Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 16. Механічні коливання

1. Гармонічні коливання

З курсу фізики 7 класу ви знаєте, що коливання — це періодичні відхилення певної системи від положення рівноваги. Прикладами коливань можуть бути рух підвішеної на нитці кульки, що відхиляється від найнижчої точки О своєї траєкторії почергово в протилежних напрямах (рис. 16.1, а), або рух візка, що прикріплений пружиною до стінки (рис. 16.1, б). Навкруги нас безліч прикладів коливань. Це й рух гілки дерева, яку відхилили й відпустили, і рух дитини на гойдалці, й рух судна, що стоїть на якорі та періодично піднімається й опускається під дією морських хвиль.

Рис. 16.1. Приклади коливального руху

• Тверде тіло, що коливається під дією сили тяжіння, називають маятником. Тіло, що коливається під дією сили пружності пружини, називають пружинним маятником.

Нагадаємо про основні характеристики коливального руху.

• Амплітуда А коливань — найбільше відхилення тіла від положення рівноваги під час коливань (рис. 16.2).

• Період Т коливань — час одного повного коливання (тобто такий проміжок часу, через який рух тіла повторюється).

Рис. 16.2. Коливання кульки на пружині: О — положення рівноваги; М і N — відповідно верхнє та нижнє крайні положення; А — амплітуда коливань

На рис. 16.3 показано рух пружинного маятника протягом одного періоду коливань. Очевидно, що протягом одного повного коливання тіло долає шлях 4А.

Рис. 16.3. Рух тіла протягом періоду коливань: 1 — перша чверть періоду; 2 — друга тощо

• Частота v коливань — фізична величина, що чисельно дорівнює кількості коливань протягом одиниці часу:

Як ви скоро переконаєтеся, коливання багатьох реальних систем відбуваються за одним і тим самим математичним законом. За таким самим законом змінюється й координата х точки М, що рівномірно рухається по колу радіусом А в площині хОу (рис. 16.4).

Рис. 16.4. Гармонічні коливання та їх зв’язок із рівномірним рухом по колу

Кут φ між радіусом ОМ і віссю Ох під час рівномірного руху матеріальної точки змінюється лінійно: φ = φ₀ + ωt. Тут φ₀ — значення кута φ у початковий момент часу t = 0, а ω — кутова швидкість руху. У довільний момент часу координата точки М

х = Acosφ = Acos(φ₀ + ωt). (1)

а_х = -ω²х. (2)

Максимальне відхилення тіла від початку координат дорівнює А, тобто амплітуда гармонічних коливань дорівнює А. Величину φ = φ₀ + ωt називають фазою коливань, а φ₀ — початковою фазою. Величину ω для гармонічних коливань називають циклічною частотою.

Очевидно, стан коливальної системи в будь-який момент часу визначається значенням фази коливань. Система вперше повертається в початковий стан, коли фаза збільшується на 2π рад. Це відбувається через час, що дорівнює періоду Т. Звідси отримуємо φ₀+ ωt = φ₀+ 2π, або

Значення циклічної частоти ω гармонічних коливань визначається коефіцієнтом у рівнянні (2). А от значення амплітуди та початкової фази коливань залежать від початкових умов: наприклад, від моменту та сили початкового поштовху, що викликав коливання.

Зверніть увагу!

Справедливе й зворотне твердження: рух, для якого виконується співвідношення (2), обов’язково відбувається за формулою (1), тобто такий рух — це гармонічні коливання. Тому співвідношення (2) часто називають, як і формулу (1), рівнянням гармонічних коливань. Його можна також написати у вигляді

2. Умови виникнення вільних коливань. Найпростіші коливальні системи

Вільними називають коливання, що відбуваються під дією внутрішніх сил у коливальній системі. Вільні коливання починаються, коли систему виведено зі стану рівноваги. Для цього системі необхідно надати певної енергії (наприклад, відхилити від положення рівноваги або підштовхнути). Унаслідок дії сил тертя ця енергія поступово перетворюється на внутрішню, а амплітуда коливань зменшується (коливання затухають). Тому вільні коливання можна вважати гармонічними лише наближено.

Щоб розібратися у фізичних умовах виникнення коливань, розглянемо простий приклад — коливання зображеного на рис. 16.1, б пружинного маятника. Якщо відвести візок від положення рівноваги праворуч і відпустити, то сила пружності з боку розтягненої пружини надасть візку прискорення, напрямленого до положення рівноваги (рис. 16.5). Під дією цієї сили візок наближатиметься до положення рівноваги, збільшуючи при цьому швидкість руху. Він не зупиниться в положенні рівноваги, а продовжить рух, хоч сила пружності стиснутої пружини тепер гальмуватиме рух (тобто знов-таки надасть візку прискорення, напрямленого до положення рівноваги).

