Фізика і астрономія. Рівень стандарту. 11 клас. Головко

Розділ 2. Коливання та хвилі

Вивчаючи фізику в основній школі, ви вже ознайомилися з таким видом механічного руху, як механічні коливання. Вивчаючи цей розділ, ви ознайомитеся з поняттям «електромагнітні коливання» та дізнаєтеся про те, що вони відбуваються за однаковими законами. Однакові кількісні закони описують і хвильові процеси різної природи. Тому в сучасній фізиці виокремлюють розділ «Коливання та хвилі».

§ 16. Вільні та вимушені коливання

Опрацювавши цей параграф, ви дізнаєтесь про види механічних та електромагнітних коливань, зокрема про гармонічні коливання; навчитеся визначати період і частоту коливань математичного та пружинного маятника, а також вільних електромагнітних коливань у коливальному контурі.

ВІЛЬНІ МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ. Звук від музичного інструмента, змінний електричний струм, світло від природного або штучного джерела є різними фізичними процесами, проте в них є одна спільна ознака — періодичність.

Фізичні процеси різної фізичної природи, в яких зміна фізичних величин періодично повторюється з плином часу, називають коливаннями.

Систему тіл, що взаємодіють, в якій можуть виникати коливання, називають коливальною системою.

Коливання, які виникають у коливальній системі під впливом внутрішніх сил, називають вільними коливаннями. Наприклад, вільні коливання здійснює тіло, закріплене на нитці, або на пружині після того, як її відвели від положення рівноваги та відпустили (рис. 16.1). Під час вільних коливань у коливальній системі відбувається періодичне перетворення потенціальної енергії в кінетичну і навпаки. Наприклад, під час коливань гітарної струни потенціальна енергія пружної деформації перетворюється в кінетичну енергію її руху, а потім кінетична енергія перетворюється в потенціальну енергію пружної деформації і т. д.

Рис. 16.1. Вільні коливання здійснюються під впливом внутрішніх сил системи

Коливання, що виникають під впливом зовнішніх періодично змінних сил, називають вимушеними коливаннями. Такими є, наприклад, коливання поршнів у двигуні внутрішнього згоряння внаслідок періодичної дії газу, що розширюється під час робочого ходу поршня, крила літаків, тощо.

Пригадайте. Проміжок часу, через який повторюється коливання, називають періодом Т. У СІ період коливань вимірюється в секундах, [T] = с. Період коливань можна обчислити за формулою

де t — час здійснення коливальною системою N коливань.

Кількість коливань, що здійснює система за одиницю часу, називають частотою й позначають літерою v («ню»). Частота показує, кількість коливань (N), що здійснюється в системі за одиницю часу:

Як бачимо, період і частота є взаємно оберненими величинами:

Вивчаючи фізику в основній школі, ви вже розглядали такі коливальні системи, як математичний маятник та пружинний маятник.

Математичним маятником називають коливальну систему, яка складається з матеріальної точки, що перебуває в полі земного тяжіння й підвішена на довгій невагомій і нерозтяжній нитці. Період коливань математичного маятника в полі земного тяжіння визначається за формулою Гюйгенса:

де l — довжина нитки; g — прискорення вільного падіння.

Якщо маятник набуває додаткового прискорення а, то період коливань математичного маятника визначатиметься за формулою

Пружинним маятником називають коливальну систему, що складається з тіла, закріпленого на пружині. Пружина може розташовуватися як вертикально так і горизонтально. Період коливань пружинного маятника визначається формулою:

де m — маса тіла, закріпленого на пружині; k — жорсткість пружини.

Частоту вільних коливань називають власною частотою коливальної системи.

ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ. Багато коливань, що мають різну фізичну природу, відбуваються за однаковими законами. З великої кількості різних коливань у природі й техніці особливо часто зустрічаються гармонічні коливання.

Гармонічними називають коливання, що відбуваються за законом косинуса або синуса (рис. 16.2):

x = x_m cos(ωt + φ₀) або x = x_m sin(ωt + φ₀), де x — коливна величина; x_m — максимальне значення коливної величини, яке називають амплітудою коливань; t — час; ω — циклічна частота. Аргумент синуса або косинуса гармонічних коливань називають фазою коливань і позначають літерою φ («фі»):

φ = ωt + φ₀.

