Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 7. Гравітаційна взаємодія та вага. Космічні швидкості

1. Закон всесвітнього тяжіння

Ви вже знаєте про всесвітнє тяжіння (гравітацію) — сили тяжіння, що існують між будь-якими двома тілами у Всесвіті. І. Ньютон установив закон всесвітнього тяжіння.

Будь-які дві матеріальні точки притягають одна одну з силою, прямо пропорційною добутку їх мас і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

Тут коефіцієнт G — гравітаційна стала, однакова для всіх тіл у Всесвіті.

• Таким чином, гравітаційна стала чисельно дорівнює силі гравітаційної взаємодії між матеріальними точками масою по 1 кг за відстані між ними 1 м.

Кожний закон природи має певні межі застосування. У законі всесвітнього тяжіння йдеться про взаємодію матеріальних точок. Проте І. Ньютон довів, що закон справедливий і для тіл кулястої форми з однорідним або сферично симетричним розподілом речовини. У такому випадку відстань r беруть між центрами куль (рис. 7.1, а). Закон також справедливий для взаємодії великої кулі та маленького тіла довільної форми, навіть якщо це тіло розташоване біля поверхні кулі (рис. 7.1, б).

Рис. 7.1. Випадки, коли можна застосовувати закон всесвітнього тяжіння

Якщо ж тіла мають більш складну форму, то підрахувати силу тяжіння можна лише чисельними методами. Треба подумки розбити тіла на такі маленькі частини, які можна вважати матеріальними точками, знайти сили, що діють на кожну з таких матеріальних точок, та визначити їх суму (ви вже розумієте, що йдеться про застосування інтегрального числення).

З точки зору класичної фізики закон всесвітнього тяжіння є головним законом, що описує гравітаційне поле, через яке й передається гравітаційна взаємодія. Уже у XX столітті виявилося, що ньютонівська теорія гравітації описує лише відносно слабкі гравітаційні поля. У загальному ж випадку на зміну закону всесвітнього тяжіння приходить теорія гравітації, розроблена А. Ейнштейном (її ще називають загальною теорією відносності).

2. Вага та невагомість

Нагадаємо ще про одну фізичну величину, відому вам з курсу фізики 7 класу. Це вага тіла, яка тісно пов’язана з силою тяжіння.

Зрозуміло, що вага тіла поблизу поверхні Місяця переважно зумовлена саме притяганням до Місяця, а не до Землі.

Рис. 7.2. Сили, що діють на підвішене тіло, занурене частково в рідину

Рис. 7.3. Вага тіл, що мають опору або підвіс

Рис. 7.4. Визначаємо вагу тіла під час прискореного руху

Іноді стверджують, що коли прискорення напрямлене горизонтально, то вага просто дорівнює mg. Це неправильно — адже усіх людей в автомобілі, що різко рушає з місця, притискає до спинок сидінь. Це й є «додаткова вага».

Загальна формула для ваги тіла під час прискореного руху має вигляд

• Тіло перебуває в стані невагомості, коли рухається тільки під дією гравітаційних сил, тобто під час вільного падіння.

Зверніть увагу!

Не слід плутати відсутність ваги з відсутністю гравітації. Наприклад, Міжнародна космічна станція (МКС) облітає Землю на такій висоті, що сила земного тяжіння там послаблена лише на 10 % порівняно з поверхнею Землі. А от вага тіл зменшується практично на 100 %, тому що рух МКС можна розглядати як різновид вільного падіння.

3. Припливні ефекти

Здавалося б, усередині тіла, що рухається в космічній порожнечі під дією тільки гравітаційних сил, не можуть виникати деформації та відповідно так звані механічні напруги — адже таке тіло має перебувати в невагомості! Але це не так. 1993 року американські астрономи відкрили комету, якій судилося існувати ще трохи більше року. Як виявилося, ця комета «мала необережність» пройти занадто близько (лише в 15 000 км) від хмарного покрову планети-гіганта Юпітера. Юпітер своїм тяжінням буквально розірвав ядро комети на 21 окремий фрагмент розмірами до 2 км та «вишикував» ці фрагменти ланцюжком завдовжки 200 000 км (рис. 7.5). Усі осколки згодом зіткнулися з Юпітером.

