Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

Розділ 2. Елементи спеціальної теорії відносності

§ 18. Постулати спеціальної теорії відносності, їх наслідки

1. Чому виникла потреба в новій теорії. Постулати теорії відносності

Кожна нова фізична теорія виникала для описання якогось кола явищ. Теорія мала пояснити вже відомі експериментальні результати та передбачити якісь нові. Створення спеціальної теорії відносності було закономірним наслідком попереднього розвитку фізичних уявлень про світ. Проте ця теорія не стала просто «ще одним» розділом теоретичної фізики. Можна сказати, що вона пронизує всю фізику. Адже ця теорія — система уявлень про час і простір, а всі події відбуваються в часі та просторі.

Річ у тім, що в системі фізичних уявлень було виявлено певні протиріччя. Наведемо лише найбільш очевидні з них. Ви знаєте, що швидкість руху тіла відносно двох різних інерціальних систем відліку обов’язково є різною, так само є різною й швидкість механічної хвилі. А от із теорії Дж. Максвелла випливало, що швидкість електромагнітної хвилі (зокрема світла) у вакуумі завжди має бути с ≈ 3 • 10⁸ м/с. Поставало питання: в якій системі відліку швидкість саме така? Теорія давала дуже дивну відповідь: у будь-якій інерціальній системі відліку!

Отже, виникло принципове протиріччя між висновками механіки Ньютона і теорії електромагнітних явищ, створеної Дж. Максвеллом. Щось було не так... Яку ж із цих теорій доведеться «відмінити»?

Американські вчені А. Майкельсон і Е. Морлі провели знаменитий дослід, який показав: орбітальний рух Землі ніяк не впливає на швидкість поширення світла у вакуумі. Це суперечило відомому класичному закону додавання швидкостей*.

* Сам А. Ейнштейн згадував, що під час створення спеціальної теорії відносності він ще не знав про результати дослідів Майкельсона і Морлі.

Видатні вчені того часу — перш за все X. Лоренц і Ж. Пуанкаре — зробили серйозні кроки до створення нової теорії, вільної від протиріч. Проте честь створення спеціальної теорії відносності, безумовно, належить А. Ейнштейну (рис. 18.1). 1905 року було опубліковано його статтю з викладенням основ цієї теорії. Ця робота та декілька інших дуже швидко зробили молодого нікому не відомого співробітника патентного бюро найвідомішим у світі фізиком.

Рис. 18.1. Альберт Ейнштейн (1879-1955) — один із творців сучасної фізики. Створив спеціальну теорію відносності, теорію тяжіння (загальну теорію відносності), теорію фотоефекту. Передбачив існування вимушеного випромінювання (на якому ґрунтується дія лазера), розвинув статистичну теорію броунівського руху, створив квантову статистику частинок із цілим спіном. Лауреат Нобелівської премії з фізики (1921), великої кількості нагород від академій практично всіх країн світу. 2005 рік був оголошений ЮНЕСКО роком фізики саме з нагоди століття відкриття спеціальної теорії відносності Альбертом Ейнштейном

Ейнштейн побудував спеціальну теорію відносності (СТВ) на основі двох постулатів (подібно до того, як свого часу Евклід побудував геометрію на основі кількох аксіом).

Перший постулат дуже нагадує принцип відносності Ґалілея (див. § 6). Проте цей постулат стосується не тільки механічних явищ, а й усіх інших. Це цілком природно: адже неможливо «відділити» механічні та електромагнітні явища. Досить згадати, що сили пружності та тертя, які розглядають у механіці, мають електромагнітну природу. Відповідно до першого постулату СТВ не існує якоїсь «головної» інерціальної системи відліку, яку можна було б назвати «абсолютно нерухомою». Рух і спокій можуть бути тільки відносними.

Другий же постулат здається спочатку дуже дивним. Він означає, що на швидкість світла** не впливає ані рух джерела, ані рух приймача світла. Від світлового сигналу не тільки неможливо втекти, неможливо навіть зменшити швидкість його наближення.

** Тут і надалі в цьому та наступному параграфах «швидкість світла» означає «швидкість світла у вакуумі».

Перший постулат СТВ

В усіх інерціальних системах відліку закони природи однакові.

Другий постулат СТВ

Швидкість поширення світла у вакуумі однакова в усіх інерціальних системах відліку.

2. Деякі наслідки з постулатів теорії відносності

З постулатів СТВ випливає, що швидкість світла у вакуумі с є максимально можливою швидкістю перенесення речовини, енергії та інформації. Більшої швидкості в природі просто не існує! Якщо формулювати точніше, то для частинок речовини й ця швидкість є недосяжною: швидкості їх руху можуть тільки наближатися до с, але не можуть зрівнятися з цією граничною швидкістю. Таку швидкість мають тільки електромагнітні хвилі у вакуумі та гравітаційні хвилі.

