Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 23. Перетворення енергії в гармонічних коливаннях

Зміна енергії коливальної системи. Розглядаючи коливання горизонтального пружинного маятника, ми бачили, що при початковому його відхиленні, наприклад, ліворуч на відстань — x_max, коливне тіло, повертаючись, проходить положення рівноваги та відхиляється праворуч на x_max. Це можливо, якщо виконується закон збереження повної механічної енергії. У процесі гармонічних коливань повна механічна енергія коливальної системи, що дорівнює сумі потенціальної та кінетичної енергій, залишається незмінною.

За допомогою малюнка 112 можна прослідкувати, як змінюється енергія під час гармонічних коливань. У початковий момент (коли пружина стиснена) коливальна система має максимальну потенціальну енергію

де k — жорсткість пружини. Як далі буде встановлено, маса тягарця — m, що коливається на пружині жорсткістю k, і циклічна частота коливань пов’язані співвідношенням

тоді вираз для максимальної потенціальної енергії можна записати у вигляді

Мал. 112. Перетворення енергії коливальної системи

Рухаючись до положення рівноваги, система зменшує потенціальну енергію, але при цьому збільшується її кінетична енергія, яка набуває максимального значення в положенні рівноваги, де швидкість коливного тіла максимальна,

З урахуванням того, що υ_max = -x_maxω, маємо

Таким чином, кінетична енергія коливальної системи матиме максимальні значення в моменти проходження тілом положень рівноваги, а потенціальна — у моменти перебування тіла в точках найбільших відхилень від положення рівноваги. У довільний момент часу сума потенціальної

і кінетичної енергії

є сталою величиною й дорівнює повній енергії коливань:

На малюнку 112, б, зображено графік зміни потенціальної та кінетичної енергій коливальної системи за один період коливань.

Покажемо, як, виходячи із закону збереження повної механічної енергії під час коливального руху, також можна вивести рівняння коливань.

Повна енергія під час гармонічного коливання дорівнює

або

Поділивши на k, отримуємо:

Побудувавши прямокутний трикутник з катетами х і

та гіпотенузою x_max (мал. 113), отримуємо: x = x_max cos φ.

Мал. 113. Графічний спосіб виведення рівняння гармонічних коливань

Додавання коливань. На практиці часто коливання накладаються одне на одне. Щоб визначити параметри результуючого коливання, користуються графічним методом. Для цього, побудувавши в одних і тих самих координатних осях графіки коливань, які треба додати, послідовно додають ординати цих графіків для певних моментів часу t₁, t₂, t₃, ... , відкладених на осі абсцис.

Приклади додавання коливань з однаковим періодом наведено на малюнку 114.

Мал. 114. Додавання гармонічних коливань

Векторні діаграми. Значно зручніше додавати гармонічні коливання за допомогою векторних діаграм.

Нехай коливання задано рівняннями х₁ = а₁ cos(ωt + φ₁) та х₂ = а₂ cos(ωt + φ₂), де а₁, а₂ — амплітуди коливань, φ₁, φ₂ — їхні початкові фази.

Зобразимо обидва коливання в момент часу t = 0 за допомогою векторів

(мал. 115).

Мал. 115. Векторні діаграми

Побудуємо за правилами додавання векторів результуючий вектор

Проекція цього вектора на вісь Х дорівнює сумі проекцій векторів, які додаються, х = х₁ + х₂. Результуюче коливання буде гармонічним коливанням із частотою ω, амплітудою а і початковою фазою φ, яку визначають за формулою

Метод векторних діаграм широко застосовують, розв’язуючи практичні завдання, зокрема в електротехніці для розрахунку параметрів електричних кіл змінного струму.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Розкажіть про перетворення енергії під час гармонічних коливань.
• 2. За даної амплітуди коливань повна енергія коливного тіла є сталою величиною. Чи можна це саме стверджувати про кінетичну та потенціальну енергії?
• 3. Чи залежить енергія коливного тіла від його маси?
• 4. Скільки разів протягом періоду гармонічного коливання кінетична енергія системи дорівнює її потенціальній енергії в той самий момент часу?

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Тягар масою 2 кг здійснює горизонтальні коливання на пружині за законом x = 0,05 cos 10ωt, де всі величини задано в СІ. Обчисліть максимальні значення сили, кінетичної та потенціальної енергії. А також їх значення в момент, коли фаза коливань дорівнює π/4.

ВПРАВА 23

1. Вантаж, маса якого 400 г, коливається горизонтально на пружині, що має жорсткість 250 Н/м. Амплітуда коливань — 15 см. Визначте частоту, повну механічну енергію коливань і найбільшу швидкість руху вантажу.

2. Вантаж, підвішений на пружині, жорсткість якої 1 кН/м, коливається горизонтально з амплітудою 2 см. Визначте кінетичну та потенціальну енергію для фази π/3 рад.

3. Пружинний маятник вивели з положення рівноваги та відпустили. Через який час (у частинах періоду) кінетична енергія коливного тіла дорівнюватиме потенціальній енергії пружини? Коливання відбуваються в горизонтальному напрямку.

4. Вантаж масою 1 кг підвішений до пружини жорсткістю 100 Н/м, коливається з амплітудою 10 см. Напишіть рівняння руху вантажу х = х(t). Напишіть формулу, що виражає залежність зміни сили пружності від часу, F = F(t). Визначте найбільше значення сили пружності, а також значення сили пружності через 1/6 періоду. Коливання відбуваються в горизонтальному напрямку.

5. Напишіть рівняння гармонічного коливання тіла, якщо його повна енергія — 3 • 10^-5 Дж, максимальна сила, що діє на тіло, — 1,5 мН, період коливань — 2 с і початкова фаза — 60°.

6. Тіло масою m = 1 кг під дією пружини жорсткістю k = 400 Н/м коливається без тертя в горизонтальній площині вздовж стержня. Користуючись законом збереження енергії, визначте період коливань тіла.