Фізика. Профільний рівень. 11 клас. Гельфгат

§ 2. Закон Ома для повного кола. Правила Кірхгофа

1. Сторонні сили та електрорушійна сила

Постійний електричний струм у провідниках, тобто впорядкований рух вільних заряджених частинок, спричинений дією електричного (кулонівського) поля. Проте чи можуть тільки кулонівські сили підтримувати електричний струм? Виявляється, ні: адже заряджені частинки в колі переміщаються замкненими траєкторіями, а на замкнених траєкторіях робота кулонівських сил дорівнює нулю. Ми ж добре знаємо, що робота струму в реальному електричному колі відмінна від нуля: нагріваються провідники, працюють електродвигуни... Отже, мають бути якісь іще сили! Саме їх робота має «збагачувати» електричне коло енергією (зрозуміло, унаслідок витрати енергії якогось іншого типу). Ці «додаткові» сили (тобто всі, крім кулонівських) називають сторонніми. Зрозуміло, що робота цих сил на замкненій траєкторії може бути відмінною від нуля; іншими словами, ці сили мають бути непотенціальними.

Звідки ж вони беруться і в якій саме частині кола вони діють? На перше запитання відповімо трохи далі. А от щоб відповісти на друге, згадаймо про роль джерела струму: саме в ньому відбувається розділення позитивних і негативних зарядів (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Сторонні сили спричиняють розділення зарядів у джерелі струму

Тепер причини руху вільних заряджених частинок зрозумілі: усередині джерела струму вони рухаються під дією сторонніх сил («усупереч» кулонівським), а поза джерелом струму — під дією кулонівських сил.

Зазначимо, що в деяких випадках сторонні сили діють і поза джерелами струму (наприклад, в електродвигунах), проте ми зараз не розглядатимемо такі випадки.

Зверніть увагу!

Сторонні сили можуть мати хімічну природу (у гальванічних елементах вони зумовлені різними швидкостями переходу йонів різних металів до розчину електроліту), можуть бути зумовлені дією змінного магнітного поля або рухом провідника в магнітному полі (такий принцип дії генераторів на електростанціях). Сторонні сили можуть виникати й унаслідок дії світла (у сонячних батареях) або внаслідок різниці температур у різних частинах кола.

Як відомо, електростатичне (кулонівське) поле на ділянці кола має енергетичну характеристику — різницю потенціалів. Так само сторонні сили мають свою енергетичну характеристику — електрорушійну силу (ЕРС), яку позначають E.

Електрорушійною силою на ділянці кола називають відношення роботи сторонніх сил під час переміщення заряду цією ділянкою до значення q цього заряду:

Інакше кажучи, ЕРС чисельно дорівнює роботі сторонніх сил з переміщення одиничного позитивного заряду.

ЕРС, як і різницю потенціалів, вимірюють у вольтах (1 В = 1 Дж/Кл). На відміну від різниці потенціалів, ЕРС залежить не тільки від положення початкової та кінцевої точок траєкторії переміщення зарядів, а й від форми цієї траєкторії (адже сторонні сили не є потенціальними).

Якщо переміщати заряд через джерело струму від негативного полюса до позитивного, отримаємо саме ЕРС джерела струму. Якщо ж переміщати заряд через однорідні ділянки зовнішнього кола (електронагрівальні прилади, з’єднувальні провідники), де сторонні сили відсутні, отримаємо А_стор = 0 і, відповідно, ЕРС теж дорівнює нулю.

Зазвичай на джерелі струму зазначено саме значення його ЕРС (ми скоро побачимо, що напруга на полюсах не обов’язково збігається з цим значенням). Ще однією важливою характеристикою джерела струму є його внутрішній опір r. Для генератора це опір провідників його обмотки, для гальванічного джерела струму — опір електроліту всередині тощо. У загальному випадку існування внутрішнього опору просто свідчить, що джерело струму нагрівається під час протікання струму (згадаймо закон Джоуля — Ленца).

2. Закон Ома для неоднорідної ділянки кола та повного кола

Якщо в ділянці кола діють також сторонні сили, то таку ділянку називають неоднорідною. У такому випадку вираз для сили струму містить замість А_кул сумарну роботу всіх сил, тобто А_кул + А_стор.

Отримуємо

Це співвідношення називають законом Ома для неоднорідної ділянки кола, а добуток IR — спадом напруги. Отриманий результат дозволяє розглядати ділянки кола, що містять джерела струму, працюючі електродвигуни тощо. Зазначимо, що закон Ома для однорідної ділянки кола є окремим випадком формули (2.2).

Рис. 2.2. Виводимо закон Ома для повного кола

Прикладом такої «ділянки кола» є й замкнене (повне) коло (рис. 2.2), що містить джерело струму та споживачі, в яких не діють сторонні сили (тобто енергія перетворюється тільки на внутрішню). У такому випадку можна вважати, що точки 1 і 2 (початок і кінець ділянки) збігаються, а повний опір ділянки складається із зовнішнього R і внутрішнього r. Отримуємо I(R + r) = E, або

Це співвідношення називають законом Ома для повного кола.