Навколо фізики

Уже через 5 років після створення теорії відносності російський фізик В. С. Ігнатовський (1875-1942) показав, що для побудови теорії відносності можна обійтися навіть без другого постулату Ейнштейна. Існування сигналів, швидкість яких однакова в усіх інерціальних системах відліку, є обов’язковим наслідком рівноправності всіх інерціальних систем відліку. Правда, з такої теорії не випливає, що відповідні сигнали — це саме електромагнітні хвилі у вакуумі.

Відносність одночасності. Проведемо подумки експеримент: уявімо, що повз спостерігача на платформі (з платформою пов’язана система відліку К) проїжджає з постійною швидкістю v вагон (з ним пов’язана система відліку К'), у якому перебуває інший спостерігач. Точно посередині вагона вмикають точкове джерело світла S (рис. 18.2). Нас цікавлять дві різні події: потрапляння світла на задню стінку А вагона та на його передню стінку В. Для простоти вважатимемо, що світло поширюється у вакуумі. Отже, чи будуть одночасними обидві події?

Рис. 18.2. Уявний експеримент з перевірки одночасності двох подій

Ми дійшли «дивного» висновку: в системі відліку К' обидві події одночасні (t'_A = t'_B), а в системі відліку К подія А відбувається раніше, ніж подія В (t_A < t_B). Таким чином, немає «абсолютно одночасних» подій у різних точках простору: одночасність залежить від вибору системи відліку.

Можна знайти й таку систему відліку, в якій подія В передуватиме події А: саме такою буде послідовність подій з точки зору пасажирів поїзда, що обганяє наш поїзд. Але не слід думати, що тут «можливо все» — наприклад, що м’яч може потрапити у ворота раніше, ніж футболіст завдасть удару.

А от таке вже неможливо. М’яч завжди потрапляє у ворота після удару. Якщо ви прочитаєте цей параграф до кінця, то зумієте довести (вправа 18.5), що «переставляти» в часі можна не всі пари подій. Якщо між подіями існує причинний зв’язок, то така перестановка напевно неможлива.

Відносність довжини. Більшість людей навіть не замислюються над тим, як виміряти, наприклад, довжину стрижня. Зрозуміло, що треба просто прикласти до нього лінійку та визначити, скільки поділок укладається між кінцями стрижня. Але такий простий спосіб «працює», лише коли стрижень нерухомий відносно лінійки. А як здійснити вимірювання довжини рухомого стрижня за допомогою нерухомої лінійки?

Рис. 18.3. Вимірювання довжини рухомого стрижня: l = x₂ - x₁ < l₀

Можна довести, що це стосується тільки розмірів предмета в напрямі руху; «поперечні» ж розміри не змінюються. Отже, якщо вісь рухомого стрижня напрямлена паралельно швидкості його руху, то стрижень з точки зору нерухомого спостерігача скорочується, але його товщина не змінюється.

Навколо фізики

Одна з найдивовижніших елементарних частинок — нейтрино (існують кілька типів нейтрино). Ці частинки дуже слабо взаємодіють з іншими, тому можуть долати великі відстані всередині щільної речовини. Для нейтрино земна куля набагато прозоріша, ніж чисто вимите скло для світла. Довгий час уважали, що нейтрино завжди рухаються зі швидкістю світла. Нещодавно було навіть сенсаційне повідомлення про виявлення руху нейтрино з надсвітловою швидкістю. Проте повідомлення виявилося помилковим. Нині встановлено, що швидкість руху нейтрино менша від швидкості світла у вакуумі, хоч може бути й дуже близькою до цієї граничної швидкості.

Іноді для перевірки цих висновків навіть не потрібні фантастичні швидкості руху. Одним із наслідків «сповільнення часу» є так званий «парадокс близнюків». Спочатку його обговорювали як уявний експеримент. Уявімо, що перший із двох близнюків подорожуватиме в космічному кораблі з великою швидкістю відносно Землі, а другий чекатиме на нього вдома. Тоді після повернення космічного корабля на Землю після 20-річної подорожі виявиться, що близнюк-космонавт біологічно набагато молодший за свого брата. Та й бортові годинники покажуть, що на кораблі минуло далеко не 20 років.

Зрозуміло, що такий експеримент нині не можна реалізувати. Але в 1971 році було здійснено аналогічний експеримент, у якому близнюків замінили цезієві атомні годинники з дуже високою точністю ходу. Перший годинник здійснював повітряну подорож навколо Землі, а другий — перебував увесь час в лабораторії. Після подорожі покази цих годинників відрізнялися лише на кілька десятимільйонних часток секунди. Але саме така різниця й мала бути згідно з формулами СТВ (вона набагато перевищувала можливі похибки показів годинників).

3. Перетворення Лоренца

Вище ми навели деякі важливі формули СТВ. Усі ці формули, як і багато інших, випливають з перетворень Лоренца, які пов’язують координати та час певної події в різних інерціальних системах відліку. Ці співвідношення отримав нідерландський учений X. Лоренц ще до створення СТВ, виходячи зовсім не з тих міркувань, якими керувався Ейнштейн.

