Физика. Уровень стандарта. 10 класс. Барьяхтар

§ 20. Математический и пружинный маятники. Энергия колебаний

Колебательные движения очень разнообразны. При этом существует «классика» колебательных движений — они описаны сотни лет назад, их изучением занимались Галилео Галилей (1564-1642) и Христиан Гюйгенс (1629-1695). Это колебания пружинного и математического маятников. Именно о них пойдет речь в данном параграфе.

1. Колебания пружинного маятника

Пружинный маятник — это колебательная система, представляющая собой закрепленное на пружине тело.

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника — тележки массой m, закрепленной на пружине жесткостью k. Будем считать, что силы трения, действующие в системе, пренебрежимо малы, а значит, колебания маятника незатухающие (их амплитуда с течением времени не изменяется, а полная механическая энергия системы сохраняется). При этом потенциальная энергия деформированной пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тележки, и наоборот.

Колебания пружинного маятника

Обратите внимание! В течение всего времени колебания сила упругости направлена в сторону, противоположную смещению тележки, — сила упругости все время «толкает» тележку к положению равновесия.

Итак, причины свободных колебаний пружинного маятника:

• 1) действующая на тело сила всегда направлена к положению равновесия;
• 2) колеблющееся тело инертно, поэтому оно не останавливается в положении равновесия (когда равнодействующая сил становится равной нулю), а продолжает движение в том же направлении.

2. Как вычислить период колебаний пружинного маятника

Обратите внимание! Период колебаний пружинного маятника не зависит ни от амплитуды колебаний, ни от места расположения маятника (на поверхности Земли или Луны, в космическом корабле и т. д.), — он определяется только характеристиками самой колебательной системы «тело — пружина». Если период Т колебаний тела и жесткость — пружины известны, можно найти массу m тела. Такой способ определения массы используют в состоянии невесомости, когда обычные весы не работают.

3. Что называют математическим маятником

Любое твердое тело, которое совершает или может совершать колебания относительно оси, проходящей через точку подвеса, называют физическим маятником. Примером может быть игрушка, подвешенная на нити в салоне автомобиля. Если игрушку вывести из положения равновесия, она начнет колебаться. Однако изучать такие колебания сложно: их характер определяется размерами и формой игрушки, свойствами нити и другими факторами.

Чтобы размеры тела не влияли на характер его колебаний, следует взять нить, длина которой намного больше размеров тела, а масса незначительна по сравнению с его массой. В таком случае тело можно считать материальной точкой. А чтобы во время колебаний тело все время находилось на одинаковом расстоянии от точки подвеса, нить должна быть нерастяжимой. Таким образом будет получена физическая модель — математический маятник.

Математический маятник — это физическая модель колебательной системы, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити, и гравитационного поля.

4. Колебания математического маятника

Возьмем небольшой, но достаточно тяжелый шарик и подвесим его на длинной нерастяжимой нити — такой маятник можно считать математическим. Если отклонить шарик от положения равновесия и отпустить, то в результате действия гравитационного поля Земли (силы тяжести) и силы натяжения нити шарик начнет колебаться около положения равновесия. Поскольку сопротивление воздуха пренебрежимо мало, а силы, действующие в системе, являются консервативными, полная механическая энергия шарика будет сохраняться: потенциальная энергия шарика будет превращаться в его кинетическую энергию, и наоборот.

Рис. 20.2. Колебания математического маятника — свободные, так как происходят под действием внутренних сил системы. Причины, по которым математический маятник совершает свободные колебания, те же, что и в случае колебаний пружинного маятника: 1) равнодействующая сил, приложенных к телу, всегда направлена к положению равновесия; 2) колеблющееся тело инертно

• Рассмотрите колебательное движение шарика (рис. 20.2). Объясните причины его движения. Какие происходят превращения энергии?

5. Как вычислить период колебаний математического маятника

Математический маятник, отклоненный от положения равновесия на небольшой угол (3-5°), будет совершать гармонические колебания, то есть ускорение его движения все время будет прямо пропорционально смещению и направлено в сторону, противоположную смещению: a_x = -ω²x.

где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения.

Данную формулу впервые получил в XVII в. голландский ученый Христиан Гюйгенс, поэтому ее называют формулой Гюйгенса.

Период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника, а определяется только длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где расположен маятник. Поэтому, измерив длину нити и период колебаний маятника, можно определить ускорение свободного падения в данной местности (см. лабораторную работу № 5).

6. Учимся решать задачи

Подводим итоги

• Во время свободных колебаний маятника его потенциальная и кинетическая энергии непрерывно изменяются: потенциальная энергия максимальна в точках поворота и равна нулю в момент прохождения маятником положения равновесия; кинетическая энергия в точках поворота равна нулю и достигает максимального значения в момент прохождения маятником положения равновесия.

Контрольные вопросы

1. Опишите колебания пружинного маятника. Почему тело не останавливается, когда проходит положение равновесия? 2. По какой формуле определяют период колебаний пружинного маятника? 3. Дайте определение математического маятника. 4. Опишите колебания математического маятника. По какой формуле находят период его колебаний? 5. Какие преобразования энергии происходят во время колебаний пружинного маятника? математического маятника? 6. В каком положении потенциальная энергия маятника достигает максимального значения? минимального? Что можно сказать о кинетической энергии маятника в эти моменты?

Упражнение № 20

1. В системе «тележка — пружина» происходят свободные колебания. Как изменится период этих колебаний, если: 1) увеличить амплитуду колебаний? 2) уменьшить массу тележки? 3) увеличить жесткость пружины?

2. Будет ли колебаться математический маятник в невесомости?

3. Как изменится ход маятниковых часов, если их из теплой комнаты вынести в холодную кладовую? поднять с первого этажа небоскреба на крышу?

4. Какова масса тела, подвешенного на пружине жесткостью 40 Н/м, если после отклонения тела от положения равновесия оно совершает 8 колебаний за 12 с?

5. На какую максимальную высоту отклоняется математический маятник, если в момент прохождения положения равновесия он движется со скоростью 0,2 м/с? Какова длина маятника, если период его колебаний 2 с?

6. Уравнение колебаний пружинного маятника массой 5 кг имеет вид: x = 0,2cos10пt. Определите: 1) циклическую частоту и период колебаний; 2) жесткость пружины; 3) полную механическую энергию колебаний; 4) смещение, кинетическую и потенциальную энергии маятника при t = 0,025 с.

7. Наблюдая за колебаниями большой люстры в Пизанском кафедральном соборе, раскачивающейся из-за сквозняка, Г. Галилей измерил период ее колебаний и установил... Выясните, что установил Г. Галилей и как он измерял период колебаний без часов. Вычислите период колебаний большой люстры в соборе (найдите информацию о длине ее подвеса).

Экспериментальное задание

Изготовьте маятник, закрепив на длинной нити достаточно тяжелое тело, и измерьте ускорение свободного падения в вашем доме. Убедитесь, что оно действительно примерно равно 9,8 м/с².