Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 19. Імпульс і енергія в СТВ. Релятивістська динаміка

1. Імпульс і маса тіла в СТВ

Ми вже знаємо, як змінюються координати подій (у просторі та часі, які фактично об’єднуються в СТВ) унаслідок переходу в іншу інерціальну систему відліку. Інакше кажучи, ми познайомилися з кінематикою в рамках СТВ. Тепер розберемося, чи змінюються в СТВ закони динаміки порівняно зі звичними законами механіки Ньютона. Ідеться перш за все про другий закон Ньютона: адже справедливість першого закону динаміки не викликає сумніву.

Насправді щось має заважати швидкості v руху тіла зрівнятися зі швидкістю с світла. Під час будь-якого розгону v може тільки наближатися до с (рис. 19.1).

Рис. 19.1. Зміна швидкості руху тіла з часом під дією постійної сили: згідно з класичною механікою (синя лінія) та відповідно до СТВ і експериментальних даних (червона лінія)

2. Зв'язок маси та енергії

У СТВ змінюється й вираз для енергії тіла. З точки зору механіки Ньютона рухоме тіло має кінетичну енергію, а енергія нерухомого тіла (яке ні з чим не взаємодіє) дорівнює нулю.

W = γmс².

Згідно з формулою (2), навіть коли швидкість руху тіла прямує до нуля, енергія цього тіла зменшується не до нуля, а до значення W₀ = mс². Отже, навіть нерухома частинка має енергію! Її називають енергією спокою.

• Кожне тіло має енергію просто внаслідок свого існування.

Виявляється, між масою та енергією існує тісний зв’язок. Не тільки кожна частинка має певну енергію, а й електричне поле навколо зарядженого тіла або магнітне поле струму мають певну масу.

Наскільки велика енергія спокою? Виявляється, вона є гігантською. Навіть якщо взяти крихітну крапельку води масою 1 мг, то її енергія спокою становить 90 млрд джоулів! Щоб отримати таку енергію, треба спалити близько 2 т бензину.

Чому ж так довго ніхто навіть не підозрював про існування такої енергії? Ця енергія зазвичай лишається прихованою, ми ж помічаємо тільки перетворення енергії (часто говорять про вивільнення енергії). Навіть під час атомного вибуху вивільняється тільки близько 0,1 % енергії спокою. Що ж тоді казати про інші процеси...

За малої швидкості руху цей вираз можна спростити:

• Повна енергія тіла та його імпульс залежать від швидкості руху тіла. Якщо виключити з відповідних формул швидкість, отримаємо вираз енергії через імпульс тіла (цей вираз є корисним для розгляду багатьох питань):

3. Вчимося розв'язувати задачі

Задача 1. За якої швидкості руху тіла його кінетична енергія становить чверть від енергії спокою цього тіла?

Задача 2. Постійна сила протягом часу t надала нерухомому тілу масою m релятивістської скорості v. Визначте модуль F цієї сили.

Розв’язання. Рух тіла під дією постійної сили за великих швидкостей не є рівноприскореним. Тому краще скористатися зв’язком між силою та зміною імпульсу тіла. Для прямолінійного руху можна записати

Підбиваємо підсумки

Контрольні запитання

1. Який вигляд має залежність імпульсу релятивістської частинки від швидкості її руху? 2. Яке рівняння пов’язує імпульс тіла та силу, що діє на це тіло? 3. Що таке енергія спокою тіла? 4. Запишіть формулу для кінетичної енергії тіла, що рухається з релятивістською швидкістю.

Вправа № 19

1. Визначте імпульс частинки масою 1 г, що рухається зі швидкістю 250 000 км/с.

2. Визначте енергію спокою води в пляшці ємністю 0,5 л. Виразіть відповідь у джоулях і кіловат-годинах. Густина води дорівнює 1000 кг/м³.

3. Тіло масою 50 г рухається зі швидкістю 0,8с. Визначте його кінетичну енергію.

4. За який час сила 1 Н надасть нерухомому тілу масою 1 г швидкості 240 000 км/с?

5. Виведіть самостійно з наведених у тексті параграфа формул (1) і (2) вираз енергії тіла через його масу m та імпульс р, тобто формулу (3).

Енциклопедична сторінка

Ви вже знаєте, що спеціальна теорія відносності — це система сучасних уявлень щодо простору та часу. Ці уявлення на перший погляд суперечать нашим звичним уявленням, проте докладний аналіз показує, що ніяких протиріч тут немає. Просто за малих швидкостей усі «фантастичні» ефекти СТВ переходять у «звичайні» закономірності класичної фізики. І все ж таки ця теорія не перестає дивувати.

Невдовзі після створення СТВ нею зацікавився видатний німецький математик Г. Мінковський (він, до речі, свого часу викладав математику самому А. Ейнштейну). Цей учений показав, що перетворення Лоренца мають певний геометричний зміст. Проілюструємо це, розглядаючи тільки перетворення величин х, t (тобто однієї просторової координати та часу).

