Физика. Уровень стандарта. 10 класс. Барьяхтар

§ 11. Гравитационное поле. Сила притяжения. Первая космическая скорость

Шесть из восьми планет Солнечной системы были открыты благодаря наблюдениям за звездным небом. Именно так в 1781 г. английский астроном Джон Гершель открыл Уран. Впрочем, планета вела себя «странно»: ее орбита не соответствовала расчетам, основанным на законе всемирного тяготения. Ученые предположили, что рядом с Ураном есть еще одна планета, и начали искать ее с помощью... математики.

Рассчитать орбиту новой планеты удалось англичанину Джону Адамсу и французу Урбену Леверье. 23 августа 1846 г. немецкий астроном Иоганн Галле навел телескоп на указанное Леверье место и... увидел планету! Нептун — восьмая планета Солнечной системы — стал первым космическим объектом, открытым «на кончике пера». О законе, который позволил сделать это открытие, вы вспомните, изучив данный параграф.

«Луна упала бы на землю как камень, как только исчезла бы сила ее полета.

Плутарх (ок. 46 — ок. 127 гг.)

«Тяготение есть взаимное стремление всех тел. Если бы Землю и Луну не удерживала в их орбитах их оживляющая сила, то Земля и Луна слились бы... Не будь на Земле тяготения, океаны устремились бы на Луну».

И. Кеплер (1571-1630)

«До сих пор я объяснял небесные явления и приливы наших морей на основании силы тяготения, но я не указывал причины самого тяготения».

И. Ньютон (1643-1727)

«В наше время тяготение никого не удивляет — оно стало обычным непонятным явлением».

Э. Мах (1838-1916)

1. Как определить силу гравитационного притяжения

Гравитационное взаимодействие — взаимодействие, свойственное всем телам во Вселенной и проявляющееся в их взаимном притяжении друг к другу.

Гравитационное взаимодействие происходит посредством гравитационного поля, которое существует вокруг любого тела: звезды, планеты, человека, молекулы и т. д.

Выведем закон всемирного тяготения, следуя логике рассуждений Ньютона, который и установил данный закон.

1. Благодаря гравитационному взаимодействию Земля придает всем телам вблизи ее поверхности ускорение g = F/m (второй закон Ньютона). Данное ускорение не зависит от массы тела — это возможно, если сила гравитационного взаимодействия прямо пропорциональна массе тела (F ~ m).

2. Два тела массами m₁ и m₂ взаимодействуют с равными по модулю силами (третий закон Ньютона): F₁ = F₂ = F (рис. 11.1). При этом F₁ ~ m₁, а F₂ ~ m₂. Следовательно, сила гравитационного взаимодействия двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел:

F ~ m₁ • m₂. (1)

Рис. 11.1. Силы, с которыми тела притягиваются друг к другу, равны по модулю и противоположны по направлению

Объединив выводы (1) и (2), И. Ньютон получил закон всемирного тяготения:

Любые два тела притягиваются друг к другу с силой, которая прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

где G — гравитационная постоянная (коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех тел во Вселенной).

Закон всемирного тяготения имеет определенные границы применимости (рис. 11.2).

Рис. 11.2. Границы применимости закона всемирного тяготения

Только в XX в. было установлено: когда гравитационные поля настолько сильны, что разгоняют тела до скоростей порядка скорости света, или когда частицы, пролетающие вблизи массивных тел, еще на отдалении имеют скорость, сравнимую со скоростью света, силу гравитационного притяжения нельзя рассчитать по закону всемирного тяготения. В общем случае тяготение описывается общей теорией относительности.

2. Как измерить гравитационную постоянную

Гравитационная постоянная G — одна из фундаментальных констант в физике. По современным данным, значение гравитационной постоянной составляет:

Гравитационная постоянная численно равна силе гравитационного притяжения двух материальных точек массой 1 кг каждая, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга.

Измерить гравитационную постоянную достаточно сложно: гравитационное притяжение между телами становится заметным только при очень большой массе хотя бы одного из тел.

• Определите силу притяжения шаров массой 1 т каждый, расположенных на расстоянии 1 м друг от друга, и вы поймете, почему мы не замечаем гравитационного притяжения других тел, за исключением притяжения Земли.

Гравитационную постоянную впервые измерил английский ученый Генри Кавендиш (1731-1810) в 1798 г. с помощью крутильных весов (рис. 11.3).

Рис. 11.3. Схема одного из первых опытов Г. Кавендиша

3. Как «взвесить» Землю

Опыт Г. Кавендиша еще называют «взвешиванием Земли». Как можно измерить массу Земли и любой другой планеты? Вспомним о силе тяжести.

Сила тяжести направлена вертикально вниз и приложена к точке, которую называют центром тяжести тела (см. § 14).

• Согласно закону всемирного тяготения модуль силы тяжести, действующей на тело массой m со стороны Земли, равен:

Здесь M_З — масса Земли; R_З + h — расстояние от центра Земли до тела (рис. 11.4).

Рис. 11.4. Расстояние r от центра Земли до тела равно сумме радиуса Земли R_З и высоты h, на которой находится тело

• Согласно второму закону Ньютона:

F_тяж = mg,

где g — ускорение свободного падения на высоте h.

