Фізика. Рівень стандарту. 10 клас. Головко

Практикум із розв’язування задач № 9 (§ 31-39). Молекулярна фізика та термодинаміка

У процесі розв’язування задач із термодинаміки переважно використовуються рівняння закону збереження і перетворення енергії з урахуванням формул зміни внутрішньої енергії та механіки.

Уміння ефективно застосовувати закон збереження енергії до конкретних фізичних процесів — основна складність під час розв’язування задач про теплові явища. Особливу увагу треба звернути на відмінність між кількістю теплоти, зміною внутрішньої енергії, роботою й на вибір системи тіл (чи тіла), для якої складається основне рівняння термодинаміки. Нерідко виникають ускладнення під час математичних обчислень, пов’язаних із перетворенням одного виду енергії в інший. Потрібно пам’ятати, що в рівнянні першого закону термодинаміки Q = ΔU + A (1) усі величини мають бути виражені в однакових одиницях.

Рівняння (4) є наслідком першого закону термодинаміки в ізольованій системі тіл, де відбуваються лише процеси теплопередачі, внутрішня енергія системи не змінюється і, отже, алгебраїчна сума зміни енергії окремих тіл дорівнює нулю. Залежність (4) називають рівнянням теплового балансу, яке зазвичай слугує основним розрахунковим співвідношенням для задач першої групи. Наведемо орієнтовний алгоритм їх розв’язування:

— прочитавши умову задачі, треба встановити, в яких тілах внутрішня енергія зменшується, а в яких — зростає. Особливу увагу слід звернути на те, чи відбуваються в процесі теплообміну агрегатні перетворення речовини;

— скласти рівняння (2) для тіл, енергія яких зменшується, і (3) — зростає та порівняти їх. Записуючи рівняння теплового балансу у вигляді (4), треба від більшої температури тіла віднімати меншу і здійснювати алгебраїчне додавання величин. У задачах на теплообмін передбачається, що теплопровідність тіл, що взаємодіють, нескінченно велика і тому передача енергії між ними здійснюється миттєво.

У задачах другої групи розглядаються явища, пов’язані з перетворенням одного виду енергії в інший під час взаємодії двох тіл. Результат такої взаємодії — зміна внутрішньої енергії одного тіла внаслідок виконаної ним або над ним роботи. Теплообмін між тілами, як правило, не враховують (адіабатний процес). Тоді рівняння закону збереження і перетворення енергії має вигляд: 0 = ΔU + Α (5). Розв’язування таких задач зручно здійснювати за таким алгоритмом:

— аналізуючи умову задачі, треба передусім встановити, у якого з двох тіл, що взаємодіють, змінюється внутрішня енергія і що є причиною зміни — виконання роботи самим тілом або над ним. Крім того, слід переконатися, що в процесі взаємодії теплота до системи ззовні не підводиться;

— записати рівняння (5) для тіла, у якого змінюється внутрішня енергія під час здійснення роботи з урахуванням ККД: А = ηΔU (6) — робота виконується самим тілом; ηΑ = ΔU (7) — над ним;

— склавши рівняння (5), треба знайти вирази А і ΔU. Роботу знаходимо з таких співвідношень: А = F • s; А = N • τ; Α = W₂ - W₁. Щоб знайти ΔU, використовуємо такі формули: ΔU = q • m (згорання палива); ΔU = с • m • Δt + λΔm (нагрівання і плавлення тіла); ΔU = c • m • Δt + rΔm (нагрівання і випаровування). Підставляючи в початкове рівняння замість А і ΔU їх вирази, одержимо співвідношення для визначення шуканої величини. Якщо в умовах задачі наводяться додаткові умови, то до основного рівняння додають допоміжні;

— виписати числові значення відомих даних, перевірити число невідомих і розв’язати систему рівнянь відносно шуканої величини.

У задачах третьої групи розглядається взаємодія трьох і більше тіл, у процесі якої до одного з них підводиться певна кількість теплоти, внаслідок чого змінюється його внутрішня енергія і здійснюється робота. Для розв’язання подібних задач потрібно скласти повне рівняння закону збереження і перетворення енергії (1).

