§ 57. Потенціал електричного поля

Потенціал. Еквіпотенціальні поверхні. У механіці взаємодію тіл характеризують силою або потенціальною енергією. Електричне поле, що здійснює взаємодію між електрично зарядженими тілами, також характеризують двома величинами. Напруженість електричного поля — це силова характеристика. Тепер введемо енергетичну характеристику — потенціал. За допомогою цієї величини можна буде порівнювати між собою будь-які точки електричного поля. Отже, потенціал як характеристика поля не має залежати від значення заряду, що міститься в цих точках. Поділимо обидві частини формули А = W₁ - W₂ на заряд q.

Отримаємо

Відношення

не залежить від значення заряду і приймається за енергетичну характеристику, яку називають потенціалом поля в даній точці. Позначають потенціал літерою φ.

Потенціал електричного поля φ — скалярна енергетична характеристика поля, що визначається відношенням потенціальної енергії W позитивного заряду q в даній точці поля до величини цього заряду,

Одиниця потенціалу — вольт: 1 Дж/Кл = 1 В.

Подібно до потенціальної енергії значення потенціалу в даній точці залежить від вибору нульового рівня для відліку потенціалу. Найчастіше в електродинаміці за нульовий рівень беруть потенціал точки, що лежить у нескінченності, а в електротехніці — на поверхні Землі.

Із введенням потенціалу формулу для визначення роботи по переміщенню заряду між точками 1 і 2 можна записати у вигляді

Оскільки під час переміщення позитивного заряду в напрямку вектора напруженості електричне поле виконує позитивну роботу а = q(φ₁ - φ₂) > 0, то потенціал φ₁ більший за потенціал φ₂. Таким чином, напруженість електричного поля напрямлена в бік зменшення потенціалу.

Якщо заряд переміщати з певної точки поля в нескінченність, робота А = q(φ — φ_∞). Оскільки φ_∞ = 0, то А = qφ. Таким чином, величина потенціалу φ певної точки поля визначається роботою, яку виконує електричне поле, переміщуючи одиничний позитивний заряд із цієї точки у нескінченність,

Якщо електричне поле створюється точковим зарядом q, то в точці, що лежить на відстані r від нього, потенціал обчислюють за формулою

За цією формулою розраховують і потенціал поля зарядженої кулі. У цьому разі r — це відстань від центра кулі до вибраної точки поля. Із цієї формули видно, що на однакових відстанях від точкового заряду, що створює поле, потенціал однаковий. Усі ці точки лежать на поверхні сфери, описаної радіусом r навколо точкового заряду. Таку сферу називають еквіпотенціальною поверхнею.

Еквіпотенціальні поверхні — геометричне місце точок в електричному полі, які мають однаковий потенціал (мал. 261), — один з методів наочного зображення електричних полів.

Мал. 261. Еквіпотенціальні поверхні електричних полів, створених точковими зарядами різних знаків

Силові лінії завжди перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь. Це означає, що робота сил поля по переміщенню заряду по еквіпотенціальній поверхні дорівнює нулю.

У разі накладання електричних полів, створених кількома зарядами, потенціал електричного поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів полів, створених окремими зарядами, φ = φ₁ + φ₂ + φ₃. Еквіпотенціальні поверхні таких систем мають складну форму. Наприклад, для системи із двох однакових за значенням однойменних зарядів еквіпотенціальні поверхні мають вигляд, зображений на малюнку 262, а. Еквіпотенціальні поверхні однорідного поля є площинами (мал. 262, б).

Мал. 262. Еквіпотенціальні поверхні: а — поля двох однакових зарядів; б — однорідного поля

Різниця потенціалів. Практичне значення має не сам потенціал у точці, а зміна (різниця) потенціалу φ₁ - φ₂, яка не залежить від вибору нульового рівня відліку потенціалу. Різницю потенціалів φ₁ - φ₂ ще називають напругою й позначають латинською літерою U. Тоді формула для роботи по переміщенню за ряду набуває вигляду

Напруга U — це фізична величина, яка визначається роботою електричного поля по переміщенню одиничного позитивного заряду між двома точками поля,

Одиниця різниці потенціалів (напруги), як і потенціалу, — вольт: 1 В = 1 Дж/Кл.

Оскільки робота сил поля по переміщенню заряду залежить лише від різниці потенціалів, то в разі переміщення заряду з однієї еквіпотенціальної поверхні на другу (потенціали яких відповідно φ₁ та φ₂) виконана полем робота не залежить від траєкторії цього руху.

Зв’язок напруженості електричного поля з напругою. З формул А = Eqd та А = qU можна встановити зв’язок між напруженістю та напругою електричного поля: Ed = U Із цієї формули випливає:

що менше змінюється потенціал на відстані d, то меншою є напруженість електричного поля;
якщо потенціал не змінюється, то напруженість дорівнює нулю;
напруженість електричного поля напрямлена в бік зменшення потенціалу.

Оскільки

то саме із цієї формули й виводиться ще одна одиниця напруженості — вольт на метр: 1 В/м.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Що називають потенціалом електричного поля? Яка формула відображає зміст цього поняття?
2. Що називають різницею потенціалів між двома точками поля? Яка формула відображає зміст цього поняття?
3. Які поверхні називають еквіпотенціальними?
4. Яка формула задає зв’язок між напруженістю й різницею потенціалів в однорідному електричному полі?
5. Порівняйте роботи, виконані полем під час переміщення заряду з точки А в точки В, С і D (мал. 263).

Мал. 263

6. Проаналізуйте формули законів усесвітнього тяжіння і Кулона, які подібні за формою, хоча й описують явища різної природи, та з’ясуйте: а) Яка фізична величина в законі всесвітнього тяжіння є аналогом заряду в законі електростатики Кулона? б) Яка величина в полі тяжіння відіграє роль, подібну до напруженості електричного поля? Запишіть формулу для обчислення цієї величини. в) Який вигляд має формула потенціалу φ гравітаційного поля, якщо потенціал електричного поля

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Електричне поле створене точковим зарядом 5 • 10^-7 Кл, вміщеним у середовище з діелектричною проникністю, ε = 2. Визначте різницю електричних потенціалів точок, віддалених від заряду відповідно на 5 см і 0,2 м. Яка робота виконується по переміщенню електричного заряду 0,3 • 10^-7 Кл між цими точками?

Задача 2. Із 60 маленьких сферичних крапель ртуті, радіуси яких 0,1 мм, 20 штук мають заряди q₁ = 1,2 • 10^-12 Кл, а 40 штук — q₂ = -0,8 • 10^-12 Кл кожна. Визначте потенціал великої краплі, яка утворюється після злиття в одну всіх маленьких крапель.

ВПРАВА 46

1. На відстані 5 см від поверхні кулі потенціал електричного поля дорівнює 1,2 кВ, а на відстані 10 см він дорівнює 900 В. Визначте радіус кулі, її заряд і потенціал.

2. Сто однакових заряджених крапельок, зливаючись, утворюють одну. Яким буде потенціал утвореної краплі, якщо потенціал кожної крапельки дорівнює 3 В?

3. Точки А і В лежать на відстані 10 см одна від одної й розташовані в однорідному полі, напруженість якого 60 кВ/м. Визначте різницю потенціалів між цими точками. Розгляньте випадки, коли точки А і В лежать: а) на одній лінії напруженості; б) на прямій, перпендикулярній до ліній напруженості; в) на прямій, напрямленій під кутом 45° до ліній напруженості.

4. Визначте напругу між точками А і В (мал. 264), якщо |АВ| = 8 см, а = 30° і напруженість поля становить 50 кВ/м.