Фізика. Рівень стандарту. Повторне видання. 10 клас. Бар’яхтар

§ 7. Вільне падіння і криволінійний рух під дією незмінної сили тяжіння

«Людина — гарматне ядро» — цирковий номер із такою назвою вперше був показаний 1877 р. у Лондоні. 16-річну повітряну гімнастку помістили в дуло «гармати», здійснили постріл, і дівчина, пролетівши над головами захоплених глядачів, опустилася на страхувальну сітку. Сучасні аналогічні «гармати» — це величезні пневматичні пістолети. Як вони працюють, пропонуємо вам дізнатися самостійно, а зараз розглянемо, на які закони спираються творці подібних атракціонів.

1. Згадуємо вільне падіння

Аристотель стверджував: чим тіло важче, тим швидше воно падає на Землю. Проте ви знаєте: так буде, якщо рух приблизно однакових за розміром тіл відбуватиметься в повітрі, а от у разі відсутності повітря всі тіла — незалежно від їхньої маси, об’єму, форми — падають на Землю однаково (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Демонстрація вільного падіння тіл в трубці Ньютона

Падіння тіл у безповітряному просторі, тобто падіння лише під дією сили тяжіння, називають вільним падінням.

• Вектор прискорення вільного падіння завжди напрямлений вертикально вниз.

• Прискорення вільного падіння вперше виміряв нідерландський математик, астроном і фізик Крістіан Гюйґенс (1629-1695) у 1656 р. Поблизу поверхні Землі, тобто на невеликій (порівняно з радіусом Землі) відстані, воно є практично незмінним і приблизно дорівнює 9,8 м/с².

2. Вільне падіння яких тіл розглядатимемо

Характер реального руху тіла в полі тяжіння Землі є досить складним (рис. 7.2), і його описування виходить за межі шкільної програми. Тому приймемо низку спрощень.

Рис. 7.2. Фактори, які ускладнюють описання падіння тіл

• Систему відліку, пов’язану з точкою на поверхні Землі, вважатимемо інерціальною (про інерціальні системи ви згадаєте в § 9).

• Розглядатимемо рух тіл, що перебувають поблизу поверхні Землі. Тоді кривизною поверхні Землі та зміною прискорення вільного падіння можна знехтувати, а прискорення вільного падіння вважати незмінним.

Розв’язуючи задачі, вважатимемо, що g = 10 м/с², якщо не зазначено інше.

• Опором повітря будемо нехтувати. Це спрощення не спричинить серйозного викривлення результатів тільки тоді, коли тіла досить важкі, невеликі за розмірами, а швидкість їхнього руху досить мала. Саме такі тіла розглядатимемо далі.

• Візьміть книжку, аркуш паперу, гумку, олівець і з’ясуйте, як рух повітря впливає на їх падіння.

3. Як рухається тіло, кинуте вертикально

Спостерігаючи за рухом невеликих важких тіл, які кинуті вертикально вниз чи вертикально вгору або які падають без початкової швидкості, бачимо, що траєкторія їх руху — відрізок прямої. До того ж ці тіла рухаються з незмінним прискоренням.

Рух тіла, кинутого вертикально вгору або вниз, — це рівноприскорений прямолінійний рух із прискоренням, що дорівнює прискоренню вільного падіння:

Згадаємо формули, які описують рівноприскорений прямолінійний рух, врахуємо, що в ході описання руху тіла по вертикалі вектори швидкості, прискорення та переміщення традиційно проєктують на вісь OY, й отримаємо низку формул, якими описують вільне падіння тіл (див. таблицю).

Формули для розрахунку кінематичних характеристик вільного падіння

Задача 1. Із гелікоптера, який висить над озером на висоті 45 м, скинули невеликий важкий предмет. 1) Через який інтервал часу предмет упаде в озеро? 2) Якою буде швидкість руху предмета в момент торкання води? 3) Визначте співвідношення переміщень предмета за будь-які рівні інтервали часу Δt.

Аналіз фізичної проблеми. Виконаємо пояснювальний рисунок (рис. 1). Спрямуємо вісь ΟΥ вертикально вниз. Початок координат нехай збігається з положенням тіла в момент початку падіння. Швидкість руху тіла в цей момент дорівнює нулю.

Рис. 1

Рис. 2

Під час вільного падіння без початкової швидкості переміщення тіла за рівні послідовні інтервали часу відносяться як непарні числа:

s₁ : s₂ : s₃ : s₄ ... = 1 : 3 : 5 : 7... .

Ця властивість стосується будь-якого рівноприскореного руху без початкової швидкості. Наприклад, якщо за першу секунду тіло подолало 5 м, за другу воно подолає 3 • 5 = 15 м, за третю — 5 • 5 = 25 м, за четверту — 7 • 5 = 35 м і т. д.

4. Що падає швидше

Уявімо, що з моста в горизонтальному напрямку кинули каштан і в ту саму мить випустили з руки другий каштан. Який каштан упаде у воду швидше? Насправді обидва каштани, якщо їм нічого не завадить, упадуть у воду одночасно.

