Фізика. Рівень стандарту. 10 клас. Головко

§ 12. Закон всесвітнього тяжіння

• Закон всесвітнього тяжіння
• Сила тяжіння
• Космічні швидкості. Штучні супутники

ЗАКОН ВСЕСВІТНЬОГО ТЯЖІННЯ. Ви вже знаєте, що всі тіла поблизу поверхні Землі падають з однаковим прискоренням — прискоренням вільного падіння. Це означає, що сила тяжіння, яка діє на тіло з боку Землі, пропорційна масі цього тіла. Зрозуміло, що сили, з якими взаємодіють два тіла, мають однакову фізичну природу. Тому, якщо сила притягання двох тіл пропорційна масі одного тіла, то вона пропорційна і масі другого тіла. А це й означає, що сила притягання двох тіл пропорційна добутку їхніх мас.

Виявляється, що маса є мірою не тільки інертних властивостей тіла, а й мірою гравітаційної взаємодії між тілами. Хоча інертна та гравітаційна маса є концептуально різними поняттями, проте всі відомі на сьогодні експерименти свідчать, що ці маси приблизно рівні між собою.

У системі відліку, пов’язаній із Сонцем, планети рухаються приблизно зі сталою за модулем швидкістю по орбітах, близьких до колових¹. Отже, вони рухаються з прискоренням, спрямованим до Сонця. А це означає, що на планети з боку Сонця діє сила притягання. Якби це притягання до Сонця зникло, планети відлетіли б від Сонця, рухаючись по інерції, тобто прямолінійно й рівномірно (мал. 12.1). І Місяць не міг би бути супутником Землі, якби між Землею і Місяцем не було притягання.

¹ Точніше, траєкторії планет є еліпсами. Еліпс - це крива, що нагадує витягнуте (або стиснене) коло.

Мал. 12.1. Якби притягання до Сонця зникло, планети відлетіли, від Сонця, рухаючись по інерції

Ми знаємо, що планети, зокрема Земля, обертаються навколо Сонця. Сонце притягує планети. Земля притягує Місяць, утримуючи його на орбіті. Від чого залежить сила взаємного притягання між небесними тілами? Чи тільки небесні тіла можуть взаємодіяти? Чи можна це перевірити, якщо врахувати величезні відстані між небесними тілами: Землі від Сонця (150 000 000 км), Землі від Місяця (384 000 км). Якою має бути сила, щоб утримати на орбіті таку велику планету як Земля? На ці запитання ми шукатимемо відповіді.

До XVII ст. вчені вважали, що тільки Земля має особливу властивість притягувати до себе всі тіла, які перебувають поблизу її поверхні. У 1667 р. Ньютон висловив дивне для тих часів твердження, що між усіма тілами діють сили взаємного притягання.

Два тіла, які можна розглядати як матеріальні точки, притягуються одне до одного із силою, прямо пропорційною добутку їхніх мас та обернено пропорційною до квадрата відстані між ними:

Гравітаційна стала дорівнює силі гравітаційного притягання двох тіл масою по 1 кг кожне, що перебувають на відстані 1 м одне від одного.

Гравітаційна стала, можливо, найскладніше вимірюється з усіх фізичних сталих. Вперше гравітаційну сталу виміряв Генрі Кавендіш за допомогою сконструйованих ним крутильних терезів. Відтоді точність вимірювань зросла лише незначно.

СИЛА ТЯЖІННЯ. Виходячи із закону всесвітнього тяжіння, всі тіла притягуються одне до одного гравітаційними силами. Сила тяжіння — гравітаційна сила, що діє на тіло з боку Землі. Від чого ж залежить прискорення вільного падіння?

На тіло масою m, що перебуває на висоті h над поверхнею Землі, діє гравітаційна сила (мал. 12.2) притягання F_g, яка дорівнює:

де М_З — маса Землі, R_З — радіус Землі.

Мал. 12.2. Гравітаційна сила в полі тяжіння Землі

Прискорення a_g, якого набуває тіло під дією гравітаційної сили, можна знайти з другого закону Ньютона, це є прискорення вільного падіння тіла на висоті h.

