ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 9 клас

21. Вправи для повторення курсу геометрії 9 класу

21.1. стор. 209. рис.

21.2. стор. 209. рис.

21.3. стор. 209. 1) 52 < 42 + 42; 25 < 16 + 16; 25 < 32. Трикутник гострокутний.

2) 92 > 52 + 62; 81 > 25 + 32; 81 > 61. Трикутник тупокутний.

3) 132 = 122 + 52; 169 = 144 + 25; 169 = 169. Трикутник прямокутний.

21.4. стор. 209. рис.

△AВС. АВ : ВС = 3 : 8; АС = 21 см; ∠АВС = 60°.

За теоремою косинусів: АС2 = АВ2 + ВС2 - 2АВ • ВС • cos 60°;

21.5. стор. 209. рис.

21.6. стор. 209. рис.

ABCD — паралелограм.

Нехай АВ = х, ВС = х + 4, BD = 12 см; АС = 14 см.

За властивістю діагоналей маємо: АС2 + BD2 = 2АВ2 + 2ВС2; 196 + 144 = 2х2 + 2(х + 4)2; 340 = 2х2 + 2х2 + 16х + 32; 4х2 + 16х - 308 = 0; х2 + 4х - 77 = 0; x1 = 11; х2 = 7.

АВ = 7 см; ВС = 7 + 4 = 11 см; PABCD = (АВ + ВС) • 2 = (7 + 11) • 2 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

21.7. стор. 209. рис.

ABCD — трапеція; ВС ∥ AD; AD = 8 см; