Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Засєкіна

§ 12. Рух під дією кількох сил

Електромагнітні сили в механіці. Рухів, які відбуваються під дією лише однієї сили, у земних умовах практично немає. У розглянутих перед цим випадках руху тіл під дією земного тяжіння ми нехтували опором повітря. Результуючий характер руху тіла залежить від усіх прикладених до нього сил, у тому числі й тих, що перешкоджають руху (сили опору середовища, реакції опори, тертя).

Сила тяжіння є проявом гравітаційної взаємодії. Сили пружності й сили тертя, які також розглядаються в механіці, є проявом електромагнітної взаємодії (на рівні міжмолекулярної взаємодії).

Сила пружності. При деформації тіл їх частинки зміщуються одна відносно іншої (мал. 51, а). Унаслідок цього змінюються відстані між атомами чи молекулами, з яких складаються тіла. Це приводить до зміни сил взаємодії між частинками. Якщо відстані між ними збільшуються (наприклад, під час розтягування), то силою міжмолекулярної взаємодії є сила притягання. Якщо відстані між частинками зменшуються (наприклад, під час стискання), то силою міжмолекулярної взаємодії є сила відштовхування. Тобто під час деформації тіла в ньому виникають сили, що прагнуть повернути його в попередній стан. Ці сили і є силами пружності.

Мал. 51. Сила пружності: а — виникає внаслідок деформації; б — направлена проти зміщення частин деформованого тіла

Головною відмінністю сил пружності від усіх інших сил є те, що вони залежать від деформацій та від властивостей деформованого тіла (його жорсткості) і не залежать від тіла, до якого прикладені. Для сили пружності, що виникає внаслідок пружних деформацій, встановлений закон Гука:

тут k — коефіцієнт пружності, або жорсткість, його значення залежить від розмірів і матеріалу тіла, вимірюється в ньютонах на метр:

— зміщення кінця тіла. Знак «-» показує, що напрямок сили пружності протилежний напряму зміщення краю деформованого тіла.

Закон Гука можна записати і в проекціях — Fпрx = -kx, і для модулів — Fпр = k│x│. Оскільки в умові більшості задач ідеться не про силу пружності

а про прикладену силу

(мал. 51, б), то, враховуючи третій закон Ньютона, формулу Fпрx = -kx можна застосовувати у вигляді F = kx.

У випадку паралельного з’єднання пружин, коефіцієнти жорсткості яких к 1 і к 2, загальний коефіцієнт жорсткості системи k = k1 + k2; для послідовного з’єднання —

(мал. 52).

Мал. 52. З’єднання пружин: а — паралельне; б — послідовне

Сили тертя. Як ми вже знаємо, тіло під дією прикладених до нього сил може рухатись у будь-якому напрямку. У реальних умовах часто вільному рухові тіл перешкоджають інші тіла, які перебувають із цим тілом у контакті. Так, тіло внаслідок дії сили тяжіння тисне на опору чи розтягує підвіс — деформує їх. За третім законом Ньютона опора чи підвіс діють на тіло з такою самою за модулем і протилежно напрямленою силою реакції опори

Природа цих сил однакова, але вони не компенсують одна одну, бо прикладені до різних тіл.

Важливою особливістю сил реакції опори є те, що вони напрямлені перпендикулярно до поверхні дотику тіл (мал. 53).

Мал. 53. Напрямок сил реакції: а — підвісу; б, в — опори

Сила тертя, що також є проявом електромагнітної взаємодії, виникає тому, що поверхня будь-якого тіла має різні нерівності, виступи й западини. Коли одне тіло рухається по поверхні іншого, то нерівності перешкоджають цьому рухові. Однак природа тертя набагато складніша. Тертя можна зменшити, якщо відполірувати поверхні тіл, які перебувають у взаємодії. Оскільки розміри нерівностей стануть значно меншими, то зменшиться й тертя. Однак завжди настає момент, коли подальше полірування поверхонь не зменшує силу тертя, а навпаки, вона починає збільшуватися. Причиною цього є те, що під час полірування поверхонь відстань між верхніми шарами молекул тіл, що контактують, стає все меншою. І коли ця відстань зменшується настільки, що між молекулами обох поверхонь виникає сила взаємного притягання, сила тертя збільшується.

Особливістю сили тертя є те, що вона виникає лише в макроскопічних системах, де внаслідок хаотичного руху атомів відбувається необоротний процес розсіяння енергії макроскопічного руху складових системи в енергію мікроскопічного руху атомів і молекул. Тобто сила тертя — це сила, яка протидіє рухові фізичного тіла, розсіюючи його механічну енергію в тепло (цю властивість (непотенційність сили тертя) детальніше розглянемо, вивчаючи енергетичні характеристики руху).

