Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 20. Механіка рідин і газів

Гідростатика та гідродинаміка. Гідростатика вивчає закони рівноваги рідин, які перебувають у стані абсолютного чи відносного спокою та рівноваги тіл, занурених у рідини за умови, коли відсутні переміщення часток рідини одна відносно одної.

Одне з основних завдань гідростатики — вивчення розподілу тиску в рідині. Знаючи розподіл тиску на підставі законів гідростатики, можна розрахувати сили, що діють з боку рідини, яка перебуває в стані спокою, на занурені в неї тіла, наприклад, на стіну греблі, занурений трубопровід, конструкції морських нафто- і газовидобувних платформ тощо. Зокрема, можна вивести умови плавання тіл на поверхні або всередині рідини, а також з’ясувати, за яких умов тіла, які плавають, будуть мати стійкість, що особливо важливо в кораблебудуванні. На законах гідростатики, зокрема на законі Паскаля, ґрунтується робота гідравлічного преса, гідравлічного акумулятора, рідинного манометра, сифона й багатьох інших машин і приладів.

Закон Паскаля: тиск, який діє на рідину або газ, передається ними в усіх напрямках однаково.

Кожний верхній шар рідини своєю вагою тисне на шари, що містяться нижче. Тиск у рідинах називають гідростатичним. Гідростатичний тиск рідин залежить від густини рідини й висоти стовпа рідини в посудині: p = ρgh, де ρ — густина рідини, h — висота стовпа рідини.

За цією формулою можна визначити тиск рідини, налитої в посудину будь-якої форми. Крім того, за нею можна обчислити й тиск на стінки посудини, а також тиск усередині рідини, у тому числі й тиск знизу вгору, оскільки він на тій самій глибині однаковий у всіх напрямках.

Закон Архімеда: на тіло, занурене в рідину або газ, діє виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі рідини або газу в об’ємі цього тіла: F = ρgV, де ρ — густина рідини, у яку повністю занурене тіло об’ємом V.

Гідродинаміка вивчає рух нестисливих рідин під дією зовнішніх сил і механічну взаємодію між рідиною й тілами під час їхнього відносного руху.

Рух реальних рідин і газів — складне явище для дослідження математичними методами, тому для його опису застосовують модель — ідеальну рідину, яка вважається однорідною нестисливою й нев’язкою. Під час руху ідеальної рідини не відбувається перетворення механічної енергії у внутрішню, отже, для опису її руху можна застосовувати закон збереження механічної енергії.

Рух рідин може бути ламінарним (від лат. laminia — шар) і турбулентним (від лат. turbulentus — вихор).

У ламінарній течії шари рідини ніби ковзають один по одному, не змішуючись. Такий рух рідини — стаціонарний. За невеликих швидкостей руху рідини можливий її стаціонарний потік. У турбулентній течії рух рідин нестаціонарний — шари рідини змішуються, утворюючи завихрення.

Розглянемо стаціонарний рух ідеальної рідини по трубі змінного перерізу (мал. 102).

Мал. 102. Рух рідини по трубі змінного перерізу

Протягом інтервалу часу Δt рідина у трубі на ділянці перерізом S1 змістилася на l1 = υ1Δt, а на ділянці перерізом S2 — на l2 = υ2Δt, де υ1, υ2 — швидкість руху рідини на відповідних ділянках труби.

Оскільки рідина у трубі не накопичується і не стискається, то об’єм рідини, що проходить через широку ділянку труби, дорівнює об’єму рідини, що проходить через її вузьку ділянку протягом однакового інтервалу часу Δt: V1 = V2 — умова неперервності течії рідини.

Об’єм рідини, що проходить через переріз S1 труби, дорівнює V1 = l1S1 = υ1ΔtS1, відповідно через переріз S2: V2 = l2S2 = υ2ΔtS2. Оскільки V1 = V2, то υ1S1 = υ2S2 або

Швидкість руху однорідної нестисливої та нев’язкої рідини у трубі змінного перерізу обернено пропорційна площі її поперечного перерізу:

Рівняння Бернуллі. Як відомо, нерухома рідина в посудині, згідно із законом Паскаля, передає зовнішній тиск до всіх точок рідини без змін. Якщо рідина тече без тертя по трубі змінного перерізу, то тиск на різних ділянках труби неоднаковий: у вузьких ділянках труби, де швидкість руху рідини є більшою, тиск менший, у широких — навпаки. Пояснимо цей факт.

