§ 21. Основне рівняння МКТ ідеального газу

1. Що таке ідеальний газ

Молекулярно-кінетичну теорію було створено в XIX столітті, вона стала дуже успішною теорією. Висновки МКТ (тепер науковці віддають перевагу таким назвам, як «статистична фізика» та «фізична кінетика») було надійно підтверджено експериментами. Проте перш ніж далі розбиратися з цією теорією, треба зрозуміти, задля чого її розроблено. Яких результатів від неї очікували?

МКТ вивчає макроскопічні системи, що містять величезну кількість окремих частинок. Як описати стан такої системи? Можна спробувати задати мікроскопічні параметри: маси частинок, їх координати та швидкості руху, характеристики їх взаємодії... Саме так описують стан систем (наприклад, планет Сонячної системи) у механіці. Проте очевидно, що за величезної кількості частинок у системі такий опис уже неможливий.

Є й інший спосіб описати стан макроскопічного тіла — задати так звані макроскопічні параметри, які на перший погляд не пов’язані з мікроскопічними. Давайте поміркуємо: якщо, наприклад, ми маємо кисень у балоні, то які його характеристики можна виміряти, не вдаючись до вивчення окремих молекул? Це маса газу, його об’єм (тобто ємність балона), температура та тиск газу. У більш складних випадках, коли маємо суміш різних газів (наприклад, повітря), додається ще вміст кожної зі складових суміші.

• Головна задача МКТ — знайти зв’язок між макроскопічними та мікроскопічними параметрами, що описують систему.

Якщо це вдається зробити для певної речовини, то відкривається шлях до отримання рівняння стану цієї речовини. Рівняння стану пов’язує між собою різні макроскопічні параметри речовини. Для жодної реальної речовини не можна вивести точного рівняння стану теоретично. Це можна зробити для певної моделі речовини або підібрати рівняння, яке приблизно описуватиме експериментальні результати. Навіть для моделей реальних речовин рівняння стану можуть бути дуже складними.

Проте існує найпростіша модель речовини, для якої ми зможемо більш-менш акуратно вивести рівняння стану. Ця модель — ідеальний газ.

• Ідеальним газ — це модель реального газу, в якій нехтують розмірами молекул (атомів) і взаємодією між ними.

Така модель дуже добре описує поведінку реального газу, якщо він є достатньо розрідженим, тобто середні відстані між молекулами набагато більші за розміри молекул. Ми вже знаємо, що на таких відстанях нейтральні молекули (атоми) практично не взаємодіють між собою. Отже, залишається тільки взаємодія під час зіткнень, тобто майже весь час молекула не зазнає дії інших молекул. Модель ідеального газу чудово «працює», зокрема, для повітря навколо нас, оскільки середні відстані між молекулами в повітрі за нормальних умов приблизно в 10 разів перевищують розміри самих молекул.

2. Вивчаємо характеристики хаотичного руху молекул

• Швидкість молекули змінюється внаслідок кожного зіткнення, тобто дуже часто. А от середня квадратична швидкість є сталою, якщо не змінюються макроскопічні параметри газу.

3. Основне рівняння МКТ ідеального газу

Спробуємо тепер виразити такий макроскопічний параметр газу, як тиск, через мікроскопічні параметри. Будемо вважати відомими такі параметри:

Навколо фізики

Рис. 21.1. Випадкові відхилення сили тиску газу від середнього значення

Зверніть увагу!

4. Вчимося розв'язувати задачі

Задача. Визначте середню квадратичну швидкість руху молекул у повітрі за нормальних умов (температури 0 °С і тиску 101 кПа). Густина повітря за нормальних умов дорівнює 1,29 кг/м³.

Підбиваємо підсумки

Головна задача МКТ — знайти зв’язок між макроскопічними та мікроскопічними параметрами, що описують систему. Найпростіше зробити це для ідеального газу — моделі газу, в якій нехтують розмірами молекул і взаємодією між ними (така модель добре описує розріджені гази). Основне рівняння МКТ ідеального газу дозволяє виразити тиск цього газу через середній квадрат швидкості хаотичного руху або через середню кінетичну енергію поступального руху молекул газу:

Контрольні запитання

1. Що таке ідеальний газ? 2. Що можна сказати про середню швидкість руху молекул газу в балоні відносно стінок цього балона? 3. Від чого залежить імпульс, який молекула передає стінці під час зіткнення? 4. Запишіть основне рівняння МКТ газів. 5. Як залежить тиск одноатомного газу від середньої кінетичної енергії його молекул?

Вправа № 21

1. Середня квадратична швидкість руху молекул газу в герметично закритому балоні збільшилася на 20 %. На скільки відсотків змінився тиск газу?

2. Визначте тиск газу, якщо його густина дорівнює 0,6 кг/м³, а середня квадратична швидкість руху його молекул становить 400 м/с.

3. Визначте тиск кисню, якщо концентрація його молекул дорівнює 3 • 10²⁵ м^-3, а середня квадратична швидкість руху його молекул становить 420 м/с.

4. Тиск газу дорівнює 80 кПа, а концентрація його молекул — 2 • 10²⁵ м^-3. Визначте середню кінетичну енергію поступального руху молекул газу.

5. На терезах зрівноважено два однакових закритих балони: перший із киснем, а другий з азотом. Тиск газів однаковий. Порівняйте середні квадратичні швидкості руху молекул кисню та азоту.

6. Доведіть, що з теореми Піфагора випливає співвідношення v² = v_х² + v_у² + v_z².

Підказ. Вектор швидкості можна записати як суму двох векторів, один із яких належить площині хОу, а другий — напрямлений уздовж осі Οz.