Рис. 16.5. Рух пружинного маятника протягом першої (а) і другої (б) чвертей періоду. Червона точка відповідає положенню центра візка в стані рівноваги; під час наближення до положення рівноваги візок розганяється (а), під час віддалення — сповільнює рух (б)

Через інертність візка швидкість його руху зменшуватиметься поступово. Коли ця швидкість зменшиться до нуля (це буде через половину періоду коливань), візок зупиниться, але тільки на мить: стиснута пружина «штовхне» його назад, і почнеться рух у зворотному напрямі. Якщо тертям можна знехтувати, то відхилення візка від положення рівноваги в обидва боки однакові за модулем.

Отже, першою умовою виникнення вільних коливань після відхилення від положення рівноваги є виникнення сили, що повертає систему до положення рівноваги. Це може бути й рівнодійна кількох сил.

Зверніть увагу!

Якщо виконано обидві зазначені умови, то в системі можуть виникати вільні коливання. У переважній більшості випадків для малих коливань модуль прискорення (або кутового прискорення) пропорційний відхиленню від положення рівноваги. А це відповідає рівнянню (2).

Тепер ми можемо пояснити, чому почали саме з гармонічних коливань. Виявляється, практично в усіх системах малі коливання є гармонічними. Коливання ж пружинного маятника є гармонічними навіть за доволі великої амплітуди.

Другою умовою виникнення вільних коливань є достатньо малі сили опору рухові (сили тертя).

Коли нерухоме тіло висить на пружині, воно розтягує цю пружину. При цьому виникає сила пружності, що зрівноважує силу тяжіння. Якщо відхилити тіло від положення рівноваги, то сила пружності змінюється й тіло набуває прискорення. Рух тіла знов описується рівнянням mа_х = -kx, тільки тепер х — не повна деформація пружини, а «додаткова», тобто відхилення тіла від положення рівноваги. Отже, наявність сили тяжіння змінює лише положення рівноваги, а не характер коливань.

Важливо також, що період коливань пружинного маятника не залежить від амплітуди цих коливань. Така властивість характерна для всіх гармонічних коливань (і тільки для них).

Зверніть увагу!

Період коливань пружинного маятника не залежить від значення прискорення вільного падіння. Отже, цей період буде таким самим і на інших планетах, і в умовах невагомості. Формулу (3) застосовують під час медичних обстежень для визначення маси тіла космонавтів на космічній станції у стані невагомості. Космонавт пристібається до крісла на пружинах та після поштовху здійснює коливання. За періодом цих коливань доволі точно визначають масу тіла космонавта.

Рис. 16.7. Отримуємо рівняння руху фізичного маятника

Основне рівняння динаміки обертального руху для фізичного маятника має вигляд

де d — відстань від центра ваги тіла до осі обертання; I — момент інерції тіла відносно цієї осі.

Важливим окремим випадком є математичний маятник — матеріальна точка, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці (або на невагомому стрижні). Така система є фізичною моделлю реального маятника (наприклад, підвішеного на нитці тягарця) за таких умов:

• маса нитки набагато менша від маси тягарця;
• розміри тягарця набагато менші від довжини нитки;
• видовження нитки під дією тягарця набагато менше від довжини нитки.

Цей результат можна отримати й безпосередньо з другого закону динаміки. Як бачимо, період не залежить ані від амплітуди коливань (доки вона лишається малою), ані від маси маятника. Це полегшило застосування коливань маятника як для вимірювання часу, так і для вимірювання прискорення вільного падіння в певній місцевості.

3. Енергія коливань. Загасання вільних коливань

Рис. 16.8. Залежність від часу потенціальної та кінетичної енергій коливальної системи (уважаємо, що початковий момент часу збігається з моментом максимального відхилення від положення рівноваги). За відсутності сил тертя механічна енергія системи зберігається

Зверніть увагу!

Частота коливань W_п(t) і W_к(t) удвічі більша за частоту самих коливань (наприклад, кінетична та потенціальна енергії двічі приймають максимальні значення протягом кожного періоду коливань).

У реальних коливальних системах завжди є тертя. Тому механічна енергія системи під час вільних коливань неминуче переходить у внутрішню, амплітуда коливань зменшується та вони загасають. Загасання вважають слабким, якщо протягом одного періоду коливань система втрачає малу частку своєї механічної енергії (рис. 16.9, б). У такому випадку тертя практично не впливає на період і частоту вільних коливань. Чим більший опір рухові, тим швидше загасають коливання (рис. 16.9, в). Якщо ж опір ще збільшити, коливання взагалі не виникають (рис. 16.9, г): система дуже повільно повертається до положення рівноваги та не відхиляється від нього в протилежний бік.