Рис. 7.5. «Кометний поїзд», на який перетворилася комета Шумейкерів — Леві

Навколо фізики

Багато які фізичні процеси відбуваються на борту орбітальної станції незвичним для нас чином саме через невагомість. Порівняємо хоча б горіння свічки на Землі та в умовах невагомості. Річ у тім, що в невагомості відсутня сила Архімеда, а через це й природна конвекція. Тому змінюється форма полум’я (воно стає майже сферичним) та значно утруднюється надходження необхідного для горіння кисню. Полум’я в невагомості слабке, а згодом просто загасає.

Відсутність природної конвекції утруднює не тільки горіння, а й дихання. Щоб забезпечити необхідне для нормального дихання безперервне перемішування повітря, доводиться застосовувати вентилятори. У разі ж виникнення на борту пожежі вентилятори негайно вимикають, щоб запобігти інтенсивному горінню та поширенню полум’я.

Відсутність ваги негативно впливає на здоров’я та самопочуття людей: порушується робота вестибулярного апарата, фактично «вимикаються» та починають швидко атрофуватися м’язи, порушується обмін речовин. Медики розробили комплекси тренувальних вправ, які допомагають ще на Землі підготуватися до випробування невагомістю, а потім на орбіті — підтримувати належну фізичну форму.

То звідки ж узялися сили, що розірвали ядро комети? Виявляється, ці сили є наслідком неоднорідності гравітаційного поля та стають помітними для тіл великих розмірів. Відповідні ефекти назвали припливними (саме вони викликають припливи та відпливи у земних океанах).

Щоб пояснити природу припливних ефектів, наведемо простий приклад. Нехай у космосі поблизу Землі розташовані дві однакові маленькі кулі масою m, зв’язані легкою вертикальною нерозтяжною ниткою завдовжки l (рис. 7.6). Позначимо відстань від нижчої кулі А до центра Землі О через r. Якщо відпустимо кулі, то вони падатимуть на Землю. Чи буде при цьому натягнута нитка?

Рис. 7.6. Приклад проявлення припливних ефектів: через неоднорідність гравітаційного поля нитка, що зв’язує кульки, натягується

Проте, як ми вже бачили, припливні ефекти можуть бути й досить суттєвими. На Землі ці ефекти зумовлені неоднорідними полями тяжіння Місяця та Сонця. Хоч маса Сонця у 27 млн разів перебільшує масу Місяця, припливні ефекти від Місяця більші, бо він розташований значно ближче до нас. Так само, як у розглянутому вище прикладі поле тяжіння Землі розтягувало нитку, поле тяжіння Місяця намагається «розтягнути» водну оболонку Землі. Утворюються два «припливні горби» — приблизно під Місяцем і на протилежному боці Землі. Через добове обертання Землі ці горби біжать поверхнею океану, спричиняючи протягом доби приблизно два піднімання та два опускання поверхні води (рис. 7.7). «Припливні хвилі», хоча й менш помітні для нас, виникають і в атмосфері, і в земній корі.

Рис. 7.7. Схематичне зображення «припливних хвиль» на поверхні океану (М — Місяць). Показаний стрілками напрям руху цих хвиль протилежний до напряму добового обертання Землі, через інертність водяних мас хвилі дещо відстають від руху Місяця відносно Землі

4. Космічні швидкості

Ви народилися в час, коли космічні польоти сприймаються майже як буденна справа. Проте ваші бабусі та дідусі, безумовно, пам’ятають, яке захоплення викликали в усьому світі перші космічні польоти. Адже тисячоліттями «небо» над нами здавалося абсолютно недосяжним.

Про можливість подолання земного тяжіння писав ще І. Ньютон. Він розглядав рух снаряда, який випускають у горизонтальному напрямі (рис. 7.8). Що більша швидкість снаряда, то більша дальність його польоту та помітнішою є кривизна поверхні Землі. За достатньо великої швидкості та відсутності опору повітря снаряд рухатиметься над поверхнею Землі, не наближаючись до неї. Таке «падіння» на Землю (тобто рух коловою траєкторією) триватиме необмежений час. Отже, снаряд стане супутником Землі.

