Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 56. Робота по переміщенню заряду в електричному полі

Обчислення роботи електричного поля по переміщенню заряду. Ми вже вказували на подібність законів взаємодії електрично заряджених тіл (закон Кулона) та масивних тіл (закон всесвітнього тяжіння). В обох випадках

Відповідно і наслідки із законів мають бути схожими.

У курсі механіки ми з’ясували, що сила всесвітнього тяжіння є консервативною силою, оскільки її робота по переміщенню тіла масою m у просторі не залежить від траєкторії руху тіла, а визначається лише його початковим і кінцевим положеннями. Робота по переміщенню тіла замкненою траєкторією дорівнює нулю. Робота сили земного тяжіння (біля поверхні Землі) А = mg(h₁ - h₂) (позначення дивіться на малюнку 257); у всесвітньому масштабі робота гравітаційної сили

Нагадуємо, силове поле, у якому робота не залежить від форми траєкторії, називається потенціальним.

Мал. 257. До визначення роботи сили тяжіння

У кожній точці поля тіло має певну потенціальну енергію відносно вибраного нульового рівня. Значення потенціальної енергії тіла в даній точці простору визначається роботою поля по переміщенню тіла із цієї точки на нульовий рівень. Робота сили тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії тіла

Ці висновки отримано із закону всесвітнього тяжіння Ньютона, подібні висновки мають бути отримані і для електростатичних сил, що діють в електричному полі.

Розглянемо рух точкового заряду в однорідному електричному полі. Нехай однорідне поле створюють великі металеві пластини, що мають заряди протилежних знаків. Це поле діє на точкове тіло сталою силою

подібно до того, як поле тяжіння діє зі сталою силою

на тіло поблизу поверхні Землі.

Нехай пластини розміщені горизонтально. Обчислимо роботу, яку виконує електростатичне поле, переміщуючи позитивний заряд q із точки 1, розташованої на відстані d₁ від негативно зарядженої пластини, у точку 2, віддалену на відстань d₂, по прямолінійній траєкторії (мал. 258, а).

Мал. 258. Переміщення позитивного заряду в однорідному електричному полі: а — по прямолінійній траєкторії; б — по ламаній

Як відомо з курсу механіки, робота по переміщенню тіла визначається формулою A = Fscosα, де α — кут між векторами сили та переміщення.

Відповідно електричне поле на ділянці 1-2 виконує роботу A = Fd, де d = s cos α. З урахуванням того, що F = qE, отримуємо A = qEd = qE(d₁ - d₂). Ця робота не залежить від форми траєкторії, подібно до того, як не залежить від форми траєкторії робота сили тяжіння. Доведемо це. Нехай тепер позитивний заряд q переміщується з точки 1 у точку 2 ламаною BDC (мал. 258, б). Тоді поле виконує роботу A = qE (BD cos α₁ + DC cos α₂) = = qE (BD₁ + D₁ C₁) = qEd.

Такого самого висновку ми дійдемо за будь-якого вигляду траєкторії руху точкового заряду, адже будь-яку криву можна замінити переміщенням по ламаній траєкторії з достатньо малими сходинками (мал. 259).

Мал. 259. Криволінійну траєкторію можна замінити траєкторією у вигляді ламаної лінії, з якою завгодно точністю, якщо взяти достатньо малі сходинки

Ми довели, що в однорідному електричному полі робота електростатичних сил не залежить від форми траєкторії. Відповідно робота по переміщенню заряду замкненою траєкторією дорівнює нулю.

Можна довести, що цей висновок справджується і для неоднорідних полів, наприклад, для поля точкового заряду (мал. 260). У цьому випадку роботу по переміщенню позитивного заряду q₀ з точки 1, яка лежить на відстані r₁ від заряду q, що створює поле, у точку 2, яка лежить на відстані r₂, визначають за формулою

незалежно від форми траєкторії.

Мал. 260. Робота по переміщенню заряду в неоднорідному полі

Отже, електростатичні сили взаємодії між нерухомими точковими зарядами є консервативними. А поле консервативних сил є потенціальним. Відповідно електричне поле так само, як і гравітаційне поле, — потенціальне. І робота сил електричного поля може бути визначена через зміну потенціальної енергії точкового заряду в цьому полі.

