Физика. Уровень стандарта. 10 класс. Барьяхтар

§ 16. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии

Поднятый молот не обладает кинетической энергией, так как его скорость равна нулю. Но если молот отпустить, он совершит работу (расплющит металл). Натянутая тетива лука не имеет кинетической энергии, но, выпрямляясь, она придаст скорость стреле, а значит, совершит работу. И деформированное тело, и тело, поднятое над поверхностью Земли, способны совершить работу, то есть обладают энергией. Что это за энергия и как ее рассчитать?

1. Когда тело обладает потенциальной энергией

Механическая энергия E — физическая величина, характеризующая способность тела (системы тел) совершить работу.

Единица энергии (как и работы) в СИ — джоуль [E] = 1 Дж (J).

Любое движущееся тело может совершить работу, поскольку оно обладает кинетической энергией, или «живой силой», как ее называли раньше. Есть еще один вид механической энергии — ее называли «мертвая сила». Это — потенциальная энергия (от лат. potentia — сила, возможность), — энергия, которую имеет тело в результате взаимодействия с другими телами.

Потенциальная энергия — энергия, которой обладает тело вследствие взаимодействия с другими телами или вследствие взаимодействия частей тела.

Девочка на вершине горки (рис. 16.1, а) обладает потенциальной энергией, поскольку в результате взаимодействия с Землей может начать движение и сила тяжести совершит работу. Но как вычислить эту работу, ведь горка неровная и в течение всего времени движения угол между направлением силы тяжести и направлением перемещения будет изменяться?

Рис. 16.1. И девочка в результате взаимодействия с Землей (а), и сжатая пружина в результате взаимодействия ее витков (б) обладают потенциальной энергией

Сжатая пружина (рис. 16.1, б) тоже обладает потенциальной энергией: при распрямлении пружины сила упругости совершит работу — подбросит брусок. Но как вычислить эту работу, ведь во время действия пружины на брусок сила упругости непрерывно уменьшается?

Оказывается, все не так сложно. И сила тяжести, и сила упругости имеют одно «замечательное» свойство — работа этих сил не зависит от формы траектории.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным механическими состояниями тела (системы тел), называют потенциальными, или консервативными, силами (от лат. conservare — сохранять, охранять).

2. Потенциальная энергия поднятого тела

Докажем, что сила тяжести — консервативная сила. Для этого определим работу силы тяжести при движении тела из точки K в точку B по разным траекториям.

Случай 1. Пусть траектория движения тела — «ступенька» (рис. 16.2, а): сначала тело падает с некоторой высоты h₀ до высоты h и сила тяжести совершает работу A₁, затем тело движется горизонтально и сила тяжести совершает работу A₂. Работа — величина аддитивная, поэтому общая работа A = A₁ + A₂. A₁ = F_тяжs₁cosα, где F_тяж = mg, s₁ = h₀ - h, cosα = 1 (α = 0), поэтому A₁ = mg(h₀ - h) = mgh₀ - mgh;

A₂ = 0, так как сила тяжести перпендикулярна перемещению тела. Итак: A = mgh₀ - mgh.

Случай 2. Пусть тело перемещается из точки K в точку В, скользя по наклонной плоскости (рис. 16.2, б). В этом случае работа силы тяжести равна: A = mgscosα = mg(h₀ - h) = mgh₀ - mgh.

Рис. 16.2. При перемещении тела с высоты h₀ до высоты h работа силы тяжести, независимо от траектории движения тела, определяется по формуле: A = mgh₀ - mgh

Тот же результат получим и для случаев перемещения тела по произвольной траектории. Следовательно, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, то есть сила тяжести — консервативная сила.

Величину mgh называют потенциальной энергией поднятого тела:

Eр = mgh

Потенциальная энергия поднятого тела зависит от высоты, на которой находится тело, то есть зависит от выбора нулевого уровня, — уровня, от которого будет отсчитываться высота. Нулевой уровень выбирают из соображений удобства. Так, находясь в комнате, за нулевой уровень целесообразно взять пол, определяя высоту горы — поверхность Мирового океана.

