Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 5. Кінематика криволінійного руху

1. Миттєва швидкість і прискорення криволінійного руху

Рис. 5.1. Різні випадки прямолінійного руху: а — модуль швидкості збільшується; б — рух рівномірний; в — модуль швидкості зменшується

Рис. 5.2. Переміщення тіла протягом усе менших проміжків часу

Прямі 1, 2, 3, ..., на яких лежать відповідні вектори переміщень, перетинають криволінійну траєкторію руху у двох точках. Чим меншим є переміщення, тим ближчі ці точки одна до одної і тим менший кут між відповідною прямою та дотичної до траєкторії в точці А (можна вважати, що для дотичної обидві точки перетину з кривою просто зливаються). Отже, достатньо малі переміщення напрямлені вздовж дотичної до траєкторії руху. Так само напрямлена й миттєва швидкість.

• Миттєва швидкість криволінійного руху в кожній точці траєкторії напрямлена вздовж дотичної до траєкторії.

На рис. 5.3 показано напрями швидкостей руху тіла в різних точках колової траєкторії. Підтвердженням є видимий рух іскор від точильного круга (насправді це розпечені крихітки речовини, що відірвалися та рухаються практично за інерцією).

Рис. 5.3. Напрями швидкостей частинок, що рухаються по колу

Тепер ми можемо розглянути й питання про прискорення криволінійного руху.

Під час криволінійного рівномірного руху залишається незмінним тільки модуль швидкості. Що ж до напряму швидкості, то він весь час змінюється (див. рис. 5.3). Отже, змінюється й вектор швидкості. А це й означає, що прискорення криволінійного руху завжди є відмінним від нуля.

2. Рівномірний рух по колу. Лінійна та кутова швидкості

Найпростішим прикладом криволінійного руху є рівномірний рух матеріальної точки по колу. Невдовзі ми побачимо, як можна перейти від розгляду такого руху до розгляду загального випадку.

Визначимо модуль швидкості руху (його також називають лінійною швидкістю руху):

Зверніть увагу!

Криволінійний рух завжди відбувається з прискоренням.

Отже, щоб тіло рухалося криволінійною траєкторією, якась сила має надавати йому відповідного прискорення.

Рис. 5.4. Рух точки М по колу супроводжується зміною кута φ

Якщо характеризувати положення рухомої точки кутом φ, то зручно застосовувати таку фізичну величину, як кутова швидкість ω.

* Ви, мабуть, уже помітили, що й кутова швидкість, і отримані для неї співвідношення дуже нагадують про таку характеристику гармонічних коливань, як циклічна частота (ви могли дізнатися про неї під час поглибленого вивчення фізики в 9 класі). Це не випадковий збіг, між рівномірним рухом по колу та гармонічними коливаннями існує тісний зв’язок.

3. Доцентрове (нормальне) прискорення

Ми вже розуміємо, що криволінійного руху без прискорення не буває. Знайдемо напрям і модуль цього прискорення для найпростішого криволінійного руху — рівномірного руху по колу. Перш за все пояснимо походження прискорення в цьому випадку.

Рис. 5.5. Переміщення, швидкості, прискорення під час рівномірного руху тіла по колу (кут φ для наочності завищено)

На рис. 5.6 показано напрями швидкостей і прискорень частинок у різних точках колової траєкторії під час рівномірного руху. Модуль прискорення, як і модуль швидкості руху частинки, під час руху не змінюється.

Рис. 5.6. Напрями швидкостей і прискорень частинок, що рівномірно рухаються по колу (сині стрілки — швидкості, зелені — прискорення)

Але такий рух не можна вважати «криволінійним рівноприскореним». Адже вектор прискорення змінюється за напрямом. Приклад криволінійного руху з постійним прискоренням нам уже відомий — за відсутності опору повітря це політ тіла, яке кинули горизонтально або під кутом до горизонту.