Потенціальна енергія взаємодії точкових зарядів. Подібно до того, як будь-яке тіло, що взаємодіє із Землею за законом всесвітнього тяжіння, на різних відстанях від її центра має різну потенціальну енергію, електричний заряд q на різній відстані від іншого заряду q₀ має різну потенціальну енергію¹ — W. Якщо заряд q переміщується в електричному полі з точки 1, де його потенціальна енергія була W₁, у точку 2, де його енергія стала W₂, робота сил поля А = W₁ - W₂ = -(W₂ - W₁) = -ΔW. Як видно з формули, А та ΔW мають протилежні знаки. Це пояснюється тим, що якщо заряд q переміщується під дією сил поля (тобто робота поля А позитивна), то його потенціальна енергія зменшується, приріст енергії ΔW — від’ємний. Якщо ж заряд переміщується проти сил поля (А — негативна), то потенціальна енергія заряду зменшується. (Таке ж співвідношення між потенціальною енергією та роботою сили тяжіння.)

¹ Оскільки літерою Е позначається напруженість електричного поля, то енергію в електродинаміці прийнято позначати літерою W.

Як відомо, значення потенціальної енергії залежить від вибору нульового рівня. В електростатиці² умовились потенціальну енергію заряду, розміщеного в точці, нескінченно віддаленій від зарядженого тіла, що створює поле, вважати за нуль, W_∞ = 0. Тоді в разі переміщення заряду q з точки 1 у нескінченність робота поля А = W₁ - W_∞ = W₁. Тобто, потенціальна енергія заряду q, розміщеного в якій-небудь точці поля, чисельно дорівнює роботі, яку виконують сили поля, переміщуючи цей заряд із вказаної точки в нескінченність: W = qEd, де d — відстань від джерела поля до точки, у якій перебуває заряд q.

² В електротехніці, на відміну від електростатики, за нуль часто вважають потенціальну енергію заряду, розміщеного на Землі.

Якщо поле створене позитивним зарядом, то значення потенціальної енергії іншого позитивного заряду, розміщеного в деякій точці цього поля, буде додатне, якщо ж поле створене негативним зарядом, то значення потенціальної енергії позитивного заряду — від’ємне. Для негативного заряду, розміщеного в електричному полі, все буде навпаки. (Подумайте чому.) Коли поле створено відразу кількома зарядами, потенціальна енергія заряду q, розміщеного в якій-небудь точці такого поля, дорівнює алгебраїчній сумі енергій, зумовлених полем кожного заряду в цій точці.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Як обчислюється робота по переміщенню зарядженого тіла в однорідному електричному полі?
• 2. У тексті параграфа показано, що робота переміщення заряду з точки 1 у точку 2 дорівнює qEd. Якою буде робота, якщо цей самий заряд переміщується з точки 2 в точку 1?
• 3. Чи завжди робота сил електричного поля вздовж замкненої траєкторії дорівнює нулю? Наведіть приклад.

ВПРАВА 45

1. Електрон зі швидкістю 1,8 • 10⁴ м/с влітає в однорідне електричне поле напруженістю 3 мН/Кл і рухається проти ліній поля. З яким прискоренням рухається електрон і якою буде його швидкість, коли він пройде відстань 7,1 см? Скільки часу необхідно для набуття цієї швидкості? Рух електрона відбувається у вакуумі.

2. Кулька масою 40 мг що має позитивний заряд q = 1 нКл, рухається зі швидкістю 10 см/с. На яку відстань може наблизитись кулька до позитивного точкового заряду q₀ = 1,33 нКл?

3. Яка робота виконується у разі перенесення точкового заряду 20 нКл із нескінченності в точку, що лежить на відстані 1 см від поверхні кулі радіусом 1 см з поверхневою густиною заряду 10 мкКл/м²?

4. Дві кульки із зарядами 6,66 нКл та 13,33 нКл перебувають на відстані 40 см одна від одної. Яку роботу необхідно виконати, щоб зменшити відстань між ними до 25 см?

5. Точкові заряди q₁ = -17 нКл та q₂ = 20 нКл перебувають від точкового заряду q₃ = 30 нКл відповідно на відстанях l₁ = 2 см та l₂ = 5 см. Яку мінімальну роботу проти електричних сил необхідно виконати, щоб поміняти заряди q₁ та q₂ місцями?