Отже, рухові тіла у вертикальному напрямку не «заважає» його рух у горизонтальному напрямку, і навпаки. Тут ми зустрілися з проявом принципу незалежності рухів, відповідно до якого будь-який складний рух можна розглядати як «суму» двох (або більше) простих рухів.

Скориставшись спеціальним пристроєм і відеокамерою мобільного телефона, можемо легко підтвердити це (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Кулька 1, яка вільно падає без початкової швидкості, і кулька 2, кинута горизонтально, весь час перебувають на однаковій висоті й на Землю падають одночасно

5. Рух тіл, кинутих горизонтально або під кутом до горизонту

1) горизонтального — рівномірного уздовж осі ОХ (оскільки g_x = 0), який описується рівняннями:

v_x = v_0x; х = х₀ + v_0xt;

• Модуль і напрямок швидкості руху тіла в довільній точці траєкторії визначаємо, скориставшись теоремою Піфагора та означенням тангенса (див. рис. 7.4):

Рис. 7.4. Додавання вертикального і горизонтального рухів тіла. Положення тіла подано через рівні інтервали часу

Таким чином, траєкторія руху тіла, якому поблизу поверхні Землі надано початкової швидкості, є параболічною (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Траєкторія руху тіла, якому надано швидкість, що напрямлена горизонтально або під кутом до горизонту, є параболічною, а її кривизна залежить від модуля і напрямку цієї швидкості

6. Рух тіла, кинутого горизонтально

Задача 2. Мотоцикліст, що рухався горизонтально гірською дорогою зі швидкістю 15 м/с, не загальмував перед поворотом, і його мотоцикл упав з висоти 3,2 м у сніговий замет. 1) Скільки часу падав мотоцикл? 2) Якою є горизонтальна дальність польоту мотоцикла? Як, на вашу думку, зміниться ця дальність у реальній ситуації? Опором повітря знехтувати.

7. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Прочитавши про рекорди швидкості польоту спортивних снарядів, учениця вирішила з’ясувати, якої швидкості вона надає футбольному м’ячу. Для цього дівчинка вдарила по м’ячу, спрямувавши його під кутом 45° до горизонту (див. рис. 7.6). М’яч упав на землю на відстані 40 м від учениці. Виконавши розрахунки, дівчинка вирішила, що вона надала м’ячу швидкості 20 м/с, а м’яч піднявся на висоту 8 м. Чи не помилилася учениця?

Рис. 7.6. За напрямком і дальністю польоту м'яча ви можете визначити, якої швидкості ви надали м'ячу під час удару або кидка

• Ознайомтеся з розв’язанням аналогічної задачі в загальному вигляді (див. нижче). Скориставшись отриманими формулами, оцініть розрахунки дівчинки, а після уроків проведіть подібний експеримент та оцініть швидкість, якої ви надаєте м’ячу.

Задача 3. Футболістка вдарила по м’ячу, надавши йому швидкості v₀, напрямленої під кутом α до горизонту. Визначте дальність польоту та найбільшу висоту підйому м’яча.

Підбиваємо підсумки

• Падіння тіл у безповітряному просторі, тобто падіння лише під дією сили тяжіння, називають вільним падінням.

Контрольні запитання

1. Який рух називають вільним падінням тіл? Яким є характер цього руху? 2. Як напрямлене прискорення вільного падіння та чому воно дорівнює? 3. Запишіть у загальному вигляді рівняння руху тіла під дією сили тяжіння. 4. Який вигляд матимуть рівняння руху, якщо тіло кинуто вертикально? горизонтально? під кутом до горизонту? 5. Якою є траєкторія руху тіла, кинутого вертикально? горизонтально? під кутом до горизонту? Наведіть приклади. 6. Як визначити модуль і напрямок швидкості руху тіла в будь-якій точці траєкторії?

Вправа № 7

Опором повітря нехтуйте. Вважайте, що g = 10 м/с².

1. Металеву кульку підняли на висоту 1,8 м над підлогою і відпустили. На якій висоті прискорення вільного падіння кульки буде найбільшим: а) на висоті 1,8 м; б) на висоті 1 м; в) у момент удару об підлогу? На якій висоті із зазначених буде найбільшою швидкість руху кульки? Визначте цю швидкість.

2. Стрілу випустили з лука вертикально вгору зі швидкістю 10 м/с. Відомо, що через 2 с вона вже падала вниз із тією самою швидкістю. Визначте максимальну висоту польоту, шлях і переміщення стріли протягом цих 2 с.

3. Струмінь води, напрямлений під кутом 60° до горизонту, сягнув висоти 15 м.

• 1) Знайдіть: а) швидкість витікання води; б) час польоту частинок струменя; в) дальність польоту частинок струменя.
• 2) Якою буде дальність струменя, якщо спрямувати його під кутом 30° до горизонту?
• 3) Чому струмінь води розширюється?

4. Із гелікоптера, який перебував на висоті 45 м і рухався зі швидкістю 10 м/с, упав невеликий важкий предмет. Через який інтервал часу предмет упаде на землю? Якою буде швидкість руху предмета в цей момент? Розв’яжіть задачу для випадків, коли гелікоптер: 1) піднімається; 2) опускається; 3) рухається горизонтально.