Рис. 16.2. Графіки гармонічних коливань, що відбуваються: а) за законом косинуса; б) синуса

Фазу коливань φ₀ у початковий момент часу називають початковою фазою. Початкова фаза визначає значення коливної величини x в початковий момент часу t = 0.

Циклічна частота ω показує, яка кількість коливань у системі відбувається за 2π с. Отже:

Циклічна частота вільних коливань, розглянутих нами коливальних систем, визначається такими залежностями:

Якщо на момент початку коливань коливна величина має максимальне значення, то її залежність від часу описують законом косинуса x = x_m cosωt. Якщо в початковий момент часу значення коливної величини дорівнювало 0, то за законом синуса x = x_m sinωt. Наприклад, кулька, закріплена на нитці, почала коливання після того, як її відхилили від положення рівноваги і відпустили. Отже, в момент t = 0 її зміщення від положення рівноваги (координата) мало максимальне значення, тому залежність координати кульки від часу здійснюватиметься за законом косинуса. Якщо ж в початковий момент часу кулька перебувала в положенні рівноваги і почала свій рух після того, як їй надали кінетичної енергії, наприклад унаслідок удару, то координата кульки з часом змінюватиметься за законом синуса.

ВІЛЬНІ ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ КОЛИВАННЯ. Вільні коливання можуть бути не тільки механічними, а й електромагнітними. Електромагнітні коливання відбуваються в електричних колах.

Електромагнітними коливаннями називають зміну заряду, напруги і сили струму.

Система, в якій можуть відбуватися вільні електромагнітні коливання, складається з конденсатора і котушки, приєднаної до його пластин (обкладок). Таку систему називають коливальним контуром (рис. 16.3).

Рис. 16.3. Модель (а) та електрична схема (б) коливального контура

Після зарядження конденсатора в системі виникають вільні електромагнітні коливання, конденсатор починає розряджатися і в колі виникає електричний струм. Виявляється, сила струму не відразу досягає максимального значення, а збільшується поступово. Це пов'язано з явищем самоіндукції. ЕРС самоіндукції виникає під час виникнення струму в колі й перешкоджає його збільшенню, тому струм у колі збільшується поступово, а заряд конденсатора поступово зменшується до нуля. В той момент часу, коли заряд конденсатора дорівнює нулю, сила струму в колі має максимальне значення. Після цього сила струму буде зменшуватися, а заряд конденсатора збільшуватися і процес повториться.

Період вільних електромагнітних коливань у коливальному контурі визначається формулою Томсона:

де L — індуктивність котушки; C — ємність конденсатора.

Подібно до того, як координата тіла під час механічних коливань пружинного або математичного маятника змінюється за законом синуса або косинуса, так і заряд конденсатора, напруга на ньому та сила струму в контурі змінюються за гармонічним законом. Наприклад, якщо коливання в контурі виникли після зарядки конденсатора (тобто в початковий момент він був максимальним), то рівняння, відповідно до якого змінюється заряд конденсатора:

q = q_m cos ωt,

де q_m — максимальне значення заряду (амплітуда).

Подібно до того, як швидкість тіла є першою похідною від координати, так і сила струму є першою похідною від заряду. Отже:

i = q' = (q_m cosωt)' = -q_mω sin ωt = -I_m sinωt = I_m (cosωt + π/2),

де I_m = q_mω — амплітуда коливань сили струму.

Коливання сили струму випереджають по фазі на π/2 коливання заряду (рис. 16.4).

Рис. 16.4. Коливання сили струму випереджають за фазою на π/2 коливання заряду

ВИМУШЕНІ ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ КОЛИВАННЯ. ЗМІННИЙ СТРУМ. Вимушеними електромагнітними коливаннями називають процеси, що відбуваються в електричних колах під дією зовнішньої періодичної ЕРС джерела струму.

Струм, сила і напрям якого періодично за законом синуса або косинуса, змінюється називають змінним.

Одним із найпростіших генераторів змінного струму є провідна рамка, що обертається в магнітному полі. Нехай рамка площею S, яка складається з N витків дроту, обертається з кутовою швидкістю ω в однорідному магнітному полі з індукцією В (рис. 16.5). При цьому через рамку проходить магнітний потік, що змінюється за формулою:

Ф = BSN cos ωt = Ф_max cos ωt,

де Ф_max = BSN — максимальне значення магнітного потоку.

Рис. 16.5. В виникнення вимушених коливань в рамці, що обертається в магнітному полі.