Найближчим часом розглядатимемо випадки, у яких будемо враховувати, що сила тертя залежить від: швидкості руху тіл відносно одне одного; речовини, з якої складаються тіла, що взаємодіють; стану поверхонь тіл (взаємодія твердих тіл); розмірів і форми тіла (рух твердого тіла в рідині або газі); ваги тіла.

Сила тертя спокою завжди діє вздовж поверхні дотику тіл, дорівнює за модулем і протилежна за напрямком зовнішній силі, яка намагається зрушити тіло з місця, Fтер.сп ≤ μспN, тут N — сила нормального тиску (або рівна їй за модулем сила реакції опори), μсп — коефіцієнт тертя, який залежить від стану поверхонь тіл і від властивостей речовини, з якої вони виготовлені.

Зрушивши з місця, тіло починає ковзати по поверхні іншого тіла, і між ними вже існує сила тертя ковзання, яка дещо менша від максимальної сили тертя спокою, хоча також пропорційна силі нормального тиску (силі реакції опори) і залежить від матеріалу контактуючих поверхонь: Fтер.ковз = μковзN (мал. 54).

Мал. 54. Графік залежності сили тертя від прикладеної сили

Слід зазначити, що залежність Fтер.ковз = μковзN не є законом, а лише встановлює взаємозв’язок між силою тертя, що діє вздовж поверхні дотику, і силою нормального тиску, перпендикулярною до цієї поверхні. Це співвідношення не є векторним, оскільки дві сили перпендикулярні між собою.

Сила опору під час руху тіла в рідині або газі. Під час руху шарів рідини чи газу виникають сили внутрішнього тертя. Ці самі сили виникають й у випадку руху твердого тіла в рідині чи газі. Сили тертя завжди напрямлені проти напрямку швидкості відносного руху.

У загальному випадку закон, що встановлює зв’язок між силою рідкого тертя і швидкістю руху тіла відносно рідини чи газу, досить складний. У тих випадках, які розглядатимемо ми, можна вважати, що сила рідкого тертя прямо пропорційна швидкості відносного руху тіла:

Знак «-» вказує на те, що сила рідкого тертя напрямлена проти напрямку швидкості руху. Коефіцієнт α називається коефіцієнтом рідкого тертя, або коефіцієнтом опору середовища. Його значення залежить від форми і розмірів тіла, що рухається, а також від властивостей рідини (чи газу).

Сили пружності, як і сила тяжіння належать до консервативних сил. Консервативні сили — це сили, робота яких під час переміщення тіла залежить тільки від початкового та кінцевого положень тіла у просторі. Системи, у яких не відбувається перетворення механічної енергії в інші види (внутрішню, електромагнітну, хімічну тощо), називаються консервативними системами. Сили тертя не є потенціальними, вони розсіюють механічну енергію, перетворюючи її в теплову. Сили тертя протидіють рухові й залежать від швидкості тіла.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

  • 1. Унаслідок чого з’являється сила пружності? Яка природа цієї сили?
  • 2. Що означає знак «мінус» у формулі закону Гука?
  • 3. Чи є формули для розрахунку сили реакції опори або підвісу?
  • 4. Яку силу називають силою нормального тиску?
  • 5. За яких умов виникає сила тертя спокою? Сила тертя ковзання? Від чого вони залежать?
  • 6. Які сили називаються силами рідкого тертя? Від чого вони залежать?

Приклади розв’язування задач

Задача 1. По похилій площині рівномірно витягують ящик масою 100 кг. Яку силу слід прикласти, щоб витягти ящик, якщо висота похилої площини 1,5 м, а довжина — 4,5 м. Задачу розв’яжіть: а) з урахуванням сили тертя (μ = 0,3); б) нехтуючи силою тертя.

Мал. 55. Рух тіла по похилій площині

Задача 2. Кулька, що висить на нитці, обертається в горизонтальній площині. Знайдіть кут відхилення нитки від вертикалі. Швидкість руху кульки 1,5 м/с, радіус кола, яке описує кулька, — 30 см.

На кульку діє сила тяжіння

напрямлена вертикально вниз, і сила натягу нитки, яку прийнято позначати

що напрямлена вздовж нитки. Нитка вважається нерозтяжною, щоб не враховувати додаткові сили пружності, які виникають при розтягуванні (згідно із законом Гука). Оскільки кулька рухається по колу, то прискорення

яке надає їй рівнодійна цих сил, — це доцентрове прискорення.

