Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 23. Рівняння стану ідеального газу. Газові закони. Реальні гази

1. Рівняння стану ідеального газу

Це і є рівняння стану ідеального газу, або рівняння Менделєєва — Клапейрона (його можна також записати у вигляді pV = vRT, де ν — кількість речовини). Як бачимо, параметри р, V, Т не є незалежними — якщо для даної маси певного газу задати значення двох із цих параметрів, то третій можна знайти з рівняння стану.

Д. І. Менделєєв (1834—1907), видатний російський учений-енциклопедист, який зробив внесок у розвиток хімії, фізики, метрології, метеорології тощо

Б. Клапейрон (1799—1864), французький фізик і інженер, автор досліджень у галузі теплових процесів і властивостей газів

Іноді зручніше надати рівнянню стану ідеального газу іншої форми. Розгляньмо процес переходу газу зі стану 1 до стану 2, під час якого кількість речовини не змінюється.

Тоді можна записати співвідношення

Оскільки праві частини обох рівнянь однакові, виконується рівняння

2. Ізотермічний процес

Це процес зміни стану певної кількості газу за незмінної температури. Під час такого процесу змінюються об’єм і тиск газу. Нам треба визначити умови, за яких процес буде ізотермічним.

Розгляньмо вертикальний циліндр із поршнем, який щільно прилягає до стінок циліндра, забезпечуючи герметичність (рис. 23.1). Переміщення поршня викликає зміну об’єму газу, а внаслідок цього — і зміну тиску. Але ті з вас, кому доводилося накачувати повітря у велосипедну шину або м’яч, знають: швидке стискання газу приводить до його помітного нагрівання. Щоб температура не змінювалася, процес має бути достатньо повільним. При цьому газ має контактувати з достатньо великим тілом, яке має незмінну температуру (наприклад, з повітрям у класі).

Рис. 23.1. Повільне стискання газу відбувається за незмінної температури. При цьому збільшується концентрація молекул і кількість їх зіткнень з поршнем і стінками, які відбуваються щосекунди

Скориставшись рівнянням Клапейрона за умови Т = const, отримаємо

p₁V₁ = p₂V₂, або pV = const.

Отже, під час ізотермічного процесу добуток тиску газу на об’єм є незмінним. Цю закономірність називають законом Бойля — Маріотта на честь дослідників, які встановили його експериментально у XVII столітті.

З точки зору МКТ ця закономірність має просте пояснення. Адже якщо, наприклад, ізотермічно зменшити об’єм газу вдвічі, то від одного удару молекули поршень отримуватиме в середньому такий самий імпульс, але загальна кількість ударів протягом того самого часу подвоїться через подвоєння концентрації молекул. Отже, тиск газу обернено пропорційний його об’єму.

У подальшому нам знадобиться будувати графіки газових процесів у різних системах координат. На рис. 23.2 наведено графіки ізотермічного процесу (їх коротко називають ізотермами).

Рис. 23.2. Ізотерми в різних системах координат. Ізотерми відповідають двом різним температурам (Т₂ > Т₁)

3. Ізобарний процес

Це процес зміни стану певної кількості газу за незмінного тиску. Під час такого процесу змінюються температура та об’єм газу. Здійснити такий процес можна знов-таки за допомогою вертикального циліндра з поршнем. Потрібно тільки, щоб поршень рухався практично без тертя. Тоді тиск у циліндрі буде незмінним, його значення залежить від ваги та площі поршня, а також від зовнішнього (атмосферного) тиску.

Скориставшись рівнянням Клапейрона за умови р = const, отримаємо

На рис. 23.3 наведено графіки ізобарного процесу (ізобари).

Рис. 23.3. Ізобари в різних системах координат. Ізобари відповідають двом різним значенням тиску (р₂ > р₁)

Який вигляд має рівняння стану реального газу, можна дізнатися на електронному освітньому ресурсі за посиланням.

4. Ізохорний процес

Це процес зміни стану певної кількості газу за незмінного об’єму. Під час такого процесу змінюються температура та тиск газу. Здійснити такий процес зовсім легко — треба змінювати температуру газу в герметично закритому балоні. Очевидно, що нагрівання спричинятиме підвищення тиску, а охолодження — його зменшення.

Скориставшись рівнянням Клапейрона за умови V = const, отримаємо

На рис. 23.4 наведено графіки ізохорного процесу (ізохори).

