Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 24. Маятники

Період коливань пружинного маятника. З попередніх рівнянь, отриманих для коливань горизонтального пружинного маятника, видно, що прискорення в довільний момент часу пропорційне зміщенню: а = -ω2х. Разом з тим, у будь-якій точці траєкторії сила пружності напрямлена до положення рівноваги і прямо пропорційна зміщенню, Fпр = -kx, де k — жорсткість пружини. За другим законом Ньютона

Прирівнюючи обидва вирази для прискорення, отримуємо:

або

Оскільки

то період вільних коливань пружинного маятника:

Період коливань математичного (нитяного) маятника. Математичний маятник — це модель ідеальної коливальної системи. Реальний нитяний маятник (мал. 160), що складається з невеликого тіла й довгої тонкої нерозтяжної нитки (наприклад, сталевого дроту), можна вважати математичним маятником.

Нитяний маятник коливається під дією сили тяжіння

і сили натягу нитки

За малих відхилень такого маятника від положення рівноваги (α < 5°) його коливання будуть гармонічними.

Відведемо коливне тіло в крайнє праве положення. У цьому разі рівнодійна сили тяжіння та сили натягу нитки напрямлена проти зміщення — до положення рівноваги (мал. 116). З малюнка видно, що за модулем ця рівнодійна дорівнює F = mg sin α.

Мал. 116. Нитяний маятник

Оскільки кут відхилення малий, то дуга

по якій рухається кулька, мало відрізняється від півхорди BA, тому зміщення x = BA. Крім того, для малих кутів виконується співвідношення sin α ≈ tg α. З трикутника

де l — довжина нитки.

Таким чином, проекція рівнодійної, що діє на коливне тіло (з урахуванням того, що вона напрямлена проти зміщення) описується формулою

Як бачимо, цей вираз аналогічний виразу для сили пружності

де роль коефіцієнта пружності k відіграє величина

Однакові причини виникнення коливань ведуть до однакових результатів. Виведемо формулу періоду коливань нитяного маятника так само, як ми це робили для пружинного маятника. Оскільки коливання математичного маятника є гармонічними, то прискорення в довільний момент часу пропорційне зміщенню, а = -ω2x. Водночас у будь-якій точці траєкторії рівнодійна F напрямлена до положення рівноваги і прямо пропорційна зміщенню,

За другим законом Ньютона:

Прирівнюючи обидва вирази для прискорення, отримуємо:

або

Оскільки

то період вільних коливань нитяного маятника

Період власних коливань нитяного маятника не залежить від маси й амплітуди коливань, а визначається прискоренням вільного падіння та довжиною маятника.

Оскільки будь-який маятник має фіксований період коливань, їх використовують для регулювання ходу годинників. Маятники використовують і в геологічних розвідках. У місцях, де залягають породи металевих руд, значення g аномально велике. Точні вимірювання прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника дають змогу виявити такі родовища.

За допомогою математичного маятника можна виявити добове обертання Землі. Цей дослід у 1851 р. в Парижі виконав Жан Фуко з маятником завдовжки 67 м. Тому маятники, за допомогою яких можна продемонструвати добове обертання Землі навколо своєї осі, називають маятниками Фуко.

Зміст досліду полягає в тому, що площина коливань математичного маятника залишається незмінною відносно інерціальної системи відліку. Тоді відносно неінерціальної системи відліку, пов’язаної із Землею, внаслідок дії сили Коріоліса, площина коливань маятника має повертатись.

Пізніше цей дослід повторювали в різних місцях. Очевидно, що ефект повороту площини коливань маятника залежить від широти місця проведення досліду, він найбільш виражений на земних полюсах і не спостерігається на екваторі.

Часто в задачах розглядають нитяний маятник, який коливається, рухаючись із певним прискоренням

У цьому разі період коливань маятника визначають з формули:

Період коливань фізичного маятника. Фізичний маятник — це абсолютно тверде тіло, що закріплене на осі, яка не проходить через центр мас тіла С і коливається під дією сили тяжіння відносно вертикальної осі (мал. 117).

Мал. 117 Фізичний маятник

За малих кутів відхилення (α < 5°) коливання маятника є гармонічними.

Період власних коливань фізичного маятника визначають за формулою

де J — момент інерції тіла відносно осі, m — маса тіла, g — прискорення вільного падіння, d — відстань від осі коливання до центра мас тіла.

За періодом коливань фізичного маятника просто визначити момент інерції різноманітних деталей (твердих тіл), що використовуються в техніці.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

  • 1. Яка коливальна система називається математичним (нитяним) маятником; пружинним маятником; фізичним маятником?
  • 2. Для яких відхилень від положення рівноваги коливання нитяного та фізичного маятників будуть гармонічними?
  • 3. Виведіть формулу періоду коливань нитяного маятника. Чи залежить період коливань маятника від його маси?
  • 4. Від чого залежить період коливань пружинного маятника?
  • 5. Які перетворення енергії відбуваються під час гармонічних коливань.

Приклади розв’язування задач

Задача. Нитяний маятник завдовжки 1 м коливається з амплітудою 1 см. За який час він пройде шлях 1 см, якщо в початковий момент маятник проходить положення рівноваги? За який час маятник пройде: а) першу половину амплітуди; б) другу половину амплітуди?

ВПРАВА 24

1. Маятник зробив 50 коливань за 1 хв 40 с. Визначте період, частоту та циклічну частоту коливань.

2. Як відносяться довжини нитяних маятників, якщо за той самий час перший робить 10, а другий — 30 коливань?

3. За один і той самий час перший нитяний маятник робить 50 коливань, другий — 30. Визначте довжини цих маятників, якщо один з них на 32 см коротший від іншого.

4. Як зміниться хід годинника з маятником на металевому стержні: а) з підвищенням температури; б) під час підняття на гору; в) при переміщенні від полюса до екватора?

5. У скільки разів зміниться період коливань маятника в ракеті, яка стартує з поверхні Землі вертикально вгору з прискоренням 30 м/с2?

6. Нитяний маятник на Землі має період малих коливань 1 с. Яким буде період його коливань на Місяці?

7. Визначте прискорення вільного падіння в тому місці земної поверхні, де довжина секундного маятника буде 0,995 м.