Мал. 56. Конічний маятник

Задача 3. З якою максимальною швидкістю може їхати мотоцикліст по горизонтальній площині, описуючи дугу радіусом 90 м, якщо коефіцієнт тертя коліс об дорогу 0,4? На який кут від вертикалі треба відхилятися мотоциклісту, маючи швидкість руху 15 м/с?

Мал. 57. Сили, що діють на мотоцикліста під час повороту

Задача 4. На горизонтальній площині лежить брусок масою m1 = 2 кг. До кінця нитки, прикріпленої до бруска й перекинутої через нерухомий блок, підвішено тягар масою m2 = 0,5 кг. Визначте силу натягу нитки, якщо коефіцієнт тертя між площиною і бруском μ = 0,1. Масою нитки і блока, а також тертям у блоці знехтуйте.

Мал. 58. Сили, що діють у системі зв’язних тіл

ВПРАВА 12

1. Дерев’яний брусок масою 2 кг тягнуть рівномірно по дошці, причепивши до пружини, жорсткість якої 100 Н/м. Коефіцієнт тертя — 0,3. Визначте видовження пружини.

2. Підіймальний кран піднімає вантаж, маса якого 1 т. Яка сила натягу троса на початку піднімання, якщо вантаж рухається при цьому з прискоренням 25 м/с2?

3. Потяг, маса якого 10 т, рушаючи з місця, на шляху 50 м набирає швидкість 10 м/с. Визначте коефіцієнт опору, якщо сила тяги дорівнює 14 кН.

4. Вантаж масою 50 кг рівноприскорено піднімають вертикально вгору за допомогою каната протягом 2 с на висоту 10 м. Визначте силу натягу каната.

5. За якого прискорення розірветься трос (міцність троса на розрив становить 15 кН), якщо ним піднімати вантаж масою 500 кг?

6. Яку масу баласту треба викинути з аеростата, що рівномірно опускається, аби він почав рівномірно підніматися з такою самою швидкістю? Маса аеростата з баластом — 1200 кг, піднімальна сила аеростата стала й дорівнює 8000 Н. Силу опору повітря вважайте однаковою під час піднімання та опускання.

7. Сталевий виливок, маса якого m, піднімають з води за допомогою троса, що має жорсткість k, з прискоренням a. Густина сталі — ρ1, густина води — ρ2. Визначте видовження троса x. Опором води знехтуйте.

8. Парашутистка, що летить у затяжному стрибку, до відкривання парашута має швидкість 50 м/с, з відкритим парашутом її швидкість стає рівною 5 м/с. Оцініть, якою була максимальна сила натягу строп парашута в момент його відкривання. Маса парашутистки з парашутом — 80 кг, g = 10 м/с2. Опір повітря пропорційний швидкості.

9. У ліфті стоїть відро з водою, у якому плаває м’яч. Як зміниться глибина занурення м’яча, якщо ліфт рухатиметься з постійним прискоренням: а) вгору; б) вниз?

10. Як рухається тіло під дією сили, яка періодично змінює свій напрямок на протилежний (мал. 59)? Накресліть графіки залежності проекції швидкості υx(t) та координати. Вважайте, що початкові швидкість і координата дорівнюють нулю.

Мал. 59

11. На похилій площині завдовжки 13 м і заввишки 5 м лежить вантаж, маса якого 26 кг. Коефіцієнт тертя дорівнює 0,5. Яку силу треба прикласти до вантажу вздовж площини, щоб витягнути його? Щоб стягнути? Рух вважайте рівномірним.

12. З яким прискоренням рухається брусок по похилій площині з кутом нахилу 30°, якщо коефіцієнт тертя 0,2?

13. Тіло сковзає рівномірно похилою площиною з кутом нахилу в 40°. Визначте коефіцієнт тертя об площину.

14. Автомобіль масою 1 т підіймається по шосе з нахилом 30° під дією сили тяги 7 кН. Коефіцієнт тертя між шинами автомобіля та поверхнею шосе — 0,1. Визначте прискорення автомобіля.

15. Тіло вільно ковзає з вершини нерухомої похилої площини під кутом α = 30° до горизонту. Визначте його швидкість у кінці похилої площини та час руху, якщо висота похилої площини — 10 м, а коефіцієнт тертя — 0,05.

16. Для рівномірного піднімання вантажу вагою 1000 Н по похилій площині, яка утворює кут 60° з вертикаллю, треба прикласти силу 600 Н. З яким прискоренням рухатиметься вантаж униз, якщо його відпустити?