Розберемося глибше

Чому ми так багато уваги приділяємо саме руху по колу? Адже криволінійні траєкторії бувають набагато складнішими (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Уявімо траєкторію криволінійного руху вагончика на американських горках

Річ у тім, що для визначення швидкості та прискорення руху будь-яку маленьку ділянку криволінійної траєкторії можна подумки замінити маленькою дугою кола. Радіус цього кола називають радіусом кривизни траєкторії в даній точці, а його центр — центром кривизни. Для колової траєкторії радіус кривизни є незмінним і збігається з радіусом кола, для інших траєкторій радіус кривизни в різних точках різний (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Радіуси кривизни в різних точках криволінійної траєкторії відрізняються (r₃ < r₁ < r₂)

Для визначення нормального прискорення під час руху криволінійною траєкторією завжди можна користуватися формулою (1), якщо r — радіус кривизни траєкторії. Нормальне прискорення за певної лінійної швидкості тим більше, чим менший радіус кривизни (тобто чим більш «крутим» є поворот).

4. Нерівномірний криволінійний рух. Тангенціальне прискорення

Під час рівномірного криволінійного руху прискорення (це нормальне прискорення) напрямлене під прямим кутом до швидкості. Воно спричиняє зміну швидкості тільки за напрямом (рис. 5.9, а). Відомо також, що під час прямолінійного руху, коли швидкість змінюється тільки за модулем, прискорення та швидкість напрямлені вздовж однієї прямої (рис. 5.9, б). У загальному ж випадку криволінійного нерівномірного руху швидкість одночасно змінюється як за напрямом, так і за модулем (рис. 5.9, в). Виникає запитання: як напрямлене прискорення такого руху?

Рис. 5.9. Рівномірний криволінійний рух (а); нерівномірний прямолінійний рух (б); нерівномірний криволінійний рух (в)

Рис. 5.10. Нерівномірний криволінійний рух: а — модуль швидкості збільшується; б — модуль швидкості зменшується

У багатьох випадках (наприклад, під час запуску точильного круга) можна вважати, що кутове прискорення є незмінним. Тоді можна показати, що співвідношення між кутовими величинами аналогічні співвідношенням між кінематичними характеристиками прямолінійного рівноприскореного руху (див. таблицю).

Аналогії між прямолінійним рухом і рухом по колу

Прямолінійний рух		Рух по колу
Координата	х	Кут	φ
Проекція переміщення (зміна координати)	sx = Δх	«Кутове переміщення» (зміна кута)	Δφ
Проекція швидкості	vx	Кутова швидкість	ω
Проекція прискорення	ах	Кутове прискорення	β

Підбиваємо підсумки

Контрольні запитання

1. Як напрямлена миттєва швидкість криволінійного руху? 2. Поясніть, чому криволінійний рух завжди відбувається з прискоренням. 3. Як пов’язані кутова та лінійна швидкості руху по колу? 4. Для якого руху тангенціальне прискорення відсутнє? 5. Поясніть фізичний зміст кутового прискорення.

Вправа № 5

1. Визначте період, обертову частоту та кутову швидкість руху кінця секундної стрілки годинника.

2. Діаметр циркової арени становить 13 м. Цирковий поні біжить навкруги арени зі швидкістю 5 м/с. Визначте період і обертову частоту його руху.

3. Діаметр циркової арени становить 13 м. Дресирований собака оббігає арену за 10 с. Визначте кутову швидкість руху та доцентрове прискорення собаки.

4. Тіло, що перебувало в спокої, починає рухатися по колу з постійним кутовим прискоренням 0,1 рад/с². Через який час тіло вперше повернеться в початкову точку? Яку кутову швидкість воно матиме в цей момент?

5. Тіло рівномірно рухається траєкторією, показаною на рис. 5.8. У яких точках траєкторії його прискорення найбільше за модулем? найменше?

6. Маленька кулька здійснює коливання на нитці. Як напрямлене прискорення кульки в нижній точці А траєкторії? у верхній точці В? у точці, що розташована приблизно посередині дуги АВ?

7. Велосипед рухається прямолінійно рівномірно зі швидкістю 5 м/с. Визначте модулі й напрями прискорень верхньої та нижньої точок колеса. Радіус колеса дорівнює 0,25 м.

Експериментальне завдання

Установіть велосипед так, щоб його переднє колесо не торкалося опори. Прикріпіть легку мітку до однієї зі спиць і розкрутіть колесо. Здійсніть за допомогою мобільного телефону відеозапис подальшого руху колеса. Проаналізуйте запис та визначте: а) залежність кутової швидкості руху від часу; б) залежність кутового прискорення руху від часу.