Наслідки

1. Скориставшись законом Ома для повного кола та законом Ома для ділянки кола, отримаємо співвідношення U = E - Ir, яке пов’язує напругу U на полюсах джерела струму та силу струму в колі. Це дуже корисне співвідношення дозволяє полегшити розв’язання багатьох задач. З нього видно, що зі збільшенням сили струму (збільшенням навантаження в колі) напруга джерела струму зменшується. Ви могли це помітити за послабленням світіння ламп, коли взимку хтось умикав потужний електронагрівальний прилад. Зміна напруги не спостерігається лише за умови дуже малого внутрішнього опору джерела струму (тобто для так званого ідеального джерела струму).

2. Режим розімкненого кола відповідає умові R ≫ r (або, що те ж саме, R → ∞). У цьому випадку I → 0, U → E. Це реалізується, наприклад, коли до полюсів джерела струму приєднано тільки вольтметр з дуже великим опором. Саме в цьому випадку можна вважати, що вольтметр показує ЕРС джерела струму. Будь-яке зменшення опору зовнішнього кола означає збільшення навантаження в колі (збільшення сили струму).

Гальванічний елемент або батарейка (r ≈ 1 Ом) можуть витримати коротке замикання приблизно протягом хвилини. А от у випадку автомобільного акумулятора (r ≈ 0,01 Ом) струм короткого замикання дуже великий і виводить акумулятор з ладу за частки секунди.

3. Розгалужені електричні кола та правила Кірхгофа

Якщо закон Ома застосовний для всіх елементів електричного кола, то можна знайти силу струму та інші фізичні величини для будь-якої ділянки кола. Проте це може виявитися достатньо складною задачею: адже з’єднання елементів кола бувають дуже «заплутаними». Навіть за відносно невеликої кількості елементів розгалужене електричне коло буває неможливо розглядати як певну комбінацію послідовних і паралельних з’єднань. На рис. 2.3 наведено приклад кола, що не містить жодного послідовного та жодного паралельного з’єднання (переконайтеся в цьому самостійно). Таку схему з’єднання називають «мостовою».

Рис. 2.3. Схема «моста» з п’яти резисторів

Для розрахунків розгалужених кіл розроблено численні методи. Усі вони ґрунтуються на вже відомих вам фізичних законах. Познайомимося з правилами Кірхгофа, які дозволяють здійснити розрахунки будь-якого кола, для всіх елементів якого виконується закон Ома.

Перше правило Кірхгофа (правило вузлів). Нагадаємо, що вузлом називають точку, де сходяться не менш ніж три провідники. По кожному з них струм тече в напрямі вузла або витікає з цього вузла (рис. 2.4). Оскільки за постійного струму електричний заряд не може «накопичуватися» у вузлі, щосекунди з нього «виходить» такий самий заряд, який «входить» (це наслідок закону збереження електричного заряду). Якщо вважати струми, що «входять» у вузол, додатними, а такі, що «виходять», від’ємними, то можна записати перше правило Кірхгофа у вигляді

Рис. 2.4. Струми, що «входять» до вузла А (червоні) та «виходять» із нього (сині). Алгебраїчна сума цих струмів дорівнює нулю

• Отже, алгебраїчна сума струмів у будь-якому вузлі кола дорівнює нулю.

Друге правило Кірхгофа (правило контурів). Виберемо в розгалуженому колі довільний замкнений контур (на рис. 2.5 різними кольорами показано різні контури). Контур може бути «маленьким» або «великим», що містить усередині інші контури, — це несуттєво. Будь-який контур містить вузли (надаємо їм номери 1, 2, ..., Ν, що відповідають певному порядку обходу контуру) та ділянки між вузлами. Кожній ділянці надаємо номер, що відповідає номеру вузла, з якого починається обхід цієї ділянки. Ділянка з номером і має опір R_i; на ній можуть діяти сторонні сили, що характеризуються електрорушійною силою E_i.

Рис. 2.5. Приклади контурів, про які йдеться у другому правилі Кірхгофа (виділено «червоний» і «синій» контури). Зображення схематичне, без конкретних елементів кола. Для «червоного» контуру показано вибраний напрям обходу

Розглянемо як приклад «червоний» контур на рис. 2.5. Напишемо закон Ома для кожної з чотирьох ділянок цього контуру:

I₁R₁ = φ₁ - φ₂ + E₁, I₂R₂ = φ₂ - φ₃ + E₂,

I₃R₃ = φ₃ - φ₄ + E₃, I₄R₄ = φ₄ - φ₁ + E₄.

Зверніть увагу!

Під час застосування другого правила Кірхгофа додатними вважають ті струми, напрями яких відповідають вибраному напряму обходу (тобто тут струм, який вважався додатним з точки зору правила вузлів, може «виявитися» від’ємним). ЕРС уважають додатною на тих ділянках, де сторонні сили виконують додатну роботу під час переміщення позитивного заряду в напрямі обходу.

