Фізика. Рівень стандарту. 10 клас. Головко

§ 15. Рівновага тіл

• Умови рівноваги
• Центр тяжіння та центр мас тіла
• Види рівноваги. Стійкість тіл

УМОВИ РІВНОВАГИ. У повсякденному житті часто виникає потреба розрахувати сили, які діють на різні частини механізмів і споруд, створених людиною, і це визначає необхідність з’ясувати, де вони мають бути прикладені, щоб забезпечити виконання конкретних завдань.

У попередніх параграфах ми розглядали рух тіла під дією кількох сил і визначали прискорення, яких набувають тіла під їхнім впливом. Проте у деяких випадках тіло, яке перебуває під дією кількох сил, може залишатися у стані рівноваги.

Рівновагою називають такий стан тіла, за якого воно перебуває у спокої або рухається рівномірно.

Варто розуміти, стан рівноваги не означає, що тіло обов’язково повинне перебувати в спокої, воно може здійснювати рівномірний поступальний рух або рівномірно обертатися. Стан спокою є окремим його випадком.

Вивчення умов рівноваги тіл (або, іншими словами, рівноваги сил) має велике значення для багатьох галузей техніки, виробництва і побуту. Без цих знань не можна обійтися, споруджуючи будинки, мости, верстати, використовуючи будівельні крани, різні підйомники, механічні пристрої тощо.

Розділ механіки, в якому розглядаються умови рівноваги тіл під дією прикладених сил, називається статикою.

Статика почала розвиватись у стародавні часи, бо вже тоді почали використовувати механічні пристрої (блоки, важелі, похилу площину тощо) для піднімання і пересування вантажів, і тогочасних інженерів цікавили питання не тільки умов рівноваги тіл, а й можливого напряму їх руху.

Ознайомимося з умовами рівноваги твердих тіл. Розглянемо умови рівноваги тіл для двох випадків: за відсутності обертання та для тіла, що має вісь обертання.

рівноваги тіла, що не може обертатися, є рівність нулю суми проекцій всіх прикладених до нього сил на будь-яку координатну вісь.

Розглянемо умову рівноваги тіла, що може обертатися навколо осі. Колеса та вали різних машин і механізмів, лопаті турбін, пропелери літака, рулі транспортних засобів тощо закріплюють так, щоб вони могли здійснювати лише обертальний рух. Розглянемо, за яких умов тіло, закріплене на осі, перебуватиме в рівновазі.

Виявляється, що для статичної рівноваги тіла, яке може обертатися навколо осі, умова рівності нулю всіх прикладених до нього сил є необхідною, але недостатньою. Справді, якщо на тіло діє пара сил (дві рівні за модулем, але протилежно спрямовані сили, точки прикладання яких не збігаються), їх векторна сума дорівнює нулю, отже, названа умова рівноваги виконується, однак стан тіла може змінитися. Пара сил, прикладена до нерухомого тіла, викликає його обертання.

Постає питання, яка ще умова має виконуватися, щоб таке тіло зберігало рівновагу? Аби відповісти на нього, розглянемо спочатку результат дії однієї сили на тіло, закріплене на осі. Виявляється, що не будь-яка сила спричинить обертання тіла, якщо воно перебуває в спокої, а сили, однакові за величиною, але прикладені в різних точках або різні за напрямом, викликають різні наслідки. У цьому можна переконатися, якщо спостерігати за обертанням тіла навколо осі, прикріпивши в будь-якій його точці динамометр. При однаковому натягу динамометра, але за умови різного його спрямування, рух тіла може дуже відрізнятися (мал. 15.1). У положенні а тіло почне повертатися за годинниковою стрілкою, у положенні б — проти стрілки годинника.

Сила, яка діє на тіло, закріплене на осі, може спричинити його поворот або обертання лише тоді, коли напрям її дії не проходить через вісь обертання.

Мал. 15.1. Тіло під дією пари сил.