17. На похилій площині висотою h = 3 м і довжиною l = 5 м лежить тіло масою m = 10 кг. Яку горизонтальну силу F необхідно прикласти до тіла, щоб воно рівномірно рухалося по площині?

18. За який час тіло зісковзне з вершини похилої площини висотою h = 2 м і кутом при основі α = 45°, якщо граничний кут, за якого тіло може не зісковзувати з площини, β = 30°?

19. По похилій площині, що утворює з горизонтом кут α = 30°, кидають знизу вгору тіло. Воно протягом t1 = 2 с проходить відстань l = 16 м, після чого починає зісковзувати вниз. За який час тіло зісковзне донизу? Який коефіцієнт тертя між тілом і поверхнею площини?

20. Тіло масою m міститься на площині, кут нахилу якої можна змінювати від 0 до 90°. Накресліть графік залежності сили тертя між тілом і площиною від кута нахилу площини до горизонту. Коефіцієнт тертя — μ.

21. Автомобіль, маса якого 2 т, проїжджає по опуклому мосту, що має радіус кривизни 40 м, зі швидкістю 36 км/год. З якою силою тисне автомобіль на середину моста?

22. Визначте силу натягу нитки конічного маятника в момент, коли нитка утворює кут 60° з вертикаллю. Маса кульки — 100 г, швидкість її руху — 2 м/с, довжина нитки — 40 см.

23. Кулька масою 200 г, що прив’язана ниткою до підвісу, рухаючись із постійною швидкістю, описує в горизонтальній площині коло. Визначте швидкість кульки та період її обертання по колу, якщо довжина нитки — 1 м, а її кут з вертикаллю дорівнює 60°.

24. Кулька масою 500 г, підвішена на нерозтяжній нитці завдовжки 1 м, здійснює коливання у вертикальній площині. Визначте силу натягу нитки в момент, коли вона утворює з вертикаллю кут 60°. Швидкість кульки в цю мить — 1,5 м/с.

25. Який найменший радіус кола, по якому може їхати ковзаняр, що рухається зі швидкістю 20 км/год, якщо коефіцієнт ковзання між ковзанами й поверхнею льоду 0,2? Який найбільший кут нахилу ковзаняра від вертикалі, за якого він ще не буде падати на заокругленні?

26.1 Відерце з водою обертають у вертикальній площині на мотузці завдовжки 0,5 м. З якою найменшою швидкістю необхідно його обертати, щоб у верхній точці вода не виливалась?

1 Далі буде розглянуто ще один спосіб розв’язання цієї задачі.

27. Посудина, що має форму зрізаного конуса з діаметром дна 20 см і кутом нахилу стінок до горизонту 60°, може обертатись навколо вертикальної осі. На дні посудини міститься кулька. За якої кутової швидкості обертання посудини кулька підніметься й буде викинута з посудини? Тертя не враховуйте.

28. Брусок, маса якого 400 г, під дією вантажу, що має масу 100 г (мал. 60), рухаючись зі стану спокою, проходить за 2 с шлях 80 см. Визначте коефіцієнт тертя.

Мал. 60

29. На шнурі, перекинутому через нерухомий блок, підвісили вантажі, маси яких 0,3 і 0,2 кг. З яким прискоренням рухається система? Яка сила натягу шнура під час руху?

30. Маневровий тепловоз, маса якого 100 т, тягне два вагони, кожний з яких має масу 50 т, із прискоренням 0,1 м/с2. Визначте силу тяги тепловоза та силу натягу зчепів, якщо коефіцієнт опору рухові дорівнює 0,006.

31. На нитці, перекинутій через нерухомий блок, підвісили вантажі, маса яких 0,3 і 0,34 кг. За 2 с від початку руху кожний вантаж пройшов шлях 1,2 м. Визначте прискорення вільного падіння на підставі даних досліду.

32. На кінцях нитки, перекинутої через нерухомий блок, підвісили тіла, маса кожного — 240 г. Який додатковий вантаж треба покласти на одне з тіл, щоб кожне з них за 4 с змістилося на 160 см?

33. Через невагомий блок, закріплений на ребрі призми, грані якої утворюють кути α і β з горизонтом, перекинуто нитку (мал. 61). До кінців нитки прикріплено вантажі масами m1 і m2. Вважайте, що вантаж

опускається. Визначте прискорення вантажів і силу натягу нитки. Тертям знехтуйте.

