Физика. Уровень стандарта. 10 класс. Барьяхтар

§ 42. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле. Потенциал

В повседневной жизни мы довольно часто, особенно в сухую погоду, встречаемся с ситуацией, когда, коснувшись какого-либо тела, чувствуем неприятный удар. Как показывает опыт, таких сюрпризов можно ожидать от тел, имеющих высокий потенциал. Именно с понятием потенциала вы ознакомитесь в данном параграфе.

1. Работа по перемещению заряда в однородном электростатическом поле

Если электростатическое поле действует с некоторой силой на электрически заряженные тела, то оно способно совершить работу по перемещению этих тел.

A_1→2 = qE(x₂ - x₁), или A_1→2 = qEd

Рис. 42.1. К вычислению работы силы однородного электростатического поля

Обратите внимание! Если бы в данном случае заряд перемещался не из точки 1 в точку 2, а наоборот, то знак работы изменился бы на противоположный, то есть работа совершалась бы против сил поля.

• Какой результат был бы получен, если бы из точки 1 в точку 2 перемещался не положительный, а отрицательный заряд?

Обратите внимание!

Формула A_1→2 = qE(x₂ - x₁) будет справедлива в случаях движения заряда по любой траектории. То есть однородное электростатическое поле является потенциальным. Потенциальным является любое электростатическое поле: работа электростатических (кулоновских) сил (как и работа гравитационных сил) не зависит от формы траектории, по которой перемещается заряд, а определяется начальным и конечным положениями заряда. Если траектория движения заряда замкнута, работа сил поля равна нулю.

2. Потенциальная энергия заряженного тела в поле, созданном точечным зарядом

Заряженное тело, помещенное в электростатическое поле, как и тело, находящееся в гравитационном поле Земли, обладает потенциальной энергией. Потенциальную энергию заряда, находящегося в электрическом поле, обычно обозначают символом W_p. Согласно теореме о потенциальной энергии изменение потенциальной энергии заряда, взятое с противоположным знаком, равно работе, которую совершает электростатическое поле по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 поля:

-ΔW_p = W_p1 - W_p2 = A_1→2

Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов Q и q, расположенных на расстоянии r друг от друга, определяют по формуле:

Обратите внимание: 1) потенциальная энергия взаимодействия зарядов положительна (W_p > 0), если заряды одноименные, и отрицательна (W_p < 0), если заряды разноименные; 2) если заряды бесконечно отдалить друг от друга (r → ∞), то W_p = 0 (заряды не будут взаимодействовать).

Таким образом, потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов равна работе, которую должно совершить электростатическое поле для увеличения расстояния между этими зарядами от r до бесконечности.

3. Что называют потенциалом электростатического поля

Потенциал φ электростатического поля в данной точке — это скалярная физическая величина, которая характеризует энергетические свойства поля и равна отношению потенциальной энергии W_p электрического заряда, помещенного в данную точку поля, к значению q этого заряда:

Из формулы (*) видно: 1) если поле создано положительным точечным зарядом (Q > 0), то потенциал этого поля в любой точке является положительным (φ > 0); 2) если поле создано отрицательным точечным зарядом (Q < 0), то потенциал этого поля в любой точке является отрицательным (φ < 0). Формула (*) справедлива и для потенциала поля равномерно заряженной сферы (или шара) на расстояниях, которые больше ее радиуса или равны ему.

Если поле создано несколькими произвольно расположенными зарядами, потенциал φ поля в любой точке данного поля равен алгебраической сумме потенциалов φ₁, φ₂, ..., φ_n полей, созданных каждым зарядом:

φ = φ₁ + φ₂ + ... + φ_n

4. Как определяют разность потенциалов

Когда в электростатическом поле заряд движется из точки 1 в точку 2, это поле совершает работу, которая равна изменению потенциальной энергии заряда, взятому с противоположным знаком: A_1→2 = W_р1 - W_p2. Поскольку W_р = qφ, то A_1→2 = qφ₁ - qφ₂ = q(φ₁ - φ₂). Выражение (φ₁ - φ₂) называют разностью потенциалов, где φ₁ — значение потенциала в начальной точке траектории движения заряда, φ₂ — значение потенциала в ее конечной точке.

Разность потенциалов — скалярная физическая величина, равная отношению работы сил электростатического поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к значению этого заряда:

Единица разности потенциалов в СИ — вольт: [φ₁ - φ₂] = 1 В (V).

Разность потенциалов между двумя точками поля равна 1 В, если для перемещения между ними заряда 1 Кл электростатическое поле совершает работу 1 Дж.

Обратите внимание: в подобных случаях разность потенциалов (φ₁ - φ₂) также называют напряжением (U). Важно не путать изменение потенциала Δφ = φ₂ - φ₁ и разность потенциалов (напряжение) φ₁ - φ₂.

5. Как связаны напряженность однородного электростатического поля и разность потенциалов

Рис. 42.2. К выводу формулы связи напряженности электростатического поля и разности потенциалов

Приравняв оба выражения для работы, получим: q(φ₁ - φ₂) = qE_xd, откуда: φ₁ - φ₂ = E_xd, или

6. Какие поверхности называют эквипотенциальными

Для визуализации электростатического поля кроме силовых линий используют также эквипотенциальные поверхности.

