Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 13. Дія законів Ньютона в неінерціальних системах відліку

Опис руху в неінерціальних системах відліку. Закони Ньютона в тому вигляді, як ми їх вивчили, виконуються лише в інерціальних системах відліку. На практиці часто доводиться розв’язувати задачі, у яких необхідно вміти описати рух із погляду спостерігача, що перебуває в неінерціальній системі відліку, особливо в тих випадках, коли відносно цієї системи відліку тіло перебуває у стані спокою.

Нагадаємо, неінерціальна система відліку — це система відліку, у якій причиною виникнення прискорення руху тіл є не лише взаємодія тіл, а й прискорений рух самої системи відліку.

Нехай у вагоні потяга, що набирає швидкість, а отже, рухається з прискоренням

висить на нитці кулька (мал. 65, а). Відносно землі (інерціальної системи відліку K) кулька має таке саме прискорення, як і вагон потяга, і воно спричинене рівнодійною

сил тяжіння

і натягу нитки

Другий закон Ньютона в цьому разі має вигляд

Відносно вагона (неінерціальної системи відліку К') кулька перебуває у стані спокою (мал. 65, б). У цьому разі сила

має бути скомпенсована. Такою силою є сила інерції

Другий закон Ньютона в цьому випадку записується у вигляді

Мал. 65. Сили, що діють на кульку: а — в інерціальній системі відліку; б — у неінерціальній

Сила інерції. Сила інерції зумовлена не взаємодією тіл, а прискореним рухом самої системи відліку відносно інерціальної системи відліку. Сили інерції напрямлені завжди протилежно до прискорення руху самої системи відліку.

Таким чином, для визначення сил інерції в неінерціальних системах відліку спочатку необхідно визначити суму сил

що діють на дане тіло в «нерухомій» (інерціальній) системі відліку. Сили інерції будуть дорівнювати цій сумі, взятій із протилежним знаком. Іншими словами, сили інерції, що діють на тіло в неінерціальній системі відліку, визначаються добутком маси тіла на прискорення самої системи відліку.

Основне рівняння динаміки в неінерціальних системах відліку за формою аналогічне рівнянню другого закону Ньютона, але в нього, крім «сил, що реально діють», входять сили інерції:

Сила інерції прикладена до тіла, але неможливо вказати тіло, з яким відбувається взаємодія, тому для сили інерції третій закон Ньютона не може бути застосований.

Дію сили інерції відчували майже ви всі, коли падали уперед за різкого гальмування, наприклад, автобуса чи трамвая.

За властивостями сила інерції схожа на силу земного тяжіння. Під дією сили тяжіння всі тіла рухаються з однаковим прискоренням, тобто Fтер ~ m. Сили інерції надають тілам також відповідного прискорення, з яким рухається неінерціальна система відліку, тобто Fін~ m. (Еквівалентність сил інерції і гравітаційних сил покладена Ейнштейном в основу загальної теорії відносності. Про це ви дізнаєтесь згодом.)

Таким чином, властивості сил інерції такі:

  • а) вони неінваріантні відносно переходу з однієї неінерціальної системи відліку в іншу;
  • б) вони не підпорядковуються третьому закону Ньютона;
  • в) вони є зовнішніми силами відносно рухомого тіла;
  • г) вони пропорційні масі тіла;
  • д) рух тіла під дією сил інерції аналогічний рухові у гравітаційному полі.

Опис руху в неінерціальних системах відліку, що обертаються з постійною кутовою швидкістю. Розглянемо рух тіла в неінерціальній системі відліку К', що обертається відносно інерціальної К з постійною кутовою швидкістю. Прикладом такого руху може бути рух кульки, що закріплена на одному з кінців пружини, а другим кінцем пружина кріпиться до осі диска, який може обертатись (мал. 66). Якщо диск не обертається — пружина не деформована. Під час розкручування диска кулька розтягує пружину доти, поки сила пружності не набуває значення Fпр = ma = mω2R. Відносно інерціальної системи відліку (Землі) кулька рухається по колу з доцентровим прискоренням, яке надає йому сила пружності.