Рис. 18.4. Системи відліку К і К'

Власне кажучи, останнє співвідношення ніхто довго й не записував. Однаковість плину часу в різних системах відліку здавалася абсолютно очевидною та обов’язковою. З погляду СТВ це вже не так.

У СТВ місце перетворень Ґалілея заступають перетворення Лоренца:

Виведення перетворень Лоренца див. на електронному освітньому ресурсі за посиланням.

4. Релятивістський закон додавання швидкостей

Фактично величини ν, v₁, ν₂ в цій формулі — це проекції відповідних швидкостей на вісь, напрямлену вздовж траєкторії руху. Тому залежно від напряму руху значення цих величин можуть бути додатними або від’ємними.

З формули (3) випливає, що за умови v₁ < c, v₂ < c обов’язково виконується співвідношення ν < с. Отже, наведений вище «простий» спосіб розгону не дозволить наздогнати або обігнати світло.

Якщо ж швидкість v₂ дорівнює швидкості світла, то отримуємо й ν = с. Так і має бути відповідно до другого постулату СТВ.

Формула (3) ілюструє принцип відповідності: за малих швидкостей знаменник у цій формулі практично не відрізняється від одиниці, і ми знов отримуємо класичну формулу додавання швидкостей.

А от за великих значень швидкостей відмінність від класичної формули додавання швидкостей є принциповою. Формулу (3) називають релятивістським законом додавання швидкостей. Релятивістськими (порівняйте, наприклад, з англійським relative — відносний) називають усі ефекти, що стають помітними за швидкостей руху, порівнянних зі швидкістю світла. Отже, для пояснення цих ефектів слід враховувати висновки СТВ.

Навколо фізики

Гравітаційні хвилі — це зміни гравітаційного поля, які поширюються в просторі з часом. Швидкість гравітаційних хвиль, як випливає з сучасної теорії гравітації, має дорівнювати швидкості світла у вакуумі. Такі хвилі мають випромінювати масивні тіла під час руху зі змінним прискоренням. Існування гравітаційних хвиль передбачив А. Ейнштейн у 1916 році. Проте зазвичай ці хвилі настільки слабкі, що їх не вдається реєструвати. Більш-менш помітні гравітаційні хвилі можуть виникати тільки під час космічних катастроф гігантського масштабу. Перша достовірна реєстрація гравітаційних хвиль відбулася 2015 року, цей успіх уже відзначено Нобелівською премією з фізики. Зареєстровані хвилі народилися внаслідок злиття двох чорних дір на відстані більше ніж мільярд світлових років від нас. Маса кожної з цих двох чорних дір приблизно в 30 разів перевищувала масу Сонця.

Підбиваємо підсумки

СТВ як система уявлень про простір-час побудована А. Ейнштейном на основі двох постулатів:

1. В усіх інерціальних системах відліку закони природи однакові.

2. Швидкість поширення світла у вакуумі однакова в усіх інерціальних системах відліку.

Згідно з СТВ просторові інтервали та проміжки часу між певними подіями залежать від вибору інерціальної системи відліку, в якій розглядаються ці події. Дві події можуть бути або не бути одночасними знов-таки залежно від вибору системи відліку.

Координати та час певної події в різних системах відліку пов’язані через перетворення Лоренца. Якщо швидкість відносного руху систем відліку набагато менша від швидкості світла, перетворення Лоренца переходять у перетворення Ґалілея.

Контрольні запитання

1. На основі яких двох постулатів А. Ейнштейн побудував СТО? 2. Що ви знаєте про швидкість світла у вакуумі? 3. Чи можуть якісь дві події відбуватися одночасно в будь-якій інерціальній системі відліку? 4. У чому полягає ефект «сповільнення часу»? 5. Запишіть релятивістський закон додавання швидкостей.

Вправа № 18

1. Довжина стрижня у власній системі відліку К' дорівнює 1 м. Визначте довжину стрижня в системі відліку К. Швидкість руху К' відносно К напрямлена вздовж осі стрижня та дорівнює за модулем 0,6с.

2. Ракета рухається відносно Землі зі швидкістю 0,5с. З ракети запускають снаряд у напрямі руху ракети зі швидкістю 0,5с відносно неї. Визначте швидкість руху снаряда відносно Землі.

3. Дві частинки віддаляються від спостерігача в одному напрямі зі швидкостями 0,4с і 0,9с. Визначте швидкість руху однієї частинки відносно іншої.

4. Скориставшись формулою (3), наведеною в тексті параграфа, доведіть, що швидкість поширення світла у вакуумі відносно різних інерціальних систем відліку є однаковою. Розгляньте випадки поширення світла в напрямі осі координат і в протилежному напрямі.

5. Подія В є наслідком події А. Скориставшись формулами перетворень Лоренца, доведіть, що в жодній інерціальній системі відліку подія В не може відбуватися раніше за подію А.