Эквипотенциальная поверхность — это поверхность, во всех точках которой потенциал электростатического поля имеет одинаковое значение.

Для наглядности следует рассматривать не одну эквипотенциальную поверхность, а их совокупность. Однако графически изобразить совокупность поверхностей сложно, поэтому обычно изображают только линии пересечения эквипотенциальных поверхностей некоторой плоскостью (рис. 42.3).

Рис. 42.3. Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электростатических полей, созданных: a — положительным точечным зарядом; б — двумя равными по модулю положительными точечными зарядами

Эквипотенциальные поверхности тесно связаны с силовыми линиями электростатического поля. Если электрический заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности, то работа поля равна нулю, поскольку A = q(φ₁ - φ₂), а на эквипотенциальной поверхности φ₁ = φ₂.

Таким образом, силовые линии электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям (см. рис. 42.3).

Обратите внимание! Симметрия эквипотенциальных поверхностей повторяет симметрию источников поля. Так, поле точечного заряда сферически симметрично, поэтому эквипотенциальными поверхностями поля точечного заряда являются концентрические сферы; при однородном поле эквипотенциальные поверхности — это система параллельных плоскостей.

7. Учимся решать задачи

Задача. Электрон, начав движение из состояния покоя, прошел ускоряющую разность потенциалов -300 В. Какую скорость приобрел электрон? Масса электрона 9,1 • 10^-31 кг, заряд -1,6 • 10^-19 Кл.

Анализ физической проблемы. Заряд электрона — отрицательный, его начальная скорость v₀ = 0, поэтому под действием сил поля электрон будет двигаться в направлении, противоположном направлению силовых линий поля, то есть в направлении увеличения потенциала. Поле будет совершать положительную работу, в результате кинетическая энергия электрона и его скорость будут возрастать.

Подводим итоги

Контрольные вопросы

1. Как определяют работу однородного электростатического поля по перемещению заряда в этом поле? Зависит ли она от формы траектории движения заряда? 2. Чему равна потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов? 3. Что называют потенциалом электростатического поля? 4. Как рассчитывают потенциал поля точечного заряда? 5. Что такое разность потенциалов? 6. Каково соотношение между напряженностью поля и разностью потенциалов для однородного электростатического поля? 7. Какие поверхности называют эквипотенциальными? 8. Как расположены линии напряженности поля относительно эквипотенциальных поверхностей?

Упражнение № 42

1. Заряды q и 2q расположены на расстоянии R друг от друга. Как изменится потенциальная энергия взаимодействия зарядов, если увеличить в 2 раза расстояние между зарядами? если увеличить в 2 раза значение каждого заряда?

2. В однородном электрическом поле напряженностью 500 Н/Кл переместили заряд q = -40 нКл в направлении силовой линии поля на 15 см. Какую работу совершило поле? Как изменилась потенциальная энергия заряда?

3. Заряд 2 мкКл переместили из точки A, расположенной на расстоянии 10 см от точечного заряда Q = 5 мкКл, в точку В, расположенную от заряда Q на расстоянии 5 см. Какую работу совершило поле? Будет ли эта работа зависеть от того, по какой траектории перемещали заряд?

4. В электростатическом поле из точки с потенциалом 450 В в точку с потенциалом 900 В движется отрицательно заряженная частица. Поле совершает при этом работу 1,8 мкДж. Определите модуль заряда частицы.

5. Электрон, двигаясь со скоростью 3 • 10⁷ м/с, влетает в электрическое поле. Определите разность потенциалов, которую необходимо пройти электрону, чтобы скорость его движения уменьшилась до 1 • 10⁷ м/с.

Экспериментальное задание

Вы знаете, как опасно касаться провода под напряжением. Но известно много случаев, когда человек или животное погибали, всего лишь оказавшись рядом с оборванным проводом. Выполнив экспериментальное задание, вы поймете, как избежать таких ситуаций. Вам понадобятся: два изолированных толстых провода длиной 10-15 см и один такой провод длиной 20-25 см, светодиод, источник постоянного тока (40 В), две емкости — с влажным и сухим песком.

1. Зачистите концы двух коротких проводов и сделайте фигурку (см. рисунок).

2. Соедините «руки» со светодиодом, «ноги» погрузите во влажный песок.

3. Один конец длинного провода присоедините к положительному полюсу источника постоянного тока, второй конец погрузите в песок.

Включите источник тока и, наблюдая за свечением светодиода, выполните ряд экспериментов: поместите фигурку сначала ближе к месту погружения провода в песок, затем дальше; поставьте «ступни» фигурки почти вплотную друг к другу, затем увеличьте расстояние между «ступнями»; «обуйте» фигурку; погрузите «ступни» фигурки в сухой песок. Сделайте выводы.

Физика и техника в Украине

Национальный университет «Львовская политехника» — старейший университет Восточной Европы (основан в 1816 г.). За свою 200-летнюю историю университет подготовил более 250 000 специалистов, а каждый 12-й львовянин является его выпускником.

В университете сформировались научные школы по направлениям: математика, теоретическая и прикладная механика, радиотехника, электротехника, астрономия, геодезия, приборостроение, измерительная техника, наноматериалы и нанотехнологии, энерго- и ресурсосберегающие технологии, перспективные компьютерные системы и информационные технологии.