Переходячи із широкої ділянки труби у вузьку, рідина змінює свою швидкість, тобто рухається з прискоренням. А за другим законом Ньютона тіло набуває прискорення тоді, коли на нього діє сила. Це означає, що на рідину, яка в даний момент міститься у звуженій частині труби, діє з боку рідини в ширшій її частині певна сила, що може виникнути тільки внаслідок різниці тисків у різних перерізах труби. Сила напрямлена в бік вузької частини труби, отже, у вузьких місцях тиск менший, ніж у широких. Ця сила тиску, яка змушує рідину текти по трубі, є силою пружності стиснутої рідини. Говорячи про нестисливість рідини, мають на увазі лише те, що вона не може бути настільки стиснутою, щоб помітно змінився її об’єм. Разом з тим, дуже мале стиснення, яке спричиняє виникнення сил пружності, неминуче відбувається. Ці сили й створюють тиск рідини.

Установимо зв’язок між тиском і швидкістю рідини в різних перерізах труби. Виділимо тонкий поперечний шар рідини масою m. У перерізі S1 потенціальна енергія шару рідини дорівнює mgh1 і кінетична —

Перемістившись у переріз S2, цей шар матиме потенціальну енергію mgh2 і кінетичну —

На вибраний шар рідини в перерізі S1 тисне рідина, що тече позаду, а рідина, що тече попереду, заважає його переміщенню. Іншими словами, над даним шаром рідини решта рідини виконує роботу. Визначимо її.

Позначимо тиск рідини на перерізі S1 через p1, а зустрічний тиск на перерізі S2 — через p2. Сила тиску на перерізі S1 виконує додатну роботу p1S1l1, а сила зустрічного тиску — від’ємну роботу -p1S1l1. Ураховуючи, що S1l1 = S2l2 = V, вираз для роботи сили тиску має вигляд (p1 - p2)V. У результаті виконання силами тиску роботи змінюється повна механічна енергія шару рідини

Розкриємо дужки та перенесемо всі члени, що стосуються перерізу S1 у лівий бік рівності, а ті, що стосуються перерізу S2 — у правий. Поділимо рівність на V і, врахувавши, що

отримаємо:

Перерізи були вибрані довільно, отже, ця рівність виконується для всіх перерізів:

Отриманий вираз називається рівнянням Бернуллі, що описує рух ідеальної рідини.

З’ясуємо, який фізичний зміст мають доданки цього рівняння. Очевидно, що ρgh — потенціальна енергія одиничного об’єму рідини,

— його кінетична енергія, тому і перший доданок має зміст енергії, а саме — це потенціальна енергія «стиснутого» зовнішнім тиском р одиничного об’єму рідини.

Отже, фізичний зміст рівняння Бернуллі полягає в тому, що в потоці ідеальної рідини повна механічна енергія одиниці її об’єму є величиною сталою по всій довжині труби.

Закон Бернуллі був відкритий у 1738 р. Цей закон справджується і для рухомого газу, але за умови, що його тиск невеликий і густина суттєво не змінюється.

Зауважимо ще один факт. Усі доданки рівняння мають розмірність тиску. Тому в інженерній практиці їх називають: p — статичний тиск, ρgh — ваговий тиск,

— динамічний тиск.

Рівняння Бернуллі для горизонтального потоку має вигляд

З нього випливає, що зі збільшенням швидкості υ має зменшуватись тиск p, щоб сума статичного і динамічного тисків була сталою, і навпаки.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

  • 1. У чому полягає суть закону Паскаля? Як ви уявляєте механізм передачі тиску рідинами та газами, якщо на них діє зовнішня сила?
  • 2. Які сили діють на тіло, що плаває в рідині? Зобразіть їх.
  • 3. Доведіть, що швидкість руху рідини у трубі змінного перерізу обернено пропорційна площі поперечного перерізу.
  • 4. Поясніть, чому тиск рідини більший там, де швидкість потоку менша, і менший там, де швидкість потоку більша.
  • 5. Наведіть приклади, що підтверджують закон Бернуллі. Наведіть приклади застосування закону Бернуллі в техніці.

