Фізика. Профільний рівень. 11 клас. Гельфгат

§ 24. Гіпотеза де Бройля. Принцип невизначеності

1. Корпускулярно-хвильовий дуалізм як загальна властивість матерії

Як ви вже знаєте, на початку XX століття фізики зіткнулися з серйозними проблемами: на основі законів класичної фізики, які доти здавалися «непохитними», не вдавалося пояснити цілу низку явищ. Для пояснення законів теплового випромінювання та фотоефекту довелося визнати існування світлових квантів, а для пояснення будови атомів — існування виділених стаціонарних орбіт електронів. Отже, і електромагнітні хвилі, і електрони в певних умовах «поводилися» не так, як годилося б «нормальним» хвилям і «нормальним» частинкам. На закони класичної фізики чомусь довелося накладати певні обмеження (згадайте постулати Бора). Але з законів природи не може бути виключень, бо це ж не граматичні правила!

Теорію Бора нині називають напівкласичною. Це був лише крок до справжньої послідовної теорії, яка могла б пояснити явища в мікросвіті. Інший важливий крок зробив 1924 року французький фізик Л. де Бройль. Він виходив з припущення, що корпускулярно-хвильовий дуалізм властивий не тільки світлу, а й частинкам речовини. Інакше кажучи, кожному матеріальному об’єкту властиві як корпускулярні, так і хвильові властивості.

Щоб зрозуміти це, оцінимо довжину хвилі (її називають хвилею де Бройля) для крихітної порошинки масою 1 мкг, що рухається зі швидкістю 1 мм/с. Ви легко переконаєтеся, що це приблизно 7 • 10^-22 м. Це в мільйон разів менше, ніж навіть розмір атомного ядра! Якщо ж візьмемо тіло більшої маси та розглянемо швидший рух, то отримаємо ще менше значення довжини хвилі.

Навколо фізики

Перехід від «класичних» частинок, що рухаються певними траєкторіями, до хвиль де Бройля є аналогічним переходу від геометричної оптики до хвильової: адже світловий промінь — це теж «траєкторія» поширення світла.

Спочатку мало хто з учених перейнявся ідеями де Бройля. Проте вже 1927 року американські фізики К. Девіссон і Л. Джермер спостерігали дифракцію електронів на кристалах, а пізніше було вивчено й дифракцію молекул водню, атомів гелію тощо. Співвідношення між імпульсом частинки та довжиною хвилі де Бройля теж було підтверджено.

Які ж характерні властивості такої хвилі можна помітити? Якщо дифракцію, то треба для цього створити перешкоду, розмір якої є порівнянним з довжиною хвилі. Зрозуміло, що це нереально. Отже, хвильові властивості макроскопічних тіл практично непомітні. Це означає, що гіпотеза де Бройля не суперечить нашому повсякденному досвіду. Якщо ж розрахувати довжину хвилі електронів на стаціонарних орбітах відповідно до теорії Бора, то отримаємо значення порядку 0,1 нм, що близько до розміру атома. Тому під час розгляду будови атома не враховувати хвильові властивості електронів ніяк не можна.

Рис. 24.1. Умовне зображення хвилі де Бройля, що відповідає стаціонарній орбіті електрона в моделі атома Бора для випадку n = 4

2. Принцип невизначеності

Виникає питання: як все ж таки один і той самий об’єкт може бути одночасно частинкою і хвилею?! Адже частинка кожної миті має певні координати та імпульс (за якими можна передбачити всі характеристики її подальшого руху), а хвиля «розмазана» в просторі... Гіпотеза ж де Бройля означає, що просто не існує частинок і хвиль у «колишньому» розумінні.

Важливий крок до формування правильних уявлень про закони природи на рівні мікросвіту зробив дуже молодий тоді німецький фізик В. Гейзенберг. Він довів, що насправді неможливо одночасно та точно виміряти координати та імпульс частинки. Точніше, існують певні обмеження на одночасне підвищення точності (зменшення невизначеностей) таких вимірювань. А це означає, що неможливо передбачити характер подальшого руху частинки за її станом у певний момент.

Можна сказати навіть більше: частинка просто не має одночасно певних координат і імпульсу. Бо якщо їх неможливо виміряти, то який сенс взагалі користуватися цими величинами?

Навколо фізики

Хвильові властивості електронів застосовують в електронних мікроскопах, роздільна здатність яких у тисячі разів перевищує роздільну здатність оптичних мікроскопів. Адже розганяючи електрони сильним електричним полем, можна збільшувати їх імпульс і відповідно зменшувати довжину хвилі де Бройля. На зображеннях, отриманих за допомогою електронних мікроскопів, можна розрізняти навіть окремі атоми. На рисунках нижче показано електронний мікроскоп 1960-х років і зображення графену, отримане за допомогою сучасного електронного мікроскопа TEAM.