Водіям різних транспортних засобів це твердження добре відоме з практики: прикладаючи зусилля вздовж радіуса керма, його повернути не вдасться, але цього легко досягти, діючи на рульове колесо перпендикулярно до радіуса.

Обертальна дія двох сил на тіло, яке має нерухому вісь, однакова, якщо під їх дією тіло зберігає рівновагу. Це можливо лише за умови, коли діючи поодинці, ці сили повертають тіло у протилежних напрямах (мал. 15.1, в).

Для рівноваги тіла, що має вісь обертання, істотними є не лише значення сил, а й відстані лінії дії цих сил до осі обертання. Мала сила, прикладена подалі від осі, може зрівноважити дію великої сили, прикладеної ближче до осі. У розглядуваному на мал. 16.1 прикладі рівновага настає, коли добуток модуля сили на відстань від осі до точки її прикладання (радіус точки кріплення) для обох діючих сил однаковий. Якщо позначити діючі сили через F₁ і F₂, а довжини радіусів, проведених у точки їх прикладання через l₁ і l₂, цю умову рівноваги можна записати у такий спосіб:

F₁l₁ = F₂l₂.

Найкоротшу відстань від осі обертання до лінії дії сили називають плечем сили l (мал. 15.2).

Мал. 15.2. Плече сили — l

Таким чином, обертальна дія сили залежить від величини і плеча цієї сили.

Добуток сили на плече називається моментом сили відносно осі обертання:

М = Fl.

Виходячи з цієї формули, можна визначити одиницю моменту сили:

[М] = 1Н • 1 м = 1 Н • м.

Момент сили — величина, яка характеризує обертальну дію сили. Якщо лінія дії сили проходить через вісь обертання: l = 0, то момент цієї сили: М = 0. Як ми переконалися на досліді, ця сила не викликає обертання тіла.

У побуті ми часто маємо враховувати дію моментів сил. Один і той самий момент сили можна створити малою силою, плече якої велике, і великою силою з малим плечем. Діючи гайковим ключем, відкриваючи двері, натискаючи на педаль велосипеда, ми створюємо обертальний момент. Щоб при цьому докласти найменше зусиль, слід прикласти силу якомога далі від осі обертання.

У СІ за одиницю моменту сили приймається момент сили в 1 Н, що має плече в 1 м.

Щоб відрізнити моменти сил, які викликають обертання в протилежних напрямах, домовилися вважати моменти сил, які обертають тіло проти годинникової стрілки, — від’ємними, а моменти сил, які обертають тіло за стрілкою годинника, — додатними.

Отже, тіло з нерухомою віссю обертання перебуває в рівновазі, якщо алгебраїчна сума моментів прикладених до нього сил відносно цієї осі дорівнює нулю. Його можна записати в такий спосіб: ΣΜ = 0. Для обертального руху момент сили відіграє таку саму роль, як сила для поступального руху.

Тепер ми можемо узагальнити умови рівноваги тіл під дією кількох сил.

Щоб тіло перебувало в рівновазі, мають виконуватися одночасно дві умови:

1) сума всіх сил, які діють на тіло, має дорівнювати нулю: ΣF = 0;

2) алгебраїчна сума моментів усіх сил відносно даної осі обертання має дорівнювати нулю: ΣΜ = 0.

Історично склалося так, що люди використовували важелі ще в стародавні часи, задовго до розроблення їх теорії. Найвидатніший давньогрецький вчений Архімед (287-212 р. до н.е.), який першим заклав основи сучасної механіки, вивів закон важеля, тим самим поклавши початок вчення про рівновагу твердих тіл — статики.

Знання умов рівноваги необхідні як для розуміння дії простих механізмів (блока, важеля, ворота, гвинта тощо), так і для розрахунків складних споруд і механізмів. Умова рівності нулю рівнодійної для постійної рівноваги сил має виконуватися не лише для всієї конструкції, наприклад, мосту чи крану, а й для кожної окремої деталі конструкції, таких як стріла крана, опора моста тощо.