Обратите внимание! Изменение потенциальной энергии, а следовательно, и работа силы тяжести от выбора нулевого уровня не зависят.

3. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Пусть имеется упруго деформированное тело — растянутая пружина. Определим работу, которую совершит сила упругости при уменьшении удлинения пружины от x₀ до x (рис. 16.3).

Рис. 16.3. Если пружину освободить, то, сжимаясь, она совершит работу (приведет в движение тележку), при этом деформация пружины уменьшится

Воспользуемся для этого геометрическим смыслом механической работы (рис. 16.4):

Рис. 16.4. Сила упругости линейно зависит от удлинения (F_упр = kx), поэтому график зависимости F_упр(x) — отрезок прямой, а работа силы упругости численно равна площади трапеции под графиком

Таким образом, работа силы упругости определяется только начальным и конечным состояниями пружины, то есть сила упругости — консервативная сила. Величину kx²/2 называют потенциальной энергией упруго деформированного тела:

Работа силы упругости (как и силы тяжести) равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:

A = E_p0 - E_p = -ΔE_p

Данное выражение — математическая запись теоремы о потенциальной энергии: работа всех консервативных сил, действующих на тело, равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Состояние с меньшей потенциальной энергией является энергетически выгодным; любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна, — в этом заключается принцип минимума потенциальной энергии. Действительно, камень, выпущенный из руки, никогда не полетит вверх — он будет падать, стремясь достичь состояния с наименьшей потенциальной энергией. Недеформированная пружина никогда не станет сама растягиваться или сжиматься, а деформированная пружина стремится перейти в недеформированное состояние.

4. Закон сохранения полной механической энергии

Как правило, тело или система тел обладают и потенциальной, и кинетической энергиями.

Сумму кинетических и потенциальных энергий тел системы называют полной механической энергией системы тел: E = E_k + E_p (рис. 16.5).

Рис. 16.5. Полная механическая энергия E системы тел равна сумме потенциальной энергии E_p (определяется взаимным расположением тел системы) и кинетической энергии E_k (определяется скоростью движения тел системы)

Рассмотрим замкнутую систему тел, взаимодействующих друг с другом только консервативными силами (силами тяготения или силами упругости). По теореме о потенциальной энергии работа A, совершаемая этими силами, равна: A = E_p0 - E_p. С другой стороны, согласно теореме о кинетической энергии эта же работа равна: A = E_k - E_k0. Приравняв правые части равенств, получим закон сохранения и превращения полной механической энергии:

В замкнутой системе тел, взаимодействующих только консервативными силами, полная механическая энергия остается неизменной (сохраняется):

E_р0 + E_k0 = E_p + E_k

Закон сохранения полной механической энергии предполагает превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот (рис. 16.6). Однако сохраняется ли при этом полная механическая энергия? Наш опыт подсказывает, что нет. И действительно, закон сохранения полной механической энергии справедлив только в случаях, когда в системе отсутствует трение. Однако в природе не существует движений, не сопровождающихся трением. Сила трения всегда направлена против движения тела, поэтому при движении она совершает отрицательную работу, при этом полная механическая энергия системы уменьшается:

A_тр = E - E₀ = ΔE,

где A_тр — работа силы трения; E, E₀ — полная механическая энергия системы в конце и в начале наблюдения соответственно.

Потери энергии наблюдаются и в случае неупругого удара.

Рис. 16.6. Переход одного вида механической энергии в другой вид наблюдается повсюду

Так что, при наличии трения или при неупругой деформации энергия бесследно исчезает? Казалось бы, да. Однако измерения показывают, что в результате и трения, и неупругого удара температуры взаимодействующие тел увеличиваются, то есть увеличиваются внутренние энергии тел. Значит, кинетическая энергия не исчезает, а переходит во внутреннюю энергию.