В. Гейзенберг встановив фундаментальне співвідношення між невизначеностями координати (Δх) та відповідної проекції імпульсу (Δр_х):

Отже, якщо ми бажаємо, наприклад, усе точніше вимірювати координату х, то за це доведеться «сплатити» все меншою точністю вимірювання проекції імпульсу р_х. Насправді принцип невизначеності враховує, що вимірювання характеристик об’єкта може вплинути на цей об’єкт, змінити його стан. Якщо в макросвіті цим можна нехтувати, то в мікросвіті — це принципово важливо.

Сам В. Гейзенберг прийшов до принципу невизначеності, застосовуючи математичні методи, поки що занадто складні для вас. Проте згадаємо твердження І. Ньютона, що під час навчання приклади корисніші за правила. Щоб зрозуміти принцип невизначеності, розглянемо відносно простий приклад: рух зарядженої частинки, розігнаної в електричному полі, в напрямі осі Ох.

Якщо ми дуже точно виміряли «розганяючу напругу», то можемо й дуже точно розрахувати проекцію р_х імпульсу частинки. Припустимо, ми хочемо виміряти в певний момент часу координату х частинки. Що ж заважатиме нам зробити це з будь-якою точністю?

Якщо для освітлення застосовується випромінювання з довжиною хвилі λ, то мінімальна похибка визначення координати буде за порядком величини такою самою: Δx_min ~ λ. Оцінимо тепер мінімальну невизначеність імпульсу Δp_xmin після «фотографування». Для цього згадаємо, що пучок світла можна розглядати як потік фотонів. Під час «фотографування» частинки щонайменше один фотон мав зазнати розсіювання на ній. При цьому частинка

Рис. 24.2. Ілюстрація принципу невизначеності: «освітлення» частинки для визначення її координат спричиняє зміну її імпульсу

3. Квантування енергії частинки в потенціальній ямі. Тунельний ефект

Роботи де Бройля, Гейзенберга та інших дослідників проклали шлях до створення послідовної квантової теорії, яка пояснює безліч явищ мікросвіту. Головне рівняння цієї теорії, яке описує хвилі де Бройля, сформулював австрійський фізик Е. Шредінгер. Проте це рівняння, як і фізичний зміст величини, що входить до нього (хвильової функції) досить далеко виходить за межі шкільної програми. «Мова» квантової теорії — це диференціальні рівняння, дії над матрицями тощо.

Скажімо лише, що створення квантової теорії докорінним чином змінило наші погляди на закони природи, на причинно-наслідкові зв’язки в нашому світі. Тепер ми розуміємо, що в мікросвіті неможливо точно передбачити хід подій, можна передбачити лише ймовірності тих чи інших результатів.

Спробуємо пояснити, як саме врахування хвильових властивостей частинок приводить до уявлень про дискретні рівні енергії (тобто до квантування енергії). Для цього розглянемо знов-таки максимально спрощену модель.

Нехай частинка може рухатися в потенціальному полі тільки вздовж осі Ох. Дію зовнішнього поля на частинку характеризує залежність потенціальної енергії від координати W_п(х). Нагадаємо, що горизонтальні ділянки на графіку W_п(х) відповідають відсутності зовнішніх сил, тобто руху частинки за інерцією з незмінним імпульсом. На рис. 24.3 наведено графік, що відповідає так званій потенціальній ямі.

Рис. 24.3. Частинка в дуже глибокій потенціальній ямі

Уважатимемо, що «глибина» ями набагато перевищує енергію W частинки. Тоді частинка не може вийти за межі потенціальної ями. Відповідно до графіка всередині потенціальної ями (при 0 < х < L) та поза нею на частинку не діють зовнішні сили. Але коли частинка наближається впритул до «стінок» ями, на неї діють дуже великі сили, які відкидають частинку назад. Отже, частинка почергово відбивається від обох «стінок» ями. Те ж саме можна повторити, замінивши термін «частинка» на «хвилю де Бройля».

Рис. 24.4. Частинка в потенціальній ямі: рівні енергії та відповідні стоячі хвилі (аналогічні стоячим хвилям на струні). Тут W₂ = 4W₁, W₃ = 9W₁

Дискретні рівні енергії мають зазвичай зв’язані системи.