ЦЕНТР ТЯЖІННЯ ТА ЦЕНТР МАС ТІЛА. Тверде тіло можна поставити на стіл або підвісити на шнуру так, що воно перебуватиме у рівновазі, тобто не буде ані рухатися поступально, ані обертатися. Це означатиме, що рівнодійна сил тяжіння, що діють на всі точки тіла, і сил пружності з боку опори, дорівнює нулю. І сума моментів усіх сил діють на нього теж дорівнює нулю.

Отже, сила тяжіння всього тіла і сила пружності зрівноважені. Оскільки у цьому випадку момент сили пружності дорівнює нулю за будь-якого положення тіла, то момент сили тяжіння має дорівнювати нулю.

Виходячи з цього, точка прикладання сили тяжіння має лежати на вертикалі, яка проходить через точку закріплення тіла. Це дає можливість визначити центр тяжіння будь-якого плоского тіла дослідним шляхом: підвісимо тіло за довільно вибрану точку і у стані рівноваги тіла проведемо через цю точку вертикаль (мал. 15.3). Шуканий центр має знаходитися на цій вертикалі. Далі обираємо нову точку підвісу і проводимо нову вертикаль. Центр тяжіння має лежати і на цій вертикалі. Повторимо цю дію втретє. Оскільки центр тяжіння має бути на всіх вертикалях, це означає, що треба знайти точку їх перетину. Це і буде центр тяжіння тіла.

Мал. 15.3. Визначення центра тяжіння

Центром тяжіння тіла називають точку всередині тіла (або поза ним), відносно якої сума моментів сил тяжіння, які діють на окремі частини тіла, дорівнює нулю.

Центр мас (центр інерції) — точка, що характеризує розподіл мас у тілі або системі тіл, її положення залежить від розподілу маси в них.

Особливістю центра мас є його рух, як матеріальної точки в якій зосереджена вся маса тіла.

Положення центра мас тіла в однорідному полі тяжіння збігається з положенням його центра тяжіння. Наприклад, центр тяжіння кулі, диска, стержня, прямокутного паралелепіпеда знаходиться в геометричному центрі цих фігур. Він може міститися і поза тілом, як, приміром, у кільця.

Положення центру тяжіння може змінюватися, якщо змінюється форма тіла або речовина, з якої виготовлена окрема його частина. Так, якщо людина піднімає, наприклад, праву руку в горизонтальне положення, її центр тяжіння зміщується праворуч.

Знання положення центру тяжіння має велике практичне значення. Розрахунок положення центра тяжіння проектованої машини зазвичай проводять за схемою або кресленням, але він часто виявляється не досить точним і не збігається з положенням центра тяжіння готової машини. Зрозуміло, що за таких умов порушується безпека функціонування складних виробів. На практиці застосовують метод зважування готової машини одночасно на двох або трьох вагах. Наприклад, центр тяжіння літака визначається в такий спосіб: його ставлять на двоє терезів, відстань між якими відома і за показами яких, знаючи відстань, знаходять положення центру тяжіння літака. Цей метод широко застосовується в авіації, його називають центруванням (мал. 15.4).

Мал. 15.4. Визначення центра тяжіння літака

ВИДИ РІВНОВАГИ. СТІЙКІСТЬ ТІЛ. Ви вже з’ясували умови рівноваги тіл відносно обраної системи відліку. Але виявляється, що цих умов недостатньо, аби тіла постійно перебували у такому стані. Якщо подивитися на тіла навколо нас: стілець, телевізор, картину на стіні, лампу під стелею і настільну лампу, хлібину і яйце, що лежать на столі, тощо, зрозуміло, що всі вони перебувають у стані рівноваги. Однак варто лише невеликого поштовху, щоб побачити різницю в характері рівноваги цих предметів. Вони по-різному прагнуть зберегти своє положення. Так, настільна лампа навіть при невеликому відхиленні може перекинутися, тоді як стілець до певного кута відхилення намагається повернутися у попередній стан, а лампа, підвішена на ланцюжку під стелею, повертається у попередній стан завжди.

