Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 37. Рівняння стану ідеального газу. Об’єднаний газовий закон

Рівняння стану ідеального газу. Універсальна газова стала. Як уже зазначалося, ідеальний газ є найпростішою термодинамічною системою. Стан газу певної маси повністю визначений, якщо відомі його тиск, температура та об’єм. Ці величини називають параметрами стану газу. Якщо ці параметри змінюються, то в газі відбувається той або інший процес. У природі часто протікають процеси, у яких одночасно змінюються всі три величини, що характеризують стан газу. Рівняння, що зв’язує параметри стану цього газу (р, V, Т), називають рівнянням стану ідеального газу.

Слід зазначити, що задовго до того, як рівняння стану ідеального газу було виведено на основі молекулярно-кінетичних уявлень, закономірності поведінки газів у різних умовах були досить добре досліджені експериментально. Саме тому рівняння стану ідеального газу можна розглядати як узагальнення експериментальних фактів, що знаходять своє пояснення в молекулярно-кінетичній теорії.

Нині рівняння стану ідеального газу легко можна вивести з основного рівняння МКТ. Урахувавши рівняння

і співвідношення

одержимо ще один вираз основного рівняння МКТ газів:

p = nkT,

де p — тиск газу, n — концентрація молекул ідеального газу, K — стала Больцмана, T — абсолютна температура газу. Далі,

Добуток сталої Авогадро N_А на сталу Больцмана k є також сталою величиною, яку називають універсальною (молярною) газовою сталою й позначають R = N_Аk. Підрахуємо значення універсальної газової сталої:

Отже, ми отримали з основного рівняння МКТ газів рівняння, яке містить тільки макроскопічні (термодинамічні) характеристики стану газу і яке називають рівнянням стану ідеального газу. Це рівняння ще називають рівнянням Менделєєва — Клапейрона:

Рівняння Менделєєва — Клапейрона дає змогу визначити один невідомий параметр стану ідеального газу, якщо інші параметри відомі, для газу будь-якого хімічного складу й довільної маси m. Єдина величина в цьому рівнянні, що залежить від виду газу, — це його молярна маса М.

Якщо врахувати, що густина газу

то рівняння Менделєєва — Клапейрона матиме вигляд

Або врахувавши, що

отримуємо: pV = νRT.

Для суміші газів рівняння набуває вигляду: pV = (ν₁ + ν₂ + ... + ν_n) RT, де ν₁, ν₂, ... — кількості речовини кожного з газів суміші.

Для одного моля (v = 1 моль) довільного газу це співвідношення набуває вигляду pV = RT.

Отже, виведене на підставі молекулярно-кінетичних уявлень рівняння підтверджує ще один встановлений експериментально закон. Якщо в це рівняння підставити значення тиску й температури, що відповідають нормальним умовам (T = 273,15 K (0 °С), p = 1 атм = 1,013 • 10⁵ Па), то один моль будь-якого газу займає об’єм V₀ = 0,0224 м³. Це твердження називають законом Авогадро.

Лише за тиску в сотні атмосфер (коли виявляє себе об’єм молекул газу) і за температур, близьких до температур зрідження газу (внаслідок великої сили взаємодії молекул), відхилення від результатів розрахунків за рівнянням стану ідеального газу стають істотними.

Об’єднаний газовий закон. У природі часто відбуваються процеси, коли водночас змінюються всі три параметри стану газу, при цьому маса газу залишається незмінною (m = const). Якщо параметри на початку процесу, який відбувається з газом певної маси, позначити через p₁, V₁, T₁, а їх значення в кінці процесу — через p₂, V₂, T₂, то

Оскільки праві частини обох виразів однакові, однакові і їхні ліві частини. Отже, для газу незмінної маси:

або

— під час переходу газу незмінної маси з одного стану в інший добуток його тиску на об’єм, поділений на термодинамічну температуру газу, є величиною сталою.

Рівняння стану ідеального газу

виведене в 1834 р. французьким фізиком Бенуа Клапейроном (1799-1864), який протягом десяти років працював у Росії. У 1874 р. видатний російський учений Дмитро Менделєєв удосконалив формулу рівняння стану, ввівши макроскопічний параметр — масу газу. Саме тому рівняння

називають рівнянням Менделєєва — Клапейрона.

Співвідношення між значеннями тих чи інших параметрів на початку та в кінці процесу називається газовим законом. Рівняння Клапейрона

ще називають об’єднаним газовим законом.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Що таке параметри стану системи? Які величини до них належать?
• 2. Виведіть рівняння Менделєєва — Клапейрона для довільної маси ідеального газу.
• 3. Виведіть рівняння Клапейрона. Як формулюється об’єднаний газовий закон?
• 4. Чому дорівнює універсальна газова стала в СІ?
• 5. Чому дорівнює об’єм одного моля будь-якого газу за нормальних умов?

Приклади розв’язування задач

Задача. У приміщенні об’ємом V = 100 м³ після роботи обігрівача температура повітря¹ збільшилася від t₁ = 17 °С до t₂ = 22 °С. Яка маса Δm повітря, що вийшло з кімнати? Атмосферний тиск p = 105 Па.

¹ У цій і наступних задачах, якщо немає спеціальних застережень, повітря вважайте однорідним газом, молярна маса якого становить 0,029 кг/моль.

ВПРАВА 32

1. Визначте густину водню за температури 127 °С і тиску 830 кПа.

2. Який тиск стиснутого повітря, що міститься в балоні ємністю 20 л за 12 °С, якщо маса цього повітря 2 кг?

3. Густина деякої газоподібної речовини за температури 10 °С й нормального атмосферного тиску дорівнює 2,5 кг/м³. Визначте молярну масу цієї речовини.

4. Яка кількість речовини міститься в газі, якщо за температури 240 К і під тиском 200 кПа його об’єм дорівнює 40 л?

5. Газ за тиску 0,2 МПа і температури 15 °С має об’єм 5 л. Визначте об’єм цього газу за нормальних умов.

6. У балоні міститься газ, температура якого 15 °С. У скільки разів зменшиться тиск газу, якщо 40 % його вийде з балона, а температура при цьому зменшиться на 8 °С?

7. Пробірку, перевернуту догори дном, занурили у воду на деяку глибину. Яка концентрація повітря у пробірці на глибині 3 м? Температура води та повітря однакові й дорівнюють 20 °С. Атмосферний тиск 760 мм рт. ст.

8. Кулю із жорсткою оболонкою масою 11,6 г заповнили воднем. Об’єм водню — 10 л. Температура водню та повітря, що оточує кулю, — 0 °С. Визначте тиск водню в кулі, якщо результуюча піднімальна сила, яка діє на кулю, дорівнює нулю.

9. Повітряна куля об’ємом 2500 м³ і масою оболонки 400 кг має внизу отвір, через який повітря в кулі нагрівається пальником. Визначте максимальну масу вантажу, який може підняти куля, якщо повітря в ній нагрівати до температури 77 °С. Температура навколишнього повітря 7 °С, його густина — 1,2 кг/м³. Оболонку кулі вважайте нерозтяжною.