Рис. 16.9. Схематичні графіки коливань математичного маятника: а — ідеалізований випадок відсутності опору рухові та втрат енергії; б — слабке загасання (маятник у повітрі); в — сильне загасання (маятник у воді); г — коливання відсутні (маятник у гліцеролі)

4. Вимушені коливання. Резонанс. Автоколивання

Щоб коливання були незатухаючими, необхідна дія зовнішніх сил. Коливання, що відбуваються під дією періодичних зовнішніх сил, називають вимушеними. Прикладами вимушених коливань є рух униз та вгору голки швацької машинки або рух гойдалки, яку періодично підштовхують (рис. 16.10).

Рис. 16.10. Приклади вимушених коливань

Амплітуда вимушених коливань не змінюється, якщо робота зовнішніх сил протягом кожного періоду компенсує втрати енергії за той же час. Якщо зовнішня сила змінюється за гармонічним законом і має циклічну частоту ω, то з часом у системі обов’язково встановляться гармонічні коливання з такою самою циклічною частотою (навіть якщо вільні коливання системи відбуваються з іншою циклічною частотою ω₀, яку називають власною частотою). А от амплітуда А вимушених коливань залежить не тільки від амплітуди зовнішньої сили, а й від співвідношення ω і ω₀. Якщо потроху змінювати ω (не змінюючи амплітуди зовнішньої сили), то амплітуда вимушених коливань буде суттєво змінюватися (рис. 16.11). Це особливо помітно для систем з малим тертям.

Рис. 16.11. Залежність амплітуди вимушених коливань від циклічної частоти зовнішньої сили (резонансні криві) у випадку: 1 — слабкого тертя; 2 — сильного тертя

• Явище різкого збільшення амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти зовнішньої сили до власної частоти коливальної системи називають резонансом.

Для систем з малим тертям максимум резонансної кривої припадає майже на значення ω = ω₀. Для систем з помітним тертям максимум дещо зміщається по частоті та стає суттєво нижчим.

Робота багатьох машин, верстатів, двигунів є джерелом помітної вібрації та періодичних зовнішніх сил, що діють на різні конструкції. У той же час мости, корпуси літаків і суден є пружними тілами, що характеризуються набором власних частот. Якщо частота якоїсь зовнішньої сили наближається до якоїсь із власних частот системи, можливий резонанс. За статистикою близько 80 % катастроф і аварій в машинобудуванні є наслідком неприпустимих резонансних коливань. Конструктори намагаються уникнути небажаного резонансу, «віддаляючи» відповідні частоти або збільшуючи загасання коливань у системі (посилюючи внутрішнє тертя).

Усім нам доводилося застосовувати явище резонансу, розгойдуючи гойдалку — ми, навіть не замислюючись, «підлаштовуємо» частоту поштовхів до частоти власних коливань гойдалки.

Існують і такі коливання, які певною мірою поєднують властивості вільних і вимушених: з вільними їх поєднує наявність певної власної частоти, яка залежить тільки від параметрів коливальної системи, а з вимушеними — відсутність загасання. Це автоколивання (відповідні системи називають автоколивальними). Зрозуміло, що й такі системи не позбавлені втрат енергії. Тому незмінність амплітуди коливань забезпечує джерело енергії. Можна сказати, що це джерело та власне коливальна система є елементами автоколивальної системи.

Навколо фізики

Широко відомі катастрофи — руйнування мостів унаслідок виникнення та підсилення небажаних коливань. 1850 року у Франції ланцюговим Анжерським мостом ішли в ногу солдати. Частота кроків виявилася близькою до частоти вільних коливань моста, виникли сильні коливання, ланцюги не витримали і міст рухнув у воду, забравши життя більше ніж двохсот людей. Гігантські коливання Такомського моста (США, 1940 рік), що теж призвели до його руйнування, виникли навіть без зовнішніх періодичних сил, під дією постійного сильного вітру.

Проте необхідні ще якісь елементи. Адже енергія має потрапляти до коливальної системи не безперервно, а певними «порціями». Уявіть, що ви дієте на гойдалку з постійною силою: очевидно, вона лише трохи відхилиться від положення рівноваги, але коливань не буде. А от якщо завдавати поштовхи певної частоти, можна викликати сильні коливання гойдалки.

Отже, має бути ще якийсь механізм, що відкриватиме та закриватиме шлях для передачі енергії від джерела до коливальної системи. Хто ж може справитися з керуванням цим механізмом краще за саму коливальну систему, яка «знає», коли саме їй потрібна чергова порція енергії? Коливальна система через зворотний зв’язок «повідомляє» про необхідність передачі такої порції.