Кулька на горизонтальній поверхні після поштовху не намагається ані повернутися у попереднє положення, ані віддалитися від нього. Залежно від того, як неістотні додаткові впливи позначаються на рівновазі тіл, розрізняють стійку, нестійку і байдужу рівновагу:

• 1) стійка рівновага — після її порушення тіло самочинно повернеться в це положення (мал. 15.5, а);
• 2) байдужа рівновага — тіло, після виведення його в сусіднє положення, залишиться в новому положенні (мал. 15.5, б).
• 3) нестійка рівновага — після її порушення тіло буде ще більше відхилятися від цього положення і не повертається до нього (мал. 15.5, в);

Мал. 15.5. Види рівноваги

Якщо тіло перебуває у стані стійкої рівноваги, то під час відхилення його центр тяжіння піднімається. Якщо тіло перебуває у стані нестійкої рівноваги, то при відхиленні його центр тяжіння опускається. Якщо рівновага байдужа, центр тяжіння тіла під час відхилення не піднімається і не опускається. Під час перебування тіла в нестійкій рівновазі центр тяжіння займає найвище, а під час перебування у стійкій рівновазі — найнижче з можливих положень. Це означає, що потенціальна енергія тіла (або системи тіл) у стані нестійкої рівноваги має найбільше, а у стані стійкої рівноваги — найменше з можливих значень. Але будь-яка система намагається перейти у стійкий стан. Звідси випливає важливий висновок, який поширюється й на інші розділи фізики: будь-яка система намагається перейти у стан, який відповідає мінімуму її потенціальної енергії.

Стійкість тіла залежить від розмірів площі опори і розміщення центра тяжіння тіла. Чим більша площа опори і чим нижче міститься центр тяжіння, тим більша стійкість тіла.

Стійкість тіла залежить від кута його нахилу: якщо вертикальна лінія, проведена через центр тяжіння, перетинає площу опори, то тіло зберігає свою рівновагу. В іншому випадку тіло втрачає стійкість (мал. 15.6).

Мал. 15.6. Стійкість тіла зберігається, якщо вертикальна лінія, проведена через центр тяжіння перетинає площину опори

Головне в цьому параграфі

Добуток сили на плече називається моментом сили відносно осі обертання. Момент сили — величина, яка характеризує обертальну дію сили, — позначається буквою М:

M = F • l.

Одиницею вимірювання моменту сили є 1 Н • м.

Щоб тіло перебувало в рівновазі, мають виконуватися одночасно дві умови:

• 1) сума всіх сил, які діють на тіло, має дорівнювати нулю: ΣF = 0;
• 2) алгебраїчна сума моментів усіх сил відносно цієї осі обертання має дорівнювати нулю: ΣΜ = 0.

Розрізняють стійку, нестійку та байдужу рівновагу.

Будь-яка система намагається перейти у стан, який відповідає мінімуму її потенціональної енергії, тобто у стійкий стан.

Запитання для самоперевірки

• 1. Який стан тіла називається в механіці рівновагою?
• 2. Чи обов’язково рівновага означає стан спокою?
• 3. За яких умов прикладена до тіла сила може повернути його навколо закріпленої осі обертання?
• 4. Що називають плечем сили?
• 5. Що називають моментом сили? У яких одиницях він вимірюється?
• 6. Які умови необхідні та достатні для рівноваги тіла, що може обертатися навколо закріпленої вісі?
• 7. Де слід розміщувати вантаж під час завантажування пароплава або літака, щоб досягти найбільшої стійкості?
• 8. Хто має більшу стійкість: людина, яка сидить у човні, чи людина, яка стоїть у ньому? Поясніть.
• 9. У чому перевага двокорпусних суден (катамаранів) над звичайними суднами?
• 10. Поясніть, чому людина нахиляється вперед, піднімаючись у гору, і відхиляється назад, спускаючись з гори.