Наведемо приклад ще одного цікавого явища, яке передбачає квантова механіка. Нехай частинка з енергією W налітає на «потенціальний бар’єр» — ділянку, в межах якої потенціальна енергія частинки дорівнює W_max > W (рис. 24.5). Інакше кажучи, в точці х = 0 частинка має подолати силу відштовхування, витративши на це кінетичну енергію W_max, якої в неї просто немає. Чи зможе вона подолати такий бар’єр? З погляду класичної механіки — не зможе. А як же з погляду квантової?

Рис. 24.5. Частинка налітає на «потенціальний бар’єр»

На жаль, ми з вами не можемо застосувати математичний апарат квантової механіки, який дозволяє легко отримати відповідь. Проте ми можемо застосувати аналогію. Згадаймо, що замість звичної частинки можна розглянути хвилю де Бройля. Що ж є аналогією бар’єра для хвилі? Мабуть, шар непрозорої для хвилі речовини. Така речовина поглинає хвилю. Проте поглинання відбувається поступово: хвиля все ж проникає в речовину, але її амплітуда зменшується зі збільшенням координати х. Отже, якщо товщина шару речовини не дуже велика, хвиля все ж може подолати цю перешкоду (наприклад, світло проходить через тонку плівку з непрозорої речовини).

Тому можна очікувати, що хвиля де Бройля здатна подолати потенціальний бар’єр, хоч її амплітуда й зменшиться (рис. 24.6). Слід очікувати й часткового відбивання хвилі від бар’єру. Інакше кажучи, існує певна ймовірність проходження крізь бар’єр і ймовірність (зазвичай значно більша) відбивання частинки від бар’єра. Такий ефект назвали тунельним (частинка нібито «риє собі тунель» у бар’єрі, який з точки зору класичної механіки мав би перекрити їй шлях).

Рис. 24.6. Тунельний ефект: хвиля де Бройля долає потенціальний бар’єр. Зображення схематичне, відбиту хвилю не показано

Саме тунельний ефект спричиняє альфа-розпад атомних ядер і багато важливих явищ у надпровідниках і напівпровідникових системах.

Підбиваємо підсумки

Фізика і техніка в Україні

Георгій Антонович Гамов (1904-1968) — один із творців ядерної фізики та сучасної космології.

Георгій Гамов народився в Одесі в учительській родині. Навчався в Одеському та Петроградському університетах. Проходив стажування та працював у провідних центрах розвитку квантової фізики в Німеччині, Данії, Англії. Перші ж дослідницькі праці зробили його світовою знаменитістю. Він пояснив альфа-розпад (показав, що частинки навіть з невеликою енергією можуть проникати через потенціальний бар’єр). Молодий учений співпрацював з Н. Бором; на запрошення М. Кюрі, Е. Фермі та В. Паулі підготував доповідь для І Міжнародного конгресу з атомного ядра.

1934 року Г. Гамов разом із дружиною не повернувся в СРСР з наукового конгресу в Брюсселі та емігрував до США. Колишній одесит заклав основи американської астрофізики та космології, вибудував першу послідовну теорію еволюції зірок з термоядерним джерелом енергії. Він розробив теорію утворення хімічних елементів шляхом послідовного нейтронного захоплення та модель «гарячого Всесвіту» (теорію Великого Вибуху). Потім наукові інтереси вченого перемістилися в галузь біології. Його гіпотеза (концепція генетичного коду) була підтверджена подальшим розвитком молекулярної генетики. Подальша розробка його ідей принесла послідовникам кілька Нобелівських премій (з фізики та біології).

Г. Гамов — автор багатьох визнаних науково-популярних книг. Він мав відзнаки багатьох університетів світу та найпрестижнішу у світі нагороду ЮНЕСКО за популяризацію науки.

Контрольні запитання

1. У чому полягала гіпотеза де Бройля? 2. Яке співвідношення пов’язує корпускулярні та хвильові характеристики об’єкта? 3. Сформулюйте принцип невизначеності Гейзенберга. 4. Що таке тунельний ефект?

Вправа № 24

1. Електрон рухається зі швидкістю 1100 км/с. Визначте довжину відповідної хвилі де Бройля.

2. Чи можна виміряти координату протона з невизначеністю 10^-15 м, а його швидкість — з невизначеністю 1 км/с?

3. Для якої за номером стаціонарної орбіти електрона в атомі водню за теорією Бора довжина хвилі де Бройля приблизно збігається з радіусом орбіти?

4. Визначте енергію електрона на найнижчому енергетичному рівні в прямокутній потенціальній ямі завдовжки 0,1 нм. Відповідь наведіть в електрон-вольтах.