Энергия никуда не исчезает и ниоткуда не появляется: она только переходит из одного вида в другой, передается от одного тела к другому.

5. Учимся решать задачи

Задача. Какую минимальную скорость нужно сообщить шарику, подвешенному на нити длиной 0,5 м, чтобы он смог совершить полный оборот в вертикальной плоскости? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Анализ физической проблемы

• Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому система «шарик — нить — Земля» является замкнутой и можно воспользоваться законом сохранения механической энергии.

• За нулевой уровень примем самое низкое положение шарика.

• В самой высокой точке траектории шарик имеет некоторую скорость, иначе он не продолжил бы вращаться, а стал бы падать вертикально вниз.

• Для определения скорости движения шарика в наивысшей точке траектории воспользуемся определением центростремительного ускорения и вторым законом Ньютона.

• Нужно найти минимальную скорость движения шарика в момент толчка, поэтому понятно, что в наивысшей точке траектории нить натянута не будет, то есть сила ее натяжения будет равна нулю.

Подводим итоги

• Механическая энергия E — физическая величина, характеризующая способность тела (системы тел) совершить работу. Полная механическая энергия системы тел состоит из кинетических энергий движения тел этой системы и потенциальных энергий их взаимодействий: E = E_k + E_p.

• Потенциальная энергия — энергия, которой обладает тело вследствие взаимодействия с другими телами или вследствие взаимодействия частей тела друг с другом. Потенциальная энергия поднятого тела вычисляется по формуле E_p = mgh, упруго деформированного тела — по формуле E_p = kx²/2.

• Сила упругости и сила тяжести — консервативные (потенциальные) силы: работа этих сил не зависит от формы траектории и равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком: A = E_p0 - E_p = -ΔE_p. В замкнутой системе тел, взаимодействующих только консервативными силами, полная механическая энергия остается неизменной (сохраняется): E_p0 + E_k0 = E_p + E_k.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение механической энергии; потенциальной энергии. 2. Докажите, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории. 3. По какой формуле определяют потенциальную энергию упруго деформированного тела? 4. В чем состоит принцип минимума потенциальной энергии? Приведите примеры. 5. При каких условиях выполняется закон сохранения полной механической энергии? 6. Приведите примеры, когда полная механическая энергия не сохраняется. Что можно сказать о полной энергии системы?

Упражнение № 16

1. Человек поднял ведро с песком массой 15 кг на высоту 6 м, а затем вернул его обратно. Совершила ли при этом работу сила тяжести? Если да, то вычислите ее.

2. Докажите, что в случае, когда тело движется по замкнутой траектории, работа консервативных сил равна нулю.

3. Тело массой 1 кг обладает потенциальной энергией 20 Дж. На какую высоту относительно нулевого уровня поднято тело?

4. Пружинный пистолет «заряжают» шариком, а затем стреляют вверх. Какие при этом происходят превращения энергии?

5. Камень, до этого находившийся в состоянии покоя, падает с высоты 20 м. На какой высоте скорость движения камня будет 10 м/с? С какой скоростью камень упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

6. К горизонтальной пружине жесткостью 250 Н/м, сжатой на 4 см, прикреплена тележка массой 400 г. Найдите максимальную скорость движения тележки после высвобождения пружины. Потери энергии не учитывайте.

7. Велосипедист, двигавшийся со скоростью 9 км/ч, резко останавливается. Какую работу совершает при этом сила трения? Куда «исчезает» механическая энергия системы? Найдите тормозной путь, если средняя сила трения — 400 Н. Масса велосипедиста вместе с велосипедом — 80 кг.

8. Существует опасное явление природы — сель в горах (поток камней и грязи). Почему при этом тяжелые валуны могут приобретать огромную скорость? Узнайте о селях больше и подготовьте сообщение.