Рис. 23.4. Ізохори в різних системах координат. Ізохори відповідають двом різним значенням об’єму (V₂ > V₁)

5. Вчимося розв'язувати задачі

Задача 1. Температура атмосфери Венери дорівнює 467 °С, атмосферний тиск біля поверхні — 9,3 МПа. Визначте густину атмосфери поблизу поверхні Венери. Уважайте, що атмосфера складається тільки з вуглекислого газу (СО₂), який можна вважати ідеальним газом.

Задача 2. Під час ізотермічного розширення об’єм газу збільшився на 12 л, а тиск зменшився на 40 %. Визначте початковий об’єм газу.

Розв’язання. Якщо початкові об’єм і тиск газу дорівнювали відповідно V₀ і р₀, то кінцеві становили V₀ + ΔV і 0,6р₀, де ΔV = 12 л. Скористаємося законом Бойля — Маріотта: р₀V₀ = 0,6p₀ • (V₀ + ΔV). Звідси отримуємо V₀ = 1,5ΔV = 18 л.

Відповідь: V₀ = 18 л.

Приклад розв’язування графічної задачі на газові процеси наведено на електронному освітньому ресурсі за посиланням.

Підбиваємо підсумки

З рівняння Клапейрона в окремих випадках випливають рівняння, що описують різні ізопроцеси. За низьких температур і великих тисків середні відстані між молекулами зменшуються. Застосування рівняння Ван-дер-Ваальса (рівняння стану реального газу) є одним із способів урахувати розміри молекул та міжмолекулярні взаємодії, якими за таких умов уже не можна нехтувати.

Контрольні запитання

1. Що таке рівняння стану речовини? 2. За яких умов можна застосовувати рівняння Клапейрона? 3. Які ізопроцеси ви знаєте та які газові закони їх описують? 4. Запишіть рівняння Ван-дер-Ваальса. 5. У яких випадках доцільно застосовувати рівняння стану реального, а не ідеального газу?

Вправа № 23

1. Балон ємністю 40 л витримує тиск газу до 5 МПа. Визначте максимально можливу масу метану (СН₄) в цьому балоні за температури 27 °С.

2. Газ зберігають у сталевому балоні. Чи герметично закритий цей балон, якщо після збільшення температури від 7 до 47 °С тиск газу збільшився на 10 %?

3. Об’єм газу зменшили в 1,8 разу, внаслідок цього абсолютна температура газу збільшилася на 25 %, а тиск — на 200 кПа. Визначте початковий тиск газу.

4. Один моль водню стиснули за температури 0 °С до об’єму 0,224 л. Знайдіть тиск водню: а) розглядаючи його як ідеальний газ; б) відповідно до рівняння Ван-дер-Ваальса та значень сталих, наведених на електронному освітньому ресурсі за посиланням

5. Повітряна бульбашка спливає в озері. Радіус бульбашки на глибині 70 м становить 1 мм. Яким стане радіус бульбашки поблизу поверхні води, якщо температуру води можна вважати однаковою на всіх глибинах?

6. На рис. 1 наведено графіки двох циклічних процесів з ідеальним газом. Побудуйте графіки цих процесів у двох інших системах координат.

Рис. 1

7. На рис. 2 наведено графік циклічного процесу з ідеальним газом. Визначте, які точки графіка відповідають станам з найбільшим і найменшим тиском газу.

Рис. 2

8. Оцініть розміри молекули водню, скориставшись константами Ван-дер-Ваальса для водню, наведеними на електронному освітньому ресурсі (див. за посиланням).

9. У балон ємністю 5 л за температури 0 °С налили воду масою 1,1 г. Після цього балон герметично закрили та нагріли до 90 °С. Визначте тиск усередині балона, якщо вся вода перетворилася на пару.

Фізика і техніка в Україні

Науково-технологічний комплекс «Інститут монокристалів» НАН України (Харків)

Інститут монокристалів НАН України має більше ніж піввікову історію та є одним із визнаних лідерів у створенні нових кристалічних матеріалів для оптики, лазерної техніки, електроніки, детектування випромінювань. Фахівці інституту не тільки здійснюють фундаментальні дослідження структури та властивостей кристалів, тонких плівок, наноматеріалів, а й розробляють високотехнологічне обладнання для виготовлення кристалів (діелектриків, напівпровідників, сегнетоелектриків) з унікальними властивостями. Розробки Інституту широко відомі у світі, про що свідчить розширення зовнішньоекономічних зв’язків на базі створених високих технологій. Характерним для Інституту є завершений цикл розробок: від ідей і досліджень до нових матеріалів і їх упровадження у виробництво.