Рис. 7.8. Рисунок з праці І. Ньютона

Рис. 7.9. Рух супутника Землі

Навколо фізики

Якби Земля була гладенькою кулею, вкритою океаном, то припливи були б не дуже помітні. Їх висота ніде не перевищувала б 1 м. Проте коли припливна хвиля потрапляє на мілководдя або входить у вузьку протоку або залив, її висота значно збільшується. Найвищі на Землі припливи спостерігаються в заливі Фанді на східному узбережжі Канади. Там висота припливу сягає іноді 18 м! Двічі на добу в залив вливається, а потім уходить з нього величезна кількість води — більше, ніж загальний потік від усіх річок Землі. Найвищі ж припливи в Європі сягають «лише» 13,5 м. Вони спостерігаються біля міста Сен-Мало в Бретані (на французькому узбережжі протоки Ла-Манш).

Рис. 7.10. Перша та друга космічні швидкості

Усі подані результати можна застосувати й для розгляду руху планет навколо Сонця (зрозуміло, що тоді М позначатиме масу Сонця, відповідно зміниться й зміст радіуса орбіти).

Навколо фізики

Якщо тілу поблизу поверхні Землі надати другої космічної швидкості, то воно може подолати земне тяжіння та покинути навколоземний простір. Проте це ще не означає, що таке тіло може віддалитися від Землі на будь-яку відстань. Для цього потрібно подолати ще й тяжіння Сонця та вийти за межі Сонячної системи, що потребує більшої початкової швидкості. Відповідну початкову швидкість називають третьою космічною та позначають v_III. Розрахунки показали, що v_III = 16,7 км/с. Першим апаратом, якому вдалося покинути межі Сонячної системи, став американський «Вояджер-1», запущений ще 1977 року. Навіть цей апарат на початку своєї космічної подорожі мав швидкість, меншу від третьої космічної. Проектувальники вдалися до хитрощів: досліджуючи планети-гіганти Юпітер і Сатурн, «Вояджер-1» здійснив так звані гравітаційні маневри та застосував тяжіння цих планет для збільшення швидкості свого руху. Нині апарат летить на величезній відстані від Сонця, продовжуючи періодично передавати наукову інформацію. Про всяк випадок «Вояджер-1» несе послання позаземним цивілізаціям.

5. Вчимося розв'язувати задачі

Задача 1. Визначте прискорення вільного падіння поблизу поверхні Марса. Уважайте, що радіуси Землі та Марса дорівнюють відповідно 6370 і 3390 км, а маса Марса становить 10,7 % від маси Землі.

Задача 2. Ракета стартує під кутом 30° до горизонту, рухаючись із прискоренням а = 2g. Якого перевантаження зазнають тіла всередині ракети?

Підбиваємо підсумки

Контрольні запитання

1. Як залежить сила тяжіння між двома матеріальними точками від відстані між ними? 2. Яку природу може мати вага тіл? 3. За яких умов спостерігається невагомість? 4. Чим пояснюються припливні ефекти? 5. Яку швидкість називають першою космічною? 6. За якої початкової швидкості тіло може покинути навколоземний простір?

Вправа № 7

1. Оцініть силу тяжіння між двома космічними апаратами масами 9 і 10 т за відстані між ними 30 м.

2. Маса приладу на космічному кораблі дорівнює 5 кг. Визначте вагу цього приладу під час вертикального старту з прискоренням 40 м/с².

3. Супутник Землі перевели з однієї колової орбіти на іншу, радіус якої втричі більший. Як змінилася швидкість руху супутника?

4. Визначте масу Землі, скориставшись значенням прискорення вільного падіння біля її поверхні та вважаючи, що радіус Землі дорівнює 6400 км.

5. Після старту з поверхні Землі супутник вийшов на колову орбіту на висоті, що дорівнює 6 радіусам Землі. У скільки разів змінилася сила тяжіння, що діє на бортовий комп’ютер?

6. Супутник Землі рухається по еліптичній траєкторії, періодично проходячи на невеликій висоті над поверхнею Землі. Чи може швидкість його руху в цей момент дорівнювати: а) 3 км/с; б) 6 км/с; в) 9 км/с; г) 12 км/с?

7. Визначте першу космічну швидкість для планети, радіус якої в 1,5 разу більший за радіус Землі, а маса становить 54 % від маси Землі.

8. З яким прискоренням має рушати з місця автомобіль на горизонтальній дорозі, щоб вага водія збільшилася в 1,2 разу? Уважайте, що g = 10 м/с².