’язування задач

Задача. Колесо обертається рівноприскорено. Через 2 с від початку руху вектор повного прискорення точки, що лежить на ободі колеса, утворює кут 60° з вектором її лінійної швидкості. Визначте кутове прискорення в цей час.

Мал. 40

ВПРАВА 7

1. Колесо обертається з початковою частотою 5 с^-1, після гальмування протягом 1 хв частота його обертання зменшилася до 3 с^-1. Визначте кутове прискорення колеса та кількість обертів, які колесо здійснило за цей час. Вважайте рух рівносповільненим.

2. Кутова швидкість тіла, що рухається по колу, змінюється за законом ω = 5 + 2t, де всі величини задано в СІ. Побудуйте графік зміни швидкості. Визначте кутове прискорення та початкову швидкість. Якою буде кутова швидкість через 10 с після початку обертання?

3. Тіло рухається по колу з постійним кутовим прискоренням 2 рад/с². Скільки повних обертів зробить тіло за 10 с, якщо початкова кутова швидкість дорівнює нулю? Якою буде кутова швидкість руху тіла в цей момент часу?

4. Тіло, що обертається зі швидкістю 120 об/хв, зупиняється протягом 1,5 хв. Вважаючи рух рівносповільненим, визначте кількість обертів до повної зупинки. З яким кутовим прискоренням зупиняється тіло?

5. Точка рухається по колу радіусом 20 см з постійним тангенціальним прискоренням 5 см/с². За який час від початку руху нормальне прискорення точки буде: а) дорівнювати тангенціальному; б) удвічі більшим за тангенціальне?

6. Колесо обертається з кутовим прискоренням 2 рад/с². Через інтервал часу 0,5 с від початку руху повне прискорення колеса дорівнює 13,6 см/с². Визначте радіус колеса.

7. Вентилятор робить 900 об/хв. Після вимикання вентилятор зупинився через 10 с. Визначте кутове прискорення вентилятора, вважаючи, що до зупинки він обертався рівносповільнено.