Приравняв правые части формул (1) и (2), получим формулу для вычисления ускорения свободного падения:

Проанализировав последнюю формулу, приходим к следующим выводам.

1. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела (доказано Г. Галилеем).

2. Ускорение свободного падения уменьшается при подъеме тела над поверхностью Земли (заметное изменение происходит при подъеме на десятки и сотни километров).

3. Если тело находится на поверхности Земли (h = 0) или вблизи нее (h ≪ R_З), ускорение свободного падения вычисляют по формуле:

Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения известно (g₀ = 9,8 м/с²), следовательно, можем определить массу Земли:

Отметим, что из-за вращения Земли, а также из-за того, что форма Земли — геоид, ускорение свободного падения зависит от географической широты местности (рис. 11.5).

Рис. 11.5. Модуль ускорения свободного падения на экваторе немного меньше, чем на полюсах

Ускорение свободного падения в определенной местности может отличаться от его средних значений на данной широте. Причины — в неоднородности земной коры, наличии гор и впадин; в различной плотности пород, залегающих в недрах Земли. Так, уменьшение ускорения свободного падения часто свидетельствует о залежах торфа, нефти, газа; увеличение — о залежах металлических руд.

Метод поиска залежей полезных ископаемых по точному определению ускорения свободного падения называют гравиметрической разведкой.

4. Первая космическая скорость

Представим, что мы стреляем из пушки в горизонтальном направлении, с каждым выстрелом увеличивая скорость движения ядра. Траектория движения ядер будет параболической, и каждый раз ядра будут падать все дальше. Если представить, что Земля плоская, на этом наш эксперимент можно было бы и завершить, но Земля имеет форму шара, поэтому с каждым выстрелом она все больше и больше будет «уходить» из-под ядра (рис. 11.6).

Рис. 11.6. Движение тела под действием силы тяжести (по рисунку И. Ньютона): ядра A и B падают на Землю, ядро C выходит на круговую орбиту, D — на эллиптическую, ядро E летит в открытый космос

Теперь представим, что сопротивление воздуха отсутствует, а мы придали ядру такую большую скорость, что оно облетело вокруг Земли и вернулось к месту выстрела. При этом ядро не остановится, а будет и дальше двигаться с неизменной скоростью, «наматывая круги» вокруг планеты. Другими словами, мы получим искусственный спутник Земли.

Скорость, которую надо сообщить объекту, чтобы он двигался вокруг планеты по круговой орбите, называют первой космической скоростью.

4 октября 1957 г. Советский Союз вывел на орбиту первый искусственный спутник Земли — ПС-1. Его разработали С. П. Королев, М. В. Келдыш, М. К. Тихонравов и другие выдающиеся ученые.

ПС-1 представлял собой небольшую сферу диаметром 58 см и массой 83,6 кг, оснащенную четырьмя антеннами длиной 2,4 и 2,9 м для передачи сигнала. Спутник отделился от второй ступени ракеты-носителя на 315-й секунде после старта и почти сразу начал передавать сигнал, который слышали не только специалисты, но и радиолюбители практически всех стран. С этого момента начался отсчет космической эры человечества. «Тот маленький огонек, стремительно двигающийся от края и до края неба... сделал человечество бессмертным», — писал американский писатель-фантаст Рэй Брэдбери.

В течение 92 суток полета спутник совершил 1440 оборотов вокруг Земли, после чего сгорел в атмосфере. Траекторию движения спутника на карту звездного неба первыми нанесли наблюдатели Лаборатории космических исследований Ужгородского государственного университета.

Подводим итоги

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры гравитационного взаимодействия. 2. Докажите, что сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел. 3. Сформулируйте и запишите закон всемирного тяготения. 4. Каков физический смысл гравитационной постоянной? Кто и как определил ее значение? 5. Каковы границы применимости закона всемирного тяготения? 6. Дайте определение силы тяжести и охарактеризуйте ее. 7. Как рассчитать ускорение свободного падения? От каких факторов оно зависит? 8. Почему тело, брошенное горизонтально, может так и не упасть на Землю? 9. Дайте определение первой космической скорости. Получите формулу для ее вычисления.

Упражнение № 11

1. Вы придали телу у поверхности Земли скорость 8 км/с. Вернется ли тело к вам, облетев вокруг Земли? Обоснуйте свой ответ.

2. Оцените силу гравитационного взаимодействия между вами и соседкой или соседом по парте. Объясните, почему предлагается именно «оценить», а не «вычислить».

3. Как изменится сила притяжения между двумя шариками, если один из них заменить другим, в три раза большей массы? если в три раза увеличить расстояние между шариками?

4. Во сколько раз ускорение свободного падения на высоте 6R_З меньше, чем на поверхности Земли?

5. Определите массу Солнца, считая, что орбита Земли является окружностью и что радиус земной орбиты равен 1,5 • 10¹¹ м (1 астрономическая единица).

6. Вычислите период вращения и радиус круговой орбиты первого искусственного спутника Земли.

7. Узнайте о жизни и деятельности выдающегося украинского советского ученого в области ракетостроения и космонавтики С. П. Королева (см. рисунок).

Сергей Королев (справа) и первая в мире женщина-космонавт Валентина Терешкова, 1963 г.