Приклади розв’язування задач

Аналізуючи отриманий результат, зазначимо, що за досить великої маси пару m_п встановлена температура θ може виявитися більшою за початкову t_п, а такого в природі не може бути. Такий результат пояснюється тим, що під час охолодження в процесі теплообміну пара не повністю конденсується і при встановленій температурі одночасно можуть існувати дві фази речовини: рідина і пара. Так і при досить великій масі льоду m_л рівноважні стани системи можуть бути найрізноманітнішими і результат задачі виявиться невірогідним. У процесі агрегатних перетворень речовини рівняння теплового балансу не завжди можна записати в загальному вигляді, оскільки він залежатиме від числових значень заданих величин. Щоб не здійснювати зайвих обчислень у сумнівних випадках, коли заздалегідь неможливо встановити кількість утворених агрегатних станів речовини, рекомендується виконати попередні арифметичні дії — знайти, яка кількість теплоти Q₁ потрібна для нагрівання холодного тіла до температури відповідного перетворення (плавлення або кипіння) і скільки теплоти Q₂ може віддати гаряче тіло під час охолодження або повної конденсації (кристалізації). Якщо виявиться, що Q₁ > Q₂, то після перерозподілу енергії утвориться одна фаза речовини, якщо ж Q₁ < Q₂, то за температури, що встановилася, речовина перебуватиме у двох фазах — у вигляді пари і рідини (рідини і льоду). Спрогнозувавши на основі попередніх арифметичних дій результат теплообміну, можна скласти остаточне рівняння теплового балансу, з якого й визначається шукана величина.

Задача 3. Кисень O₂ масою 6 г за температури 30 °С розширюється при постійному тиску, збільшуючи власний об’єм удвічі внаслідок надходження теплоти ззовні. Знайти роботу розширення газу, зміну його внутрішньої енергії і надану кількість теплоти.

Задача 4. Ідеальна холодильна машина, що працює за зворотним циклом Карно, передає тепло від холодильника з температурою 0 °С кип’ятильнику з температурою 100 °С. Яку масу води треба заморозити в холодильнику, щоб перетворити в пару 1 кг води в кип’ятильнику?

Задачі для самостійного розв’язування

1(п). Що станеться з рівнем води в склянці, де плаває шматок льоду, коли він розплавиться?

2(п). Коли лід може бути нагрівачем?

3(п). Із однакової висоти впали два тіла однакової маси — мідне й залізне. Яке з них під час удару нагрівається до вищої температури?

4(с). Азот Ν₂ масою 200 г нагрівається на 100 °С спочатку ізобарно, а потім ізохорно. Яка кількість теплоти витрачається в кожному із процесів?

5(с). У посудині міститься 20 г азоту Ν₂ і 32 г кисню О₂. Знайдіть зміну внутрішньої енергії суміші газів під час охолодження на 28 °С.

6(с). Тиск азоту в посудині об’ємом 3 л після нагрівання зріс на 2,2 МПа. Визначте кількість теплоти, надану газу.

7(с). Під час розширення одноатомного газу від 0,2 до 0,5 м³ його тиск зріс від 404 до 808 кПа. Знайдіть роботу газу, кількість підведеної до нього теплоти і зміну внутрішньої енергії.

8(с). В ідеальній тепловій машині кількість теплоти, отриманої від нагрівача, дорівнює 6,3 кДж. 80 % цієї теплоти передається холодильнику. Знайдіть ККД машини і її роботу за один цикл.

9(д). Змішали 24 л води при 12 °С і 40 л — при 80 °С. Визначте кінцеву температуру суміші, якщо під час змішування теплові втрати становили 420 кДж.

10(д). У калориметр, що містить 270 г води при 12 °С, опустили шматок алюмінію масою 200 г, нагрітий до 100 °С. Температура теплового рівноваги — 23 °С. Визначте питому теплоємність алюмінію, якщо теплоємність калориметра становить 42 Дж/К.

11(д). Свинцева куля летить із швидкістю 200 м/с. На скільки зміниться температури кулі, якщо вся її енергія використовується на нагрівання?

12(д). Паровий молот масою 10 т вільно падає з висоти 2,5 м на залізну болванку масою 200 кг. На її нагрівання використовується 30% кількості теплоти, виділеної під час удару. Скільки разів падав молот, якщо температура болванки підвищилася на 20 °С?