Мал. 61

34. Визначте прискорення a1 і a2 тіл масами m1 і m2, а також силу натягу нитки в системі, зображеній на малюнку 62. Масою блоку й тертям знехтуйте.

Вказівка: оскільки тіло m2 закріплене на рухомому блоці, то воно проходить удвічі меншу відстань порівняно з відстанню, що її проходить тіло m1, відповідно a1 = 2a2.

Мал. 62

35. Два тіла масами m1 = 4 кг та m2 = 8 кг, які зв’язані ниткою, ковзають одне за одним по поверхні похилої площини, кут нахилу якої до горизонту α = 30°. Коефіцієнт тертя між першим тілом і площиною μ1 = 0,1, а між другим тілом і площиною μ2 = 0,2. Яка сила натягу нитки між тілами?

36. З яким прискоренням має рухатись візок (мал. 63), щоб розташування тіл не змінювалось? Коефіцієнт тертя — 0,3.

Мал. 63

37. Пілот діє на сидіння крісла літака в нижній точці петлі Нестерова із силою 7,1 кН. Маса пілота — 80 кг, радіус петлі — 250 м. Визначте швидкість літака.

38. Космічна ракета під час старту з поверхні Землі рухається вертикально з прискоренням 20 м/с2. Визначте вагу льотчика-космонавта в кабіні, якщо його маса 80 кг. Якого перевантаження він зазнає?

39. У ліфті стоїть контейнер, маса якого 60 кг. Визначте його вагу на початку й наприкінці піднімання, а також на початку й наприкінці опускання. Прискорення (за модулем) ліфта в усіх випадках дорівнює 2 м/с2.

40. Космічний корабель робить м’яку посадку на Місяць (gм = 1,6 м/с2) І, рухаючись сповільнено у вертикальному напрямку (відносно Місяця) зі сталим прискоренням a = 8,4 м/с2. Скільки важить космонавт масою 70 кг який перебуває в цьому кораблі?

41. З якою швидкістю автомобіль має проїжджати середину опуклого моста радіусом 40 м, щоб пасажир на мить опинився у стані невагомості?

42. Визначте, у скільки разів зменшується вага тіла на екваторі внаслідок добового обертання Землі та якої тривалості має бути доба на Землі, щоб тіла на екваторі перебували у стані невагомості.

43. Дитина, маса якої 50 кг, спустилась на санках з гірки, проїхала по горизонтальній дорозі (до зупинки) шлях 20 м за 10 с. Визначте силу тертя та коефіцієнт тертя.

44. Через який час після аварійного гальмування зупиниться автобус, що рухається зі швидкістю 12 м/с, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,4?

45. Визначте найменший радіус дуги для повороту автомашини, що рухається по горизонтальній дорозі зі швидкістю 36 км/год, якщо коефіцієнт тертя ковзання коліс об дорогу становить 0,25.

46. Парашутист із парашутом має масу 120 кг. Після розкриття парашута він опускається зі швидкістю 6 м/с. Визначте коефіцієнт опору повітря.

47. Дві однакові сталеві кульки одночасно починають падати без початкової швидкості, одна — у в’язкій рідині, інша — у повітрі. У чому відмінність рухів кульок? Побудуйте графік залежності швидкості руху кульок від часу.

48. Два дерев’яні бруски, кожний з яких має масу 1 кг лежать на дошці (мал. 64). Яку силу потрібно прикласти на початку рівномірного руху, щоб витягнути нижній брусок з-під верхнього? Коефіцієнт тертя на обох поверхнях нижнього бруска дорівнює 0,3.

Мал. 64

49. На аркуш паперу, що лежить на столі, поставили склянку з водою. З яким прискоренням треба рухати аркуш, щоб склянка почала ковзати назад відносно паперу? Коефіцієнт тертя між склянкою й папером дорівнює 0,3. Чи зміниться результат досліду, якщо склянка буде порожньою? Перевірте.

50. Диск обертається в горизонтальній площині зі швидкістю 30 об/хв. На відстані 20 см від осі обертання на диску лежить тіло масою 1 кг. Яким має бути коефіцієнт тертя ковзання, щоб тіло злетіло з диска?

Експериментуємо

  • 1. Дослідіть залежність рівнодійної двох сил, що діють на тіло під кутом α, від величини цього кута.
  • 2. Визначте модуль сили натягу нитки, за якої нитка розірветься. Запропонуйте кілька способів.
  • 4. Визначте модуль сили тертя кочення.
  • 5. Визначте коефіцієнт тертя між частинками сипкої речовини.