Мал. 66. Рух тіла в неінерціальній системі відліку, що обертається

Відносно неінерціальної системи відліку К' (диска) кулька нерухома. Тобто сила пружності зрівноважується силою інерції, яку у цьому випадку її називають відцентровою силою інерції

яка напрямлена вздовж радіуса диска від осі його обертання.

Відцентрова сила інерції. Як і будь-яка сила інерції, відцентрова сила інерції існує лише в неінерціальній системі відліку і зникає з переходом в інерціальну (тобто є неінваріантною величиною).

Ще одним прикладом дії відцентрової сили інерції є розкручування молота («ядра», закріпленого на тросі) (мал. 67). Відносно інерціальної системи відліку (Землі) ядро рухається по колу, отже, має доцентрове прискорення, яке надає йому сила пружності (сила натягу троса). Відносно спортсмена, який обертається, ядро нерухоме, отже, на нього крім сили натягу троса діє ще й відцентрова сила інерції, напрямлена проти доцентрового прискорення.

Зображення, що містить небо, надворі, спорт

Автоматично згенерований опис

Мал. 67 Рух ядра під дією сили натягу троса

Майже в усіх розв’язаних нами задачах ми не враховували обертання Землі й вважали її інерціальною системою відліку. У точних розрахунках необхідно враховувати відцентрову силу інерції, що діє на тіла, які обертаються разом із Землею. Так, у § 10 ми вже дослідили вплив добового обертання Землі на значення

залежно від широти місцезнаходження.

Сила Коріоліса. Окрім відцентрової сили інерції, у неінерціальній системі відліку, що обертається, існує ще й сила інерції Коріоліса.

Сила Коріоліса — це сила інерції, що діє в неінерціальній системі відліку, яка обертається з кутовою швидкістю

на тіло, що рухається зі швидкістю

Сила Коріоліса перпендикулярна до вектора

і діє у площині, перпендикулярній до осі обертання системи, вона перпендикулярна до вектора швидкості руху тіла, а отже, змінює тільки напрямок швидкості, не змінюючи її модуля.

Сила Коріоліса відхиляє на схід тіла, що вільно падають. Це відхилення пропорційне косинусу широти місцезнаходження, отже, воно максимальне на екваторі й дорівнює нулю на полюсах. Так, у результаті падіння тіла на екваторі з висоти 30 м відхилення становить 3,6 мм. Силу Коріоліса необхідно враховувати для точного наведення на ціль під час стрільби на далекі відстані (мал. 68).

Мал. 68. Дія сили Коріоліса

У Північній півкулі праві береги річок, що течуть на південь, завжди високі. Це зумовлено їх підмиванням завдяки дії сил інерції Коріоліса (мал. 69).

Мал. 69. Береги річок

Ще одним прикладом прояву сили Коріоліса є поворот площини коливань маятника (про це детальніше в § 24).

Штучне тяжіння. Ідея штучної гравітації ґрунтується на принципі еквівалентності сили гравітації і сили інерції, тобто: якщо інертна маса і гравітаційна маса рівні, то неможливо відрізнити, яка сила діє на тіло — гравітаційна або сила інерції. Іншими словами: якщо створити космічний корабель, що обертається навколо своєї осі, відцентрова сила, що виникає при цьому, «виштовхуватиме» космонавта від центра обертання, і він зможе запросто стояти на «підлозі». Що швидше обертатиметься корабель, і що далі від центра буде перебувати космонавт, то сильнішою буде штучна гравітація (мал. 70). Сила «штучного тяжіння» буде такою:

де m — маса космонавта, υ — лінійна швидкість космонавта, r — відстань від центра обертання (радіус). Лінійна ж швидкість така

де Т — час одного обороту.

Мал. 70. Штучна гравітація: а — схематичний малюнок; б — модель космічного корабля

Проте теоретичні розрахунки не так легко реалізувати на практиці. Як видно, штучна сила тяжіння прямо пропорційна відстані від центра обертання, а це означає, що для невеликих r сила гравітації значно відрізнятиметься для голови і ніг космонавта, що може утруднити пересування. Якщо ще до цього можна буде пристосуватися, та набагато складніше пристосуватися до дії сили Коріоліса, яка виникатиме кожного разу, коли наш космонавт рухатиметься відносно напрямку обертання, що викликатиме «морську хворобу». Щоб позбавитися від цього ефекту, частота обертання станції має бути меншою ніж 2 об/хв, і тут виникає ще одна проблема — за такої частоти обертання радіус обертання має дорівнювати 224 м (а це майже 1/4 км, або як висота 95-поверхової будівлі).