На рис. 16.12 показано простий приклад автоколивальної системи: це вантаж на пружині з металевим вістрям, що під час максимального відхилення вантажу вниз торкається провідної рідини. Якщо замкнути електричне коло за допомогою ключа, то по витках пружини потече струм, через магнітну взаємодію витки притягнуться і пружина «висмикне» вістря з рідини. Коло розірветься, вантаж знов розтягне пружину та замкне коло — виникнуть автоколивання.

Рис. 16.12. Приклад автоколивальної системи

На рис. 16.13 наведено загальну функціональну схему автоколивальної системи (у наведеному прикладі коливальною системою є пружинний маятник, джерелом енергії — джерело струму, пружина «по сумісництву» регулює й надходження енергії до системи за допомогою вістря, що забезпечує зворотний зв’язок.

Рис. 16.13. Функціональна схема автоколивальної системи

Прикладами автоколивань можуть бути дія будь-якого годинника (механічного або електронного), процеси в регулярних гейзерах, коливання листя рослин під дією рівномірного потоку повітря (рис. 16.14).

Рис. 16.14. Приклади автоколивань

5. Вчимося розв'язувати задачі

Задача. Маятниковий годинник, який точно показував час на рівні моря, перемістили на висоту 6,4 км. Прискорився чи сповільнився хід годинника? На скільки «помиляється» тепер цей годинник протягом доби? Уважайте, що радіус Землі дорівнює 6400 км.

Якщо тіло одночасно бере участь у кількох гармонічних коливаннях, виникає питання про додавання таких коливань.

Підбиваємо підсумки

Вільні коливання відбуваються під дією внутрішніх сил у коливальній системі. Втрати енергії (наприклад, через тертя) спричиняють затухання вільних коливань. За слабкого затухання практично всі малі коливання є гармонічними, їх період не залежить від амплітуди.

Вимушені коливання відбуваються під дією періодичних зовнішніх сил, частота таких коливань дорівнює частоті зовнішньої сили. Для систем з малим тертям спостерігається резонанс — різке збільшення амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти зовнішньої сили до власної частоти коливальної системи.

Автоколивання можливі, якщо до складу системи входить джерело енергії. Такі коливання не загасають, їх частота залежить від характеристик коливальної системи.

Результатом додавання кількох гармонічних коливань з однаковою частотою є гармонічні коливання такої самої частоти, додавання кількох коливань з різними частотами дає негармонічний процес (він може бути навіть неперіодичним).

Контрольні запитання

1. Запишіть рівняння гармонічних коливань. 2. Запишіть співвідношення між циклічною частотою гармонічних коливань і періодом цих коливань. 3. Наведіть приклади вільних і вимушених коливань. 4. Як зміниться період коливань пружинного маятника, якщо збільшити його масу? жорсткість пружини? 5. Як зміниться період малих коливань математичного маятника, якщо збільшити його масу? довжину нитки? 6. Які елементи входять до автоколивальної системи? 7. За якої умови сума двох гармонічних коливань теж є гармонічним коливанням?

Вправа № 16

2. Визначте довжину математичного маятника, який здійснює 40 коливань щохвилини.

3. Тіло масою 400 г підвішене на пружині жорсткістю 90 Н/м. Його відвели від положення рівноваги на 5 см і відпустили без поштовху. Визначте максимальну швидкість руху тіла під час коливань.

4. Тіло масою 200 г коливається з амплітудою 10 см на пружині жорсткістю 45 Н/м. Визначте швидкість руху тіла на відстані 6 см від положення рівноваги.

5. Перший математичний маятник здійснив 12 коливань, а другий — 15 коливань за такий самий час. Визначте довжину кожного з маятників, якщо один із них на 36 см довший за іншого.

6. У вагоні поїзда підвішена кулька на нитці завдовжки 0,8 м. Під час руху поїзда цей маятник розгойдується від поштовхів на стиках рейок. За якої швидкості поїзда маятник розгойдується особливо сильно, якщо довжина рейок 25 м?

7. Суцільна однорідна куля радіусом 5 см підвішена на нитці завдовжки 5 см. Визначте період малих коливань кулі на нитці.

Експериментальні завдання

Прикріпіть до підвішеного горизонтально тонкого дроту кілька легких кульок на нитках різної довжини та одну значно важчу. Відведіть важку кульку від положення рівноваги та відпустіть. Спостерігайте за коливаннями решти кульок. Проведіть серію дослідів, змінюючи довжину підвісу важкої кульки. Зробіть висновок з проведених дослідів, поясніть отримані результати.