Прискорення вільного падіння (гравітаційне прискорення) — це прискорення якого набуває тіло під дією гравітаційної сили поблизу поверхні небесних тіл (планет, зірок).

Прискорення вільного падіння дещо змінюється залежно від географічної широти місця на поверхні Землі. Так, на екваторі g = 9,78 м/с², на полюсах Землі g = 9,83 м/с². Ця різниця значень зумовлена обертанням Землі навколо своєї осі. Для Києва вимірювання дають таке значення прискорення вільного падіння: g ≈ 9,81 м/с². Для розв’язування багатьох задач можна вважати, що прискорення вільного падіння поблизу поверхні Землі дорівнює 9,81 м/с², або й 10 м/с².

Сила тяжіння, що діє на тіло масою т поблизу поверхні Землі дорівнює

У табл. 12.1 наведено гравітаційне прискорення на певних небесних тілах Сонячної системи, значення якого залежить від їхньої маси та радіуса.

Таблиця 12.1.

Гравітаційне прискорення

Небесні тіла	Гравітаційне прискорення, м/с2
Меркурій	3,7
Венера	8,9
Земля	9,8
Місяць	1,6
Марс	3,7
Юпітер	26
Сатурн	12
Уран	11
Нептун	12
Плутон	2

Швидкість, яку необхідно надати тілу, щоб воно рухалося по коловій орбіті поблизу поверхні Землі, називається першою космічною швидкістю.

Мал. 12.3. Схема запуску штучного супутника Землі, запропонована І. Ньютоном

Для обчислення першої космічної швидкості варто розуміти, що гравітаційна сила, виходячи з другого закону Ньютона: F = ma, де а — доцентрове прискорення. Отже справедливим буде рівняння

де m — маса тіла; М — маса планети; G — гравітаційна стала; r — радіус орбіти, що приблизно дорівнює радіусу планети R_З.

Для Землі М_З = 5,97 • 10²⁴ кг, R_З = 6 378 000 м, отримаємо, що перша космічна швидкість — 7,9 км/с.

Якщо супутник масою m рухається на висоті h над поверхнею Землі, то можна вважати, що прискорення супутника дорівнює:

Якщо надати тілу швидкості, більшої за першу космічну, то воно рухатиметься не по колу, а по еліпсу — так називається замкнута крива, що нагадує «видовжене» коло (мал. 12.4). Зі зростанням початкової швидкості розміри еліпса зростатимуть, а при початковій швидкості 11,2 км/с тіло назавжди покине навколоземний простір. Швидкість 11,2 км/с називають другою космічною швидкістю.

Мал. 12.4. Траєкторія космічного апарата залежно від його швидкості

При цьому тіло, відлетівши від Землі, все-таки залишається супутником Сонця. Така само доля чекає на космічні кораблі, які вирушають для дослідження інших планет Сонячної системи — Марса і Венери.

Головне в цьому параграфі

Гравітаційна стала дорівнює силі гравітаційного притягання двох тіл масою по 1 кг кожне, що перебувають на відстані 1 м одне від одного.

Маса одночасно виступає і як міра інертних властивостей тіл, і як міра гравітації.

Швидкість, яку необхідно надати тілу, щоб воно рухалося по коловій орбіті поблизу поверхні Землі, називається першою космічною швидкістю. Вона становить 7,9 км/с.

Швидкість 11,2 км/с називають другою космічною швидкістю; набувши, її тіло назавжди покине навколоземний простір.

Запитання для самоперевірки

• 1. Як рухалися б планети, якби їх не притягувало Сонце?
• 2. Як формулюється закон всесвітнього тяжіння? Хто його відкрив?

• 4. У скільки разів сила гравітаційного притягання двох куль масою по 1 кг, що перебувають на відстані 1 м одна від одної, менша за сили їх притягання до Землі?
• 5. У чому полягає фізичний зміст гравітаційної сталої?
• 6. Чому не наближаються один до одного предмети в кімнаті, незважаючи на їхнє гравітаційне притягання?
• 7. Які властивості тіл характеризує маса?