Вирішення проблеми створення штучної гравітації сприяло б не лише безпечному й тривалому перебуванню космонавтів і космонавток на МКС (міжнародних космічних станціях), а й було б проривом у гравітаційній біології. Стане можливим вивчити: як змінюється структура, функції на мікро-, макрорівнях, закономірності при гравітаційних діях різної величини і спрямованості. Ці відкриття, своєю чергою, допоможуть розвинути новий напрямок — гравітаційну терапію, застосовну при гіпертонічній хворобі, а також для відновлення кісткових тканин при переломах.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

  • 1. Яка система відліку називається неінерціальною?
  • 2. Назвіть особливості сил інерції.
  • 3. Чим обумовлена відцентрова сила інерції? Сила Коріоліса? Наведіть приклади їх прояву.
  • 4. У чому полягають проблеми і перспективи створення штучної гравітації?

Приклади розв’язування задач

Задача 1. По похилій площині завдовжки 2,5 м одночасно почали рух два тіла: перше — вгору з початковою швидкістю 50 см/с, друге — вниз без початкової швидкості. Визначте час зустрічі тіл. Тертя не враховуйте.

Мал. 71. Рух тіл в інерціальній системі відліку

Мал. 72. Рух тіл в неінерціальній системі відліку

Відповідь: 5 с.

Зверніть увагу! У кінематиці можна розв’язувати задачі і в інерціальній, і в неінерціальній системах відліку. Крім того, розв’язання задачі в неінерціальній системі відліку простіше.

Задача 2. Клин, на поверхні якого лежить брусок, рухається вертикально вгору з прискоренням

Брусок зісковзує вниз. Кут нахилу клина — α. Визначте прискорення бруска під час руху по поверхні клина за умови, що поверхня клина гладенька (μ = 0).

Задача 3. Відро з водою обертають у вертикальній площині на мотузці завдовжки l. З якою найменшою швидкістю необхідно обертати відро, щоб вода не виливалася з відра у верхній точці? Розв’яжіть задачу в інерціальній і неінерціальній системах.

Мал. 74. Сили, що діють на воду: а — в інерціальній системі відліку; б — у неінерціальній системі відліку

ВПРАВА 13

1. Яким має бути горизонтальне прискорення автомобіля, щоб стійке положення пасажира відповідало куту його нахилу 45°?

2. У ліфті, який під час руху вниз має прискорення 1 м/с2, людина випустила з рук портфель. Яке прискорення матиме портфель відносно ліфта та Землі?

3. На горизонтальній дошці лежить вантаж. Коефіцієнт тертя між дошкою і вантажем 0,1. Яке прискорення в горизонтальному напрямку слід надати дошці, щоб вантаж міг з неї зісковзнути?

4. Тіло масою m рухається вниз по похилій площині. Визначте прискорення, з яким зісковзує тіло з похилої площини, та силу реакції опори, якщо кут нахилу площини а, а коефіцієнт тертя між тілом і площиною μ. Розв’яжіть задачу в неінерціальній та інерціальній системах відліку.

5. Клин, на поверхні якого розміщено брусок, рухається вертикально вгору з прискоренням

Брусок зісковзує вниз. Кут нахилу клина — α. Визначте прискорення бруска під час руху по поверхні клина за наявності тертя (μ ≠ 0).

6. Гладенький клин (μ = 0), на поверхні якого міститься брусок, рухається ліворуч із прискоренням

Брусок зісковзує вниз. Кут нахилу клина — α. Визначте прискорення бруска під час руху по поверхні клина.

7. Клин, на поверхні якого міститься брусок, рухається ліворуч. Яким має бути прискорення клина, щоб брусок не ковзав по його поверхні? Кут нахилу клина α = 45°, коефіцієнт тертя між бруском і поверхнею клина μ = 0,2.

8. Невелике тіло масою m зісковзує без тертя з поверхні сфери, радіус якої R. На якій висоті тіло відірветься від поверхні сфери?