• Алгебраїчна сума спадів напруги на окремих ділянках будь-якого замкненого контуру електричного кола дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС у цьому контурі.

Правильне застосування правил Кірхгофа дозволяє отримати систему лінійних рівнянь, розв’язання якої дає значення сили струму в кожному з елементів кола.

Річ у тім, що визначення N невідомих сил струму потребує такої самої кількості незалежних лінійних рівнянь (тобто жодне з цих рівнянь не має бути наслідком інших). Якщо ви не бажаєте після всіх обчислень отримати тотожність типу «нуль дорівнює нулю», то візьміть за правило: кожний новий вибраний контур має містити хоча б одну ділянку, яка не входила до складу «попередніх» контурів. Не треба також застосовувати перше правило Кірхгофа для всіх вузлів кола.

І ще одна порада: якщо ви можете розв’язати задачу без правил Кірхгофа, то й не треба їх застосовувати. Нехай це буде ваш «останній засіб».

4. Вчимося розв'язувати задачі

Задача 1. Визначте напругу на полюсах джерела струму (рис. 1) і сили струму в резисторах. Опори резисторів R₁ = 8 Ом і R₂ = 24 Ом. ЕРС джерела струму Е = 80 В, його внутрішній опір r = 2 Ом.

Рис. 1

Задача 2. Коли змінюють опір зовнішнього кола, змінюються сила струму I в колі та напруга U на джерелі струму. Визначте ЕРС E джерела струму і його внутрішній опір r за наведеним на рис. 2 графіком залежності U(I).

Рис. 2

Задача 3. Знайдіть силу струму в резисторі опором R = 2 Ом (рис. 3), якщо джерела струму мають ЕРС E₁ = 4 В і E₂ = 8 В, а їх внутрішні опори r₁ = 1 Ом і r₂ = 2 Ом.

Рис. 3

Рис. 4

Підбиваємо підсумки

Струм у колі не може протікати за відсутності сторонніх сил (так називають усі сили, які діють на заряджені частинки, крім кулонівських). Сторонні сили є непотенціальними: навіть на замкненій траєкторії їх робота може бути відмінною від нуля. Розділення позитивних і негативних зарядів у джерелах струму відбувається саме під дією сторонніх сил («усупереч» дії кулонівських сил).

Два правила Кірхгофа для розрахунків розгалужених електричних кіл:

1. Алгебраїчна сума струмів у будь-якому вузлі кола дорівнює нулю.

2. Алгебраїчна сума спадів напруги на окремих ділянках будь-якого замкненого контуру електричного кола дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС у цьому контурі.

Контрольні запитання

1. Які сили називають сторонніми? У яких ділянках кола діють ці сили? 2. Запишіть закон Ома для неоднорідної ділянки кола. 3. Запишіть закон Ома для повного кола. 4. За якого режиму роботи кола сягає найбільшого значення сила струму через джерело струму? напруга на полюсах джерела струму? 5. Запишіть два правила Кірхгофа. 6. На якому законі природи ґрунтується перше правило Кірхгофа?

Вправа № 2

1. До джерела струму з ЕРС 4,5 В і внутрішнім опором 1 Ом приєднали резистор опором 14 Ом. Визначте силу струму в колі.

2. До джерела струму з ЕРС 18 В і внутрішнім опором 2 Ом приєднали резистор опором 4 Ом. Визначте напругу на резисторі.

3. Напруга на полюсах джерела струму становить 80 % від ЕРС цього джерела. Визначте співвідношення між внутрішнім опором джерела струму і опором зовнішнього кола.

4. До джерела струму з внутрішнім опором 3 Ом приєднано резистор опором 9 Ом. Сила струму в колі 3 А. Визначте силу струму короткого замикання для цього джерела струму.

5. До батарейки приєднано лампу. Як зміниться напруга на полюсах батарейки, якщо приєднати ще одну таку саму лампу: а) паралельно; б) послідовно?

6. ЕРС джерела струму дорівнює 12 В. Коли до джерела приєднали резистор, напруга в зовнішньому колі виявилася рівною 6 В. Якою стане ця напруга, якщо приєднати ще один такий самий резистор послідовно до першого? паралельно?

7. Коли сила струму в колі збільшилася від 1 до 1,5 А, напруга на полюсах джерела струму зменшилася від 3,5 до 3 В. Визначте ЕРС і внутрішній опір джерела струму.

8. Два різних джерела струму з’єднали паралельно. Спираючись на результати розв’язання задачі 3 в тексті параграфа, отримайте вирази для ЕРС і внутрішнього опору отриманого джерела струму.

9. Визначте опір «моста» (рис. 2.3), якщо R₁ = R₄ = R₅ = 3 кОм, R₂ = R₃ = 9 кОм.

Експериментальне завдання

За допомогою вольтметра або мультиметра виміряйте напругу на полюсах гальванічного елемента. Приєднайте до полюсів лампочку від ліхтарика та повторіть вимірювання. Поясніть результат цього досліду. Визначте за результатами вимірювань ЕРС гальванічного елемента та його внутрішній опір.