Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 22. Гармонічні коливання

Рівняння гармонічних коливань. У попередньому параграфі ми розглянули коливальний рух горизонтального пружинного маятника. Було показано, що в будь-якій точці траєкторії коливного тіла сила пружності напрямлена до положення рівноваги, тобто протилежно до зміщення тіла. У цьому прикладі горизонтальний пружинний маятник здійснює так звані гармонічні коливання. У гармонічних коливаннях сили, під дією яких вони відбуваються, завжди пропорційні зміщенню і спрямовані протилежно до нього (до положення рівноваги).

Сили, пропорційні відхиленню системи від положення рівноваги, це не обов’язково пружні сили. Вони можуть мати різну фізичну природу, але схожі між собою тим, що викликають гармонічні коливання. Тому сили, пропорційні зміщенню від положення рівноваги, незалежно від їхньої природи, називають квазіпружними («ніби пружними»; квазі — від лат. quasi — ніби, майже, немовби). Так, роль квазіпружної сили може відігравати рівнодійна сили всесвітнього тяжіння та сили пружності (для нитяного маятника), рівнодійна кількох сил різної природи.

Як і для будь-якого руху, для коливань необхідно отримати формулу, що дасть змогу розв’язувати основну задачу механіки — визначати координату тіла в будь-який момент часу. Крім того, оскільки коливання — це періодичні рухи, необхідно вміти визначати період коливань. Щоб виявити залежність координати (швидкості та прискорення) коливного тіла від часу, необхідно розв’язати рівняння другого закону Ньютона. Оскільки сила, що діє на коливне тіло, змінюється, то розв’язання цього рівняння потребує глибших знань з математики (знань диференціального числення). Тому скористаємося подібністю між коливаннями маятника та рівномірним рухом по колу.

Нехай по колу рівномірно рухається кулька (мал. 106). Розташуємо горизонтальний пружинний маятник паралельно осі Х так, щоб положення рівноваги кульки маятника розмістилося на одній вертикалі з центром кола. Виведемо маятник з положення рівноваги, розтягнувши пружину на величину xmax = R. Легко помітити, що під час руху кульки по колу проекція її радіуса-вектора здійснює коливання вздовж діаметра, тобто вздовж осі Х, аналогічні коливанням кульки маятника. Центр кола відіграє роль положення рівноваги, радіус кола R — амплітуди коливань xmax, період обертання кульки — періоду коливань T, проекція радіуса-вектора в довільний момент часу відповідає зміщенню x = xmax cos φ, де φ — кут повороту радіуса-вектора.

Мал. 106. Аналогія між коливальним і обертальним рухом

Кут φ є центральним кутом, а, як відомо, дуга l, що стягує центральний кут, дорівнює добутку кута φ (у радіанах) на радіус кола (у нашому випадку — xmax), l = φxmax. За час, що дорівнює періоду, кулька робить один повний оберт і проходить відстань, що дорівнює довжині кола. Отже, швидкість кульки

Протягом інтервалу часу, за який радіус-вектор кульки повернувся на кут φ, кулька пройшла відстань

Прирівнюючи обидва вирази для l, отримуємо:

Отже, проекція радіуса-вектора на вісь Х змінюється за законом

Величину

називають циклічною, або коловою, частотою і позначають літерою ω. Циклічна (або колова) частота показує, яку кількість коливань здійснює тіло за 2ω секунд,

Одиниця циклічної частоти — радіан за секунду: 1 рад/с.

Отже, зміщення (координата) тіла, що здійснює механічні гармонічні коливання, із часом змінюється за законом x = xmax cos ωt, якщо в початковий момент (t = 0) коливне тіло займало крайнє положення, або x = xmax sin ωt, якщо в момент початку відліку тіло перебувало в положенні рівноваги.

Гармонічними називаються прості періодичні в часі коливання фізичної величини, які здійснюються за синусоїдальним або косинусоїдальним законом.

Зверніть увагу! У задачах найчастіше ми використовуватимемо рівняння x = xmax cos ωt, тобто вважатимемо, що в початковий момент (t = 0) коливне тіло перебуває в крайньому положенні.

Фаза коливань. Гармонічні коливання характеризуються ще однією важливою величиною — фазою коливань. Виводячи основне рівняння гармонічних коливань, ми отримали вираз:

тут величину

називають фазою коливань.

У виразі

відношення

показує, яка частка періоду минула з моменту початку коливань, отже, будь-якому інтервалу часу, вираженому в частках періоду, відповідає значення фази, виражене в радіанах. Наприклад, для

(чверть періоду)

для

(півперіоду) φ = π.

Фаза коливань — це фізична величина, що визначає миттєві значення змінних параметрів коливальної системи в певний момент часу, тобто визначає ступінь відхилення системи від положення рівноваги в цей момент,

Одиниця фази коливань — радіан: 1 рад.

У наведених нами прикладах коливальний рух починався з моменту часу, коли коливне тіло перебувало в крайньому положенні. Оскільки, спостерігаючи за коливаннями, час можна відлічувати від будь-якого моменту, то початкове положення коливного тіла визначатиметься початковою фазою φ0, і рівняння коливального руху набуде вигляду х = хmax cos(ωt + φ0).

Фаза коливань у загальному випадку визначається формулою φ = ωt + φ0. Для гармонічних коливань фаза є аргументом синуса чи косинуса.