Відповідно до закону електромагнітної індукції в рамці буде виникати ЕРС, яка змінюватиметься за законом:

ε = -BSNωsin ωt = ε_max cos ωt,

де ε_max = BSNω — амплітудне значення ЕРС.

Частота вимушених коливань, що виникають при цьому дорівнює частоті зміни ЕРС. Частота v змінного струму, який виробляє генератор, пов'язана з частотою обертання ротора генератора співвідношенням:

v = n · v_рот,

де n — кількість пар полюсів генератора.

Змінний струм — це такий самий напрямлений рух електрично заряджених частинок, як і постійний струм. Так само він чинить теплову, хімічну та магнітну дії. Проте він періодично змінює напрям і значення (це вимушені коливання в електричному колі сили струму і напруги).

Тому змінний електричний струм характеризується діючими значеннями сили струму (I_max) та напруги (U_max), які визначають ефективне значення струму, що чинить таку саму дію, як і постійний струм такої ж величини:

Щоб зменшити втрати енергії змінного електричного струму, його передають за високої напруги (до понад 100 кВ), використовуючи підвищувальні трансформатори, а потім за допомогою знижувальних трансформаторів отримують струм потрібної напруги (наприклад, для виробничих потреб 380 В, а для побутових електричних приладів 220 В).

Завдяки трансформаторам змінний електричний струм передають на значні відстані.

Трансформатор с системою, що складається з двох і більше котушок (обмоток), що мають спільне осердя (рис. 16.6). Якщо первинна обмотка, яка приєднується до джерела змінної напруги, має N₁ витків, а вторинна, що приєднується до споживача, має N₂ витків, то коефіцієнт трансформації k обчислюється за формулою:

де ε₁, ε₂— ЕРС індукції в первинній і вторинній обмотках.

Рис. 16.6. Трансформатор: а) загальний вигляд; б) схематичне зображення; в) умовне позначення

Якщо опори первинної і вторинної обмоток незначні, то ε₁= U₁, ε₂= U₂, то

ККД трансформатора називають відношення потужності P₂, що віддає вторинна обмотка, до потужності P₁, що подається на первинну котушку:

ККД сучасних трансформаторів становить приблизно 97-98%.

ЯК ГЕНЕРУЄТЬСЯ ЗМІННИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ?

http://www.protools.co.ua/uk/sho-vy-znaete-o-generatorah/

! Головне в цьому параграфі

Механічні і електромагнітні коливання відбуваються за аналогічними законами. Вільні коливання математичного й пружинного маятника, а також електромагнітні коливання в коливальному контурі є гармонічними.

? Знаю, розумію, вмію пояснити

1. Які коливання називають гармонічними? 2. Що називають періодом коливань? 3. Що називають частотою коливань? 4. Що називають амплітудою коливань? 5. Що називають фазою коливань? 6. Що називають початковою фазою коливань? 7. Який зв'язок циклічної частоти з періодом коливань; з частотою коливань? 8. Як визначається період вільних коливань в коливальному контурі? 9. Як пов'язані між собою амплітудне значення заряду і сили струму вільних коливань?

Вправа до § 16

• 1. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання вздовж осі ОХ із періодом 0,2 с і амплітудою 0,1 м. Початкова фаза коливань π/2. Запишіть залежність координати цієї точки від часу (аналітична залежність) та побудуйте графік залежності координати від часу (графічна залежність).

• 3. На рис. 1 подано графік гармонічних коливань. Запишіть рівняння цих гармонічних коливань.

Рис. 1

• 4. Конденсатор ємністю С = 15 мкФ і котушка індуктивністю L = 16 мкГн. Визначте частоту вільних електромагнітних коливань у контурі.
• 5. Вхідний контур радіоприймача має коливальний контур із котушкою індуктивності L = 0,32 мГн. У яких межах має змінюватися ємність конденсатора контура, щоб радіоприймач міг приймати сигнал від радіостанції, яка працює в діапазоні від v₁ = 8,0 МГц до v₂ = 24 МГц?
• 6. Коливальний контур складається з котушки індуктивністю L = 0,32 мГн і плоского конденсатора, площею пластин S = 20 см². Відстань між пластинами d = 1,0 мм. Визначте діелектричну проникність середовища є, яке заповнює простір між пластинами, якщо максимальне значення напруги U₀ = 10 В, а сили струму I₀ = 12 мА.