§ 21. Вільні та вимушені коливання. Резонанс

Розглядаючи гармонічні коливання, ми нехтували втратами механічної енергії у коливальних системах, тобто розглядали ідеальні випадки. Проте в реальних системах втрати механічної енергії завжди існують. Вони спричинені наявністю тертя, опору середовища, утворенням механічних хвиль тощо. Тому амплітуда коливань у реальних системах з часом зменшується, і коливання, зрештою, припиняються. Наприклад, з часом припиняються коливання тягарця на пружині чи гойдалці, якщо їх час від часу не підштовхувати. Якщо в коливальній системі тіло вивести зі стану рівноваги і відпустити, то воно здійснюватиме так звані вільні коливання, які завжди є згасаючими. У розглянутих випадках вільних коливань тіла припускалося, що тіло, яке коливається, не зустрічає на своєму шляху жодних перешкод. За таких ідеальних умов його гармонічні коливання можуть тривати необмежено довго. За реальних умов руху тіла, яке здійснює вільні коливання, завжди перешкоджають різні опори, які сповільнюють коливання і сприяють їхньому затуханню. Наприклад, тертя коливного тіла по інших тілах, до яких воно дотикається внаслідок нерівності поверхонь. Згасання коливань настає також через опір повітря, води чи іншого середовища, у якому здійснюються коливання. Тертя між частинками пружного тіла (пружин, ресор), яке є джерелом відновлювальної сили пружності, також сприяє затуханню вільних коливань.

Розглянемо докладніше випадок, коли тіло коливається в середовищі, що чинить протидію його руху. На тіло з боку середовища діє сила, що залежить від швидкості руху тіла і напрямлена в бік, протилежний до напрямку руху тіла. Прикладом може бути тягарець, підвішений на пружині в посудині з рідиною (мал. 2.9).

Мал. 2.9

Якщо опір рідини великий порівняно з відновлювальною силою пружності, то коливальний рух тіла в такому середовищі взагалі неможливий. Тіло, виведене з положення рівноваги, прагне зайняти положення спокою, підходячи до цього положення поступово, без коливань. Якщо сила опору мала порівняно із силою пружності, то тіло, виведене з положення рівноваги, почне здійснювати в рідині затухаючий коливальний рух. Теоретично встановлено та експериментально підтверджено, що амплітуда затухаючих коливань із часом зменшується. Важливо зауважити, що невеликий опір середовища мало змінює період власних коливань тіла, однак інтенсивно гасить ці коливання.

Згасання коливань у багатьох випадках — бажане та корисне явище, в інших — небажане й шкідливе. У першому випадку згасання коливань намагаються створити та підтримувати за допомогою відповідних механізмів і пристосувань. У другому випадку, навпаки, усувають згасання засобами, які зменшують вплив тертя й опору середовища, використанням змащення, заміни тертя ковзання тертям кочення за допомогою роликових підшипників тощо.

Вимушеними коливаннями вважають коливання, що відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили.

Наприклад, можна взяти в руку книжку і здійснювати нею вимушені коливання. На книжку з боку руки діятиме зовнішня періодична сила. Однак у таких вимушених коливаннях немає нічого особливого і цікавого. Інша річ, коли зовнішня періодична сила діє на тіло, яке може самостійно здійснювати вільні коливання (такі коливання завжди згасаючі). Прикладом цих коливань можуть бути хитання дерев під дією вітру.

У коливальних системах можуть виникнути також автоколивання — незгасаючі коливання, які можуть існувати в будь-якій системі за відсутності змінної зовнішньої дії, причому амплітуда і період коливань визначаються властивостями самої системи. Цим автоколивання відрізняються від вимушених коливань, амплітуда і період яких визначаються характером зовнішньої дії (префікс «авто» і вказує на те, що коливання виникають у самій системі, а не нав’язуються зовнішньою дією). Автоколивання відрізняються і від вільних коливань (наприклад, коливань вільно підвішеного маятника) тим, що: 1) вільні коливання поступово затухають; 2) їхня амплітуда залежить від первинного «поштовху», що створює ці коливання. Прикладами автоколивань є коливання, що здійснюються маятником годинника, коливання струни в смичкових або стовпа повітря у духових музичних інструментах.

Автоколивання — коливання, амплітуда і період яких залежать від властивостей самої системи і не залежать від початкових умов, наприклад від початкового запасу енергії.

Системи, у яких можливі автоколивання, називають автоколивальними.

Втрати енергії в автоколивальній системі компенсуються лише надходженням енергії від джерела. Важливим є те, що автоколивальна система сама регулює надходження енергії від джерела і підтримує встановлений режим коливань.

Якщо тіло в момент початку дії змушувальної сили було нерухомим, то спочатку амплітуда його коливань поступово збільшується, а через певний час досягає максимального значення і далі вже не збільшується.

Коли частота змушувальної сили збігається із частотою коливань тіла, на яке ця сила діє, то при цьому амплітуда коливань досягає максимального значення, яке в багато разів може перевищувати амплітуду вільних коливань. Таке явище називають резонансом. В ідеальному випадку, коли в системі немає опору, резонанс настає, якщо частоти змушувальної сили і вільних коливань системи збігаються. Амплітуда коливань при цьому нескінченно збільшується. Під час резонансу створюються найсприятливіші умови для передавання енергії від зовнішнього джерела періодично змінної сили до коливальної системи, у якій можуть виникати вільні коливання. У коливальній системі, де не виникають вільні коливання, резонанс не спостерігається.

Амплітуда вимушених коливань під час резонансу залежить не лише від значення зовнішньої змушувальної сили, а й від тертя в коливальній системі. Зі збільшенням зовнішньої сили збільшується й амплітуда вимушених коливань. Вона набуває під час резонансу такого значення, для якого додатна робота зовнішньої сили повністю компенсує втрати енергії системою внаслідок тертя. Очевидно, що менше тертя в коливальній системі, то більшою буде амплітуда вимушених коливань для однієї й тієї самої зовнішньої сили. Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти для трьох коливальних систем з різними силами тертя і для однакової амплітуди зовнішньої сили показано на малюнку 2.10.

Мал. 2.10

Крива 1 відповідає системі з мінімальною силою тертя, крива 2 — із середньою, а крива 3 — з максимальною. Із цих графіків видно, що менше тертя в системі, то сильніше збільшується амплітуда вимушених коливань з наближенням системи до резонансу. Якщо тертя мале, то резонанс чітко виражений, а якщо велике — нечітко. Коли частота змін змушувальної сили в системі далека від резонансної, то амплітуда коливань мала і майже не залежить від сили опору в системі. Якщо тертя таке велике, що не виникають вільні коливання, то резонанс взагалі не спостерігається.

У багатьох випадках резонанс є корисним явищем. Резонанс використовують у різноманітних типах частотомірів. Особливо важливу роль він відіграє у радіотехніці. Однак трапляються випадки, коли резонанс треба не допускати, оскільки його неврахування може призводити до певних ускладнень, навіть до катастроф. Так, у Манчестері 60 осіб зруйнували міст через річку Ірвель, у якому виникли резонансні коливання під дією вітру. У 1850 році зруйнувався Анжерський підвісний міст, коли по ньому крокував батальйон французької піхоти чисельністю 500 осіб, при цьому 226 осіб загинуло.

ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО

1. Яка відмінність між вільними і вимушеними коливаннями?
2. У чому полягає явище резонансу?
3. Зобразіть і поясніть графіки залежності амплітуди вимушених коливань від частоти змін змушувальної сили для двох значень сили опору.

Знайдіть у додаткових джерелах або Інтернеті історичні факти шкідливих наслідків резонансу.