§ 3. Скалярні і векторні величини

До розуміння того, що для описування природи потрібно використовувати мову математики, учені дійшли давно. Власне, певні розділи математики було створено для того, щоб описувати природу стислою й доступною мовою. Так, для визначення миттєвої швидкості, роботи змінної сили, об'єму тіл неправильної форми та ін. було створено диференціальне та інтегральне числення. Для наочнішого описування фізичних процесів навчилися будувати графіки функцій, а для швидкої обробки результатів експерименту придумали методи наближених обчислень. Згадаємо скалярні та векторні величини, без яких вам не обійтися в ході вивчення курсу фізики 10 класу.

Л.Д. Ландау (1908-1968), лауреат Нобелівської премії з фізики

1. Скалярні і векторні величини

Фізичні величини, які використовують у фізиці для кількісної характеристики фізичних явищ і об’єктів, поділяються на два великі класи: скалярні величини і векторні величини.

До скалярних величин, або скалярів (від латин. scalaris — східчастий), належать величини, які визначаються тільки значенням. Наприклад, маса тіла — скалярна величина, і якщо ми говоримо, що маса тіла дорівнює двом кілограмам (m = 2 кг), то повністю визначаємо цю величину. Додати дві скалярні фізичні величини означає додати їх значення, подані в однакових одиницях. Зрозуміло, що додавати можна тільки однорідні скаляри (наприклад, не можна додавати масу до часу, а густину до роботи тощо).

Для визначення векторних величин важливо знати не тільки їх значення, але й напрямки. Вектор (від латин. vector — носій) — це напрямлений відрізок, тобто відрізок, що має і довжину, і напрямок. Довжину напрямленого відрізка називають модулем вектора. Позначають векторні величини літерами грецького та латинського алфавітів, над якими поставлено стрілки, або напівжирними літерами.

2. Як знайти проекції вектора на осі координат

Із векторами здійснювати математичні операції набагато складніше, ніж зі скалярами, тому в ході розв’язування задач від векторних фізичних величин переходять до їх проекцій на осі координат.

Знак проекції вектора залежить від напрямків вектора й осі координат. Проекція вектора на вісь координат вважається додатною, якщо від проекції початку вектора до проекції його кінця треба рухатися в напрямку осі координат; проекція вектора вважається від’ємною, якщо від проекції початку вектора до проекції кінця вектора треба рухатися проти напрямку осі координат (див. рис. 3.6).

У загальному випадку проекцію вектора визначають звичайними геометричними методами (рис. 3.7, а). На практиці часто доводиться мати справу з випадками, коли вектор паралельний осі координат або перпендикулярний до неї. Якщо вектор паралельний осі координат, а його напрямок збігається з напрямком осі, то його проекція на цю вісь додатна й дорівнює модулю вектора (рис. 3.7, б). Якщо напрямок вектора протилежний напрямку осі координат, то його проекція на цю вісь дорівнює модулю вектора, взятому з протилежним знаком (рис. 3.7, в). Якщо ж вектор перпендикулярний до осі координат, то його проекція на цю вісь дорівнює нулю (рис. 3.7, г).

Рис. 3.7. Визначення проекцій вектора на осі координат

Дуже важливою властивістю проекцій є те, що проекція суми двох векторів (рис. 3.8) або кількох векторів на координатну вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій цих векторів на дану вісь. Саме ця властивість дозволяє замінювати в рівнянні векторні величини їх проекціями — скалярними величинами і далі розв’язувати одержане рівняння звичайними алгебраїчними методами.

Підбиваємо підсумки

• Фізичні величини поділяються на скалярні і векторні.

• Додати дві скалярні величини означає додати їх значення. Додавати можна скалярні величини, подані в одних одиницях.

• Векторні величини мають значення (модуль) і напрямок.

• Суму векторів визначають за правилом паралелограма або за правилом трикутника.

Контрольні запитання

1. Які фізичні величини називають скалярними? векторними? Наведіть приклади. 2. Як знайти суму векторів? різницю векторів? добуток вектора та скаляра? 3. Як знайти проекції вектора на осі координат?

Вправа № 3

1. Чи можна додавати площу і об’єм? вектор імпульсу й енергію? вектор швидкості і вектор сили? енергію і роботу? Чому?

2. Перенесіть у зошит рис. 1. Для кожного випадку знайдіть суму та різницю двох векторів.