Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 30. Релятивістський закон додавання швидкостей

Релятивістський закон додавання швидкостей. Новим релятивістським уявленням про простір і час відповідає новий закон додавання швидкостей. Очевидно, що класичний закон додавання швидкостей уже не дійсний, бо суперечить постулату про сталість світла у вакуумі. Справді, згідно з класичним законом додавання, якщо в потязі, що рухається зі швидкістю υ, відправити в напрямку руху світловий сигнал, то відносно землі його швидкість має бути с + υ, а це суперечить другому постулату СТВ.

Нехай тіло рухається відносно системи К' зі швидкістю

Сама система К' рухається відносно системи К, яка вважається нерухомою, з постійною швидкістю

уздовж осі Х (мал. 135).

Мал. 135. До виведення релятивістського закону додавання

Позначимо швидкість цього самого тіла відносно нерухомої системи К літерою

Якщо u << с та υ << с, маємо класичний закон додавання швидкостей

Якщо u = с, то

як цього і вимагає другий постулат СТВ.

Релятивістський імпульс. Під час руху тіл з великими швидкостями виявляються й інші специфічні властивості. Так, з новими просторово-часовими уявленнями СТВ за великих швидкостей руху не узгоджуються закони механіки Ньютона. Зокрема, запис другого закону Ньютона

не відповідає другому постулату теорії відносності. Справді, якщо

то за сталої сили

прискорення

теж буде сталим і за тривалий час ця сила могла б надати тілу як завгодно великої швидкості. Однак швидкість світла у вакуумі є граничною, і за жодних умов рухомі тіла не можуть її перевищити.

Ейнштейн показав, що запис другого закону Ньютона в імпульсній формі в релятивістській механіці такий самий, як і в класичній,

але з урахуванням того, що формула для імпульсу набуває дещо іншого вигляду.

У класичній механіці імпульс тіла визначається формулою:

або

Якщо в цій формулі замінити інтервал часу Δt власним інтервалом часу Δt₀, то отримаємо:

де

— переміщення тіла в тій системі відліку, у якій визначається імпульс (власній системі), а Δt₀ — інтервал часу, виміряний за годинником, що рухається разом з тілом (власний час). Урахувавши те, що для власного часу виконується співвідношення

отримуємо релятивістську формулу для імпульсу

Із цієї формули видно, що залежність імпульсу від швидкості є складнішою, ніж у ньютонівській механіці.

Залежність імпульсу тіла від швидкості зображено на графіку (мал. 136). Для швидкостей руху, малих порівняно з с, графік релятивістського імпульсу збігається з прямою p = mυ, яка відображає залежність імпульсу від швидкості в класичній механіці.

Мал. 136. Залежності імпульсу від швидкості

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Чому класичний закон додавання швидкостей і другий закон динаміки Ньютона не узгоджуються з постулатами теорії відносності?
• 2. Як залежить імпульс тіла від його швидкості руху в спеціальній теорії відносності?

Приклади розв’язування задач

Під час розв’язування задач необхідно чітко встановити, яку систему відліку вважати рухомою, а яку — нерухомою. Визначити, яке саме тіло перебуває у стані спокою відносно рухомої системи відліку, і тоді параметри цього тіла вважати власними.

Задача. Система відліку К' рухається відносно системи відліку К зі швидкістю

Частинка рухається відносно системи відліку К' зі швидкістю

Визначте швидкість руху частинки в системі відліку К.

ВПРАВА 26

1. Тіло рухається відносно рухомої системи відліку зі швидкістю 0,2с, а відносно нерухомої — зі швидкістю 0,8с, де с — швидкість поширення світла у вакуумі. З якою швидкістю рухається система відліку відносно нерухомої системи?

2. Два тіла рухаються відносно нерухомого спостерігача рівномірно і прямолінійно у протилежних напрямках зі швидкостями 0,8с та -0,5с. Визначте відносні швидкості цих тіл за класичним і релятивістським співвідношеннями.

3. Частинки рухаються назустріч одна одній зі швидкістю 0,9с. Визначте їх відносну швидкість.

4. За якої відносної швидкості руху релятивістське скорочення довжини рухомого тіла становить 25 %?

5. Яку швидкість повинно мати рухоме тіло, щоб його поздовжні розміри зменшились удвічі?

6. У скільки разів збільшується час існування нестабільної частинки за годинником нерухомого спостерігача, якщо вона рухається зі швидкістю 0,99 с?