Фізика. 9 клас. Бар’яхтар

§ 29. Переміщення під час рівноприскореного прямолінійного руху. Рівняння координати

Ви, мабуть, бачили по телевізору: на дорозі сталася аварія, і фахівці вимірюють гальмівний шлях. Навіщо? Щоб визначити швидкість руху автомобіля на початку гальмування, а також прискорення в ході гальмування. Ці дані потім використовують для з'ясування причини аварії: чи то водій перевищив дозволену швидкість, чи то несправними були гальма, чи, може, з автомобілем усе гаразд і винен, наприклад, пішохід, який порушив правила дорожнього руху. Як, знаючи час гальмування й гальмівний шлях, визначити швидкість і прискорення руху тіла, ви довідаєтесь із цього параграфа.

1. Дізнаємося про геометричний зміст проекції переміщення

У 7 класі ви дізналися, що для будь-якого руху шлях чисельно дорівнює площі фігури під графіком залежності модуля швидкості руху від часу спостереження. Аналогічна ситуація і з визначенням проекції переміщення (рис. 29.1).

Рис. 29.1. Геометричний зміст переміщення: проекція переміщення чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком v_x(t), віссю часу та прямими t = t₁ і t = t₂. s_х > 0, якщо отримана фігура розташована над віссю часу (а); s_х < 0, якщо отримана фігура розташована під віссю часу (б)

Отримаємо формулу для обчислення проекції переміщення тіла за інтервал часу від t₁ = 0 до t₂ = t. Розглянемо рівноприскорений рух, за якого початкова швидкість і прискорення мають однаковий напрямок із віссю ОХ. У цьому випадку графік проекції швидкості має вигляд, поданий на рис. 29.2, а проекція переміщення чисельно дорівнює площі трапеції ОАВС:

Рис. 29.2. До виведення формули проекції переміщення

На графіку відрізок ОА відповідає проекції початкової швидкості v_0x, відрізок ВС — проекції кінцевої швидкості v_x, а відрізок ОС — інтервалу часу t. Замінивши зазначені відрізки відповідними фізичними величинами та взявши до уваги, що s_x = S_OABC, отримаємо формулу для визначення проекції переміщення:

Зазначимо, що формула (1) буде справджуватися для будь-якого рівноприскореного прямолінійного руху.

• Скориставшись формулою (1), визначте переміщення тіла, графік руху якого подано на рис. 29.1, б, за 2 с і за 4 с після початку відліку часу. Поясніть відповідь.

2. Записуємо рівняння проекції переміщення

Виключимо змінну ν_х із формули (1). Для цього згадаємо, що за рівноприскореного прямолінійного руху ν_х = ν_0х + a_xt. Підставивши вираз для v_x у формулу (1), отримаємо:

Отже, для рівноприскореного прямолінійного руху одержано рівняння проекції переміщення:

Оскільки величини v_0x і а_х не залежать від часу спостереження, залежність s_x(t) є квадратичною. Наприклад, якщо v_0x = 2 м/с, а а_х = -1 м/с², то рівняння матиме вигляд: s_x = 2t - 0,5t².

Отже, графік проекції переміщення в разі рівноприскореного прямолінійного руху — парабола (рис. 29.3), вершина якої відповідає точці розвороту:

Рис. 29.3. Графік проекції переміщення в разі рівноприскореного прямолінійного руху — парабола, яка проходить через початок координат: якщо а_х > 0, вітки параболи напрямлені вгору (а); якщо а_х < 0, вітки параболи напрямлені вниз (б)

можна одержати ще одну формулу для обчислення проекції переміщення в разі рівноприскореного прямолінійного руху:

Формулою (3) зручно користуватися, якщо в умові задачі не йдеться про час руху тіла та не потрібно його визначати.

• Сподіваємося, що вам нескладно буде вивести формулу (3) самостійно.

3. Записуємо рівняння координати

Одне з основних завдань механіки полягає у визначенні положення тіла (координат тіла) в будь-який момент часу. Ми розглядаємо прямолінійний рух, тому досить обрати лише одну вісь координат (наприклад, вісь ОХ), яку слід спрямувати вздовж руху тіла (рис. 29.4). Із рис. 29.4 бачимо, що незалежно від напрямку руху координату х тіла можна визначити за формулою:

x = x₀ + s_x,

де х₀ — початкова координата (координата тіла в момент початку спостереження); s_x — проекція переміщення.

Рис. 29.4. Вибір осі координат у випадку прямолінійного руху

Проаналізувавши останнє рівняння, доходимо висновку, що залежність є квадратичною, тому графік координати — парабола (рис. 29.5).

Рис. 29.5. У разі рівноприскореного прямолінійного руху графік залежності координати від часу — парабола, яка перетинає вісь х у точці х₀

4. Учимося розв'язувати задачі

Основні етапи розв’язування задач на рівноприскорений прямолінійний рух розглянемо на прикладах.

Підбиваємо підсумки

Для рівноприскореного прямолінійного руху тіла:

Контрольні запитання

1. За допомогою яких формул можна обчислити проекцію переміщення s_x для рівноприскореного прямолінійного руху? Виведіть ці формули. 2. Доведіть, що графіком залежності переміщення тіла від часу спостереження є парабола. Як напрямлені вітки цієї параболи? Якому моменту руху відповідає вершина параболи? 3. Запишіть рівняння координати для рівноприскореного прямолінійного руху. Назвіть фізичні величини, які пов’язує це рівняння.

Вправа № 29

1. Лижник, що рухається зі швидкістю 1 м/с, починає спускатися з гори. Визначте довжину спуску, якщо лижник проїхав його за 10 с. Вважайте, що прискорення лижника було незмінним і дорівнювало 0,5 м/с².

2. Пасажирський потяг загальмував, змінивши свою швидкість від 54 км/год до 5 м/с. Визначте відстань, яку пройшов потяг під час гальмування, якщо прискорення потяга було незмінним і дорівнювало 1 м/с².

3. Гальмо легкового автомобіля є справним, якщо за швидкості 8 м/с гальмівний шлях автомобіля дорівнює 7,2 м. Визначте час гальмування та прискорення руху автомобіля.

4. Рівняння координат двох тіл, які рухаються вздовж осі ОХ, мають вигляд: x₁ = 8 - 2t + t²; x₂ = -2 - 5t + 2t².

• 1) Для кожного тіла визначте: а) яким є його рух; б) початкову координату; в) модуль і напрямок початкової швидкості; г) прискорення руху.
• 2) Знайдіть час і координату зустрічі тіл.
• 3) Для кожного тіла запишіть рівняння v_x(t) і s_x(t), побудуйте графіки проекцій швидкості та переміщення.

5. На рисунку подано графік проекції швидкості руху для деякого тіла. Визначте шлях і переміщення тіла протягом 4 с від початку відліку часу. Запишіть рівняння координати, якщо в момент часу t = 0 тіло було в точці з координатою -20 м.

6. Два автомобілі почали рух з одного пункту в одному напрямку, причому другий автомобіль виїхав на 20 с пізніше. Обидва автомобілі рухаються рівноприскорено з прискоренням 0,4 м/с². Через який інтервал часу після початку руху першого автомобіля відстань між ними буде 240 м?

7. Ескалатор у метро піднімається зі швидкістю 2,5 м/с. Чи може людина на ескалаторі перебувати в стані спокою в системі відліку, пов’язаній із Землею? Якщо може, то за яких умов? Чи можна за цих умов рух людини вважати рухом за інерцією? Обґрунтуйте свою відповідь.