Експериментуємо

  • Тримаючи за кінчики два аркуші паперу зі шкільного зошита так, щоб відстань між їх площинами була 3-5 см, подуйте у простір між ними. Опишіть і поясніть явище, що спостерігалося.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Доведіть теорему Торрічеллі, згідно з якою швидкість витікання з вузького отвору в широкій посудині дорівнює швидкості вільного падіння з висоти рівня рідини в посудині над отвором.

Мал. 103

Зображення, що містить текст

Автоматично згенерований опис

Задача 2. Медична сестра тисне на поршень шприца діаметром 1 см із силою 0,01 Н. Визначте швидкість витікання струменя рідини зі шприца, який розташовано горизонтально. Тертям знехтуйте. Густина рідини — 103 кг/м3.

Задача 3. Переріз русла річки має площу 130 м2, швидкість течії в цьому місці — 0,4 м/с. Яка швидкість течії у вузькому місці, площа перерізу якого дорівнює 52 м2?

ВПРАВА 21

1. У циліндричну трубку площею поперечного перерізу 5 см2 налили 100 г ртуті, 50 г гліцерину і 30 г води. Визначте тиск рідин на дно трубки, якщо її встановлено вертикально й під кутом 30° до горизонту.

2. На якій глибині у воді тиск буде в п’ять разів більшим від атмосферного, що становить 750 мм рт. ст.?

3. У сполучені посудини налили гліцерин, а зверху в одну посудину налили стовп води заввишки 40 см, а в другу — стовп олії заввишки 60 см. Визначте різницю рівнів гліцерину в сполучених посудинах.

4. Порожниста чавунна куля масою 5 кг плаває у воді так, що її половина занурена у воду. Визначте об’єм порожнини кулі.

5. У посудину налили ртуть і олію. Опущена в посудину куля плаває так, що її нижня половина занурена у ртуть, а верхня — в олію. Визначте густину кулі.

6. Крижина площею поперечного перерізу 1 м2 і заввишки 40 см плаває у воді. Яку роботу треба виконати, щоб повністю занурити крижину у воду?

7. Наповнену воднем метеорологічну кулю-зонд масою 8 кг запускають без початкової швидкості. Вважаючи рух рівноприскореним, визначте висоту підняття кулі та її повну енергію в кінці 5-ї секунди руху. Радіус оболонки кулі — 1,5 м, опір її рухові — 50 Н. Зміною густини повітря знехтуйте.

8. У пожежному шлангу діаметром 7 см тече вода зі швидкістю 9 м/с. Визначте внутрішній діаметр трубки брандспойта, якщо вода витікає з нього зі швидкістю 129,6 км/с.

9. У горизонтальній трубі, діаметр якої 8 см, нафта тече зі швидкістю 2 м/с за тиску 150 кПа. Визначте, під яким тиском тече нафта у вузькій частині труби діаметром 4 см.

10. Під час польоту тиск повітря під крилом літака дорівнює 97,8 кПа. Площа крила — 20 м2. Визначте піднімальну силу крила літака.

11. Якою має бути висота циліндричної посудини радіусом 5 см, заповненої водою, щоб сила тиску води на дно дорівнювала силі тиску на бічну поверхню?

12. Площа поршня у шприці — 2 см2, а площа отвору — 1 мм2. Скільки часу витікатиме вода зі шприца, якщо діяти на поршень із силою 8 Н і якщо хід поршня дорівнює 5 см? Шприц розташовано горизонтально.

13. З брандспойта б’є струмина води, що дає 60 л/хв. Яка площа поперечного перерізу струмини на висоті 2 м над кінцем брандспойта, якщо поблизу нього вона дорівнює 1,5 см2?