Порівняємо формули перетворень Лоренца з формулами перетворень декартових координат точки М на площині внаслідок повороту системи координат навколо осі, що проходить через початок координат (див. рисунок).

Як бачимо, ці формули задають лінійне перетворення, як і перетворення Лоренца. Координати змінюються, проте є й інваріантна величина (така, що не змінюється внаслідок перетворень). Очевидно, такою величиною в евклідовому просторі є відстань точки до початку координат (або, наприклад, квадрат цієї відстані). Інакше кажучи, інваріантною є сума квадратів обох координат точки. Ви можете скористатися формулами перетворень, щоб перевірити співвідношення х² + у² = х'² + у'².

Уявімо тепер, що точка на площині відповідає певній події, а поворот декартових осей координат — переходу з однієї інерціальної системи координат в іншу. За такого підходу зміна просторової координати х та часу t є природною. Але тоді виявляється, що ці величини є «рівноправними», як і декартові координати точки. Виходить, що треба розглядати не «окремі» просторові координати та час, а «об’єднаний» простір-час. Отже, насправді ми живемо не в тривимірному світі, а в чотиривимірному. Координати кожної точки (події) в такому світі — це, наприклад, х, у, z, ct (ми помножили час на швидкість світла, щоб усі координати мали однакову розмірність).

Але ж і чотиривимірний простір-час має характеризуватися певними інваріантними величинами. Виявляється, чотиривимірний простір-час у геометрії Мінковського є псевдоевклідовим. Це означає, що інваріантною є не сума квадратів координат, а різниця цих квадратів, тобто c²t² - х² (у загальному випадку це буде c²t² - х² - у² - z²). Скориставшись перетвореннями Лоренца, переконайтеся самі в інваріантності наведеної величини. Саме вона задає в СТВ «відстань» події від початку відліку простору-часу.

Цікаво, що «відстань» між двома подіями в просторі-часі дорівнює нулю, якщо просторова відстань Δl між цими подіями та проміжок часу Δt між ними пов’язані співвідношенням Δl = с • Δt. Отже, чотиривимірна «відстань» між такими подіями, як випромінювання світла у вакуумі та його поглинання, дорівнює нулю! Якщо дозволити світлу поширюватися тільки вздовж осі Ох, то відстань між усіма точками на червоних штрихових лініях (див. рисунок) і початком координат дорівнюватиме нулю.

Усі ці міркування можуть здатися занадто абстрактними та складними. Проте сам Ейнштейн дуже високо оцінив внесок Мінковського в розвиток уявлень щодо простору-часу. Коли через 10 років після СТВ Ейнштейн розробив загальну теорію відносності (теорію тяжіння), то в цій теорії тяжіння розглядалося саме як викривлення чотиривимірного простору-часу (тобто перехід від евклідового простору-часу до неевклідового).

Якими б складними та незрозумілими не здавалися комусь обидві ці теорії, вони нині є практично незаперечними. Спеціальна теорія відносності стала інженерною наукою, без неї неможливо було б проектувати сучасні прискорювачі частинок, у тому числі й знаменитий великий адронний колайдер. Без загальної теорії відносності неможливо було б пояснити давно відомі особливості руху Меркурія навколо Сонця, ефекти гравітаційного червоного зміщення для випромінювання, існування у Всесвіті чорних дір і виникнення гравітаційного випромінювання. Це випромінювання (гравітаційні хвилі), передбачене Ейнштейном століття тому, тільки нещодавно вдалося нарешті зареєструвати.

Отже, чотиривимірний простір-час описує справжню геометрію нашого світу.

ОРІЄНТОВНІ ТЕМИ ПРОЕКТІВ

• 1. Комп’ютерне моделювання руху релятивістської частинки під дією постійної сили.
• 2. Аналіз парадоксів спеціальної теорії відносності.
• 3. Чи правильно говорити про «перетворення маси в енергію»?
• 4. Теоретичне дослідження річної аберації світла зір.
• 5.Чи завжди світло у вакуумі поширюється прямолінійно?
• 6. Переваги колайдерів перед іншими прискорювачами частинок.

ТЕМИ РЕФЕРАТІВ І ПОВІДОМЛЕНЬ

• 1. Історія вимірювань швидкості світла.
• 2. Досліди Майкельсона з вимірювання швидкості світла.
• 3. Чому перетворення Лоренца з’явилися раніше за СТВ?
• 4. Історія наукових помилок: про «відкриття» рухів з надсвітловими швидкостями.
• 5. Енергія спокою та перетворення випромінювання — речовина.
• 6. Чорні діри в сучасній картині Всесвіту.
• 7. Стівен Хокінг: воля до життя та внесок у науку.

На електронному освітньому ресурсі «Інтерактивне навчання» ви знайдете не тільки корисні поради, що допоможуть вам у роботі над проектом, рефератом і в проведенні експерименту, а й цікаві додаткові відомості про спеціальну теорію відносності.