Графіки гармонічних коливань. Графіком гармонічних коливань є крива, яку в математиці називають синусоїдою або косинусоїдою. Графік гармонічного коливання можна дістати безпосередньо з досліду, якщо за коливне тіло взяти пісочницю, з якої висипається пісок. Пісочницю підвішують на довгій нитці (мал. 107, а) або закріплюють на пружинах (мал. 107, б) і змушують здійснювати коливання. Якщо під пісочницею протягувати папір, то на ньому залишається слід, що нагадує синусоїду.

Мал. 107 Наочний спосіб спостереження коливань

Форма запису закону гармонічного коливання може бути вибрана довільно (через синус або косинус). Припустимо, що маятник відвели в крайнє положення та відпустили (без поштовху), розпочавши відлік часу. Рівняння руху в цьому випадку слід записати у вигляді x = xmax cos ωt, але можна записати і так:

Обидві форми запису еквівалентні, тобто описують одне й те саме коливання, графік якого є косинусоїдою (мал. 108).

Мал. 108. Графік коливань

Якщо початок відліку часу починається в момент проходження коливним тілом положення рівноваги, то рівняння руху може бути записане у вигляді

У гармонічних коливаннях швидкість і прискорення коливного тіла також змінюються за гармонічним законом, оскільки швидкість дорівнює першій похідній координати за часом, а прискорення — першій похідній від швидкості (або другій похідній координати).

З курсу математики відомо, що (cos kx)’ = -k sin kx, (sin kx)‘ = k cos kx.

Виходячи з рівняння x = xmax cos ωt, отримуємо υ = (xmax cos ωt)‘ = -xmax ω sin ωt, де υmax = -xmax ω — максимальна швидкість. Для прискорення маємо a = (-xmax ω sin ωt)‘ = - xmax ω2 cos ωt, де amax = - xmax ω2 — максимальне прискорення.

З попередніх рівнянь видно, що прискорення прямо пропорційне зміщенню. Отже, у будь-який момент часу сила, що зумовлює коливання тіла масою m, також пропорційна зміщенню, F = -mω2xmax cos ωt, де Fmax = -mω2xmax — максимальне значення сили. Таким чином, гармонічні коливання відбуваються під дією сили, напрямленої до положення рівноваги і прямо пропорційної зміщенню від цього положення.

Графіки часових залежностей зміщення, швидкості та прискорення гармонічних коливань зображено на малюнку 109. Згідно з формулами зведення тригонометричних функцій залежність швидкості від часу υ = -υmax sin ωt набуває вигляду

Порівнюючи це рівняння з рівнянням x = xmax cos ωt бачимо, що коливання швидкості випереджають за фазою коливання зміщення на π/2 (мал. 109, б). Коливання прискорення, що описуються рівнянням a = -amax cos ωt можна записати у вигляді a = amax cos (ωt + π), тобто коливання прискорення випереджають за фазою коливання координати на ω рад (перебувають у протифазі) (мал. 109, в).

Мал. 109. Графіки залежностей: а — x(t); б — υ(t); в — a(t)

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

  • 1. Які коливання називають гармонічними?
  • 2. Як пов’язані прискорення та координата в гармонічних коливаннях?
  • 3. Як змінюється із часом швидкість у гармонічних коливаннях?
  • 4. Яку фізичну величину називають фазою коливання? Що вона характеризує?
  • 5. Миттєве зміщення частинки в коливаннях описується функцією x = xmax cos (ωt + φ0). Якою має бути початкова фаза φ0, щоб коливання були синусоїдними?

Приклади розв’язування задач

Задача. Тіло здійснює гармонічні коливання за законом x = 0,05 cos 10 πt, де всі величини задано в СІ.

  • а) Визначте амплітуду коливань, частоту коливань і період коливань. Запишіть рівняння залежності швидкості й прискорення від часу, υx = υx (t) і ах = ах (t), та побудуйте графіки залежностей зміщення, швидкості, прискорення від часу.
  • б) Визначте зміщення для фази π/4. У який момент часу зміщення дорівнюватиме 0,025 м?

Мал. 110

ВПРАВА 22

1. Рівняння руху гармонічного коливання має вигляд x = 0,02 cos 100πt. Побудуйте графік залежності х(t). Обчисліть зміщення через 0,25 с; через 1,25 с. Відповіді поясніть за допомогою графіка.

2. За графіком гармонічних коливань, зображеним на малюнку 111, запишіть рівняння цього коливання.

Мал. 111

3. Напишіть рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою 0,2 м, періодом 4 с і початковою фазою, що дорівнює нулю. Накресліть графік цього руху.

4. Напишіть рівняння гармонічного коливального руху, якщо максимальне прискорення точки 49,3 см/с2, період коливань 2 с і зміщення точки від положення рівноваги в початковий момент часу — 25 мм.

5. Коливальний рух точки описується рівнянням x = 0,05 cos 20πt (усі величини задано в СІ). Обчисливши першу та другу похідні, напишіть рівняння залежності швидкості й прискорення від часу, υx = υx(t) і ах = ах(t). Визначте зміщення, швидкість і прискорення через 1/60 с від початку руху.

6. Напишіть рівняння гармонічного коливального руху за такими його характеристиками: а) амплітуда 5,5 см, період 1 хв, початкова фаза 30°; б) амплітуда 0,1 м, частота 10 коливань за секунду, початкова фаза дорівнює нулеві.

7. Напишіть рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою 0,2 м, періодом 4 с і початковою фазою, що дорівнює нулеві. Накресліть графік цього руху.

8. Амплітуда гармонічних коливань — 50 мм, період — 4 с і початкова фаза — ω/4. Визначте зміщення коливної точки від положення рівноваги в моменти часу t = 0 і t = 1,5 c.