13(д). Тепловоз масою 213,5 т, що рухається зі швидкістю 72 км/год, зупиняється. Яка кількість теплоти виділяється під час гальмування?

14(д). Яку потужність розвиває велосипедний двигун, якщо при швидкості руху 25 км/год витрати бензину становлять 1,7 л на 100 км шляху? ККД двигуна — 20 %.

15(д). Температура термометра, зануреного у воду масою 6,7 г, підвищується на 14,6 °С. Яка температура води на початку вимірювання, якщо показники термометра дорівнюють 32,4 °С? Його теплоємність — 1,92 Дж/К.

16(д). У чашці міститься 500 г льоду за температури 0 °С. У неї наливають 200 г води, нагрітої до 80 °С. Яка встановиться температура суміші і що міститиметься в чашці?

17(д). Вантажний автомобіль, обладнаний газогенераторним двигуном потужністю 92 кВт з ККД 18 %, працює в повне навантаження. Визначте масу дров з питомою теплотою згоряння 12,5 МДж/кг, потрібних для подолання шляху 1 км із швидкістю 18 км/год.

18(д). Ідеальна теплова машина працює за циклом Карно й отримує від нагрівача 2,512 кДж теплоти. Температура нагрівача Т₁ = 400 К, холодильника Т₂ = 300 К. Знайдіть роботу А, яку виконує машина і кількість теплоти, що віддається холодильнику за один цикл.

19(д). Ідеальна теплова машина працює за циклом Карно. Здійснюючи за один цикл роботу А = 2,94 кДж, віддає холодильнику 13,4 кДж теплоти. Знайдіть ККД циклу.

20(д). Ідеальна теплова машина, працюючи за циклом Карно, здійснює роботу А = 73,5 кДж. Температура нагрівача t₁ = 100°С, холодильника t₂ = 0 °С. Знайдіть ККД циклу, кількість теплоти Q₁, яку отримує машина від нагрівача, і кількість теплоти Q₂, яку віддає холодильнику за один цикл.

21(д). Ідеальна теплова машина, працюючи за циклом Карно, отримує від нагрівача 6,28 кДж теплоти. 80 % теплоти, отриманої від нагрівача, вона передає холодильнику. Знайдіть ККД машини і роботу, здійснювану за один цикл.

22(д). ККД тепловозу дорівнює 30 %. Визначте витрати нафти за годину, якщо він розвиває потужність 736 Вт.

23(в). Три рідини, що хімічно не взаємодіють, масами 1, 10 і 5 кг налили в калориметр і надали їм 1,3 МДж теплоти. Початкові температури рідин і їхні питомі теплоємності рівні відповідно: 6 °С, -40 °С і 60 °С та 2, 4 і 2 кДж/(кг • К). Яка температура суміші?

24(в). Вода може перебувати при температурах, менших 0 °С і вищих 100 °С. У калориметрі теплоємністю 1,67 кДж/K міститься переохолоджена вода масою 1 кг за температури -10 °С. Яка температура встановиться в калориметрі, якщо в нього влити 170 г води, перегрітої до 120 °С?

25(в). У воду масою 1 кг при 20 °С помістили невелику кількість мокрого снігу масою 250 г. Коли весь сніг розтанув, загальна температура суміші становила 5 °С. Визначте кількість води в грудці снігу, якщо його питома теплота плавлення — 334 кДж/кг.

26(в). У латунний калориметр масою 125 г опускають шматок льоду масою 0,1 кг Температура калориметра і льоду рівна — 20 °С. Скільки води за температури 20 °С потрібно долити в калориметр, щоб половина льоду розтанула? Питома теплоємність латуні — 0,38 кДж/(кг • К), льоду — 2,1 кДж/(кг • К), питома теплота плавлення льоду — 334 кДж/кг.

27(в). Двигун витрачає 25 кг бензину за годину й охолоджується водою, різниця температур якої на вході й виході становить 15 К. Визначте секундну витрату води, якщо на її нагрівання надходять 30 % енергії під час згорання палива.

28(в). Холодильник має потужність 416 Вт, щосекундні втрати енергії в навколишній простір становлять 840 Вт. За який час можна заморозити в ньому 3,6 кг води, температура якої дорівнює 20 °С? Питома теплота плавлення льоду — 0,33 МДж/кг, питома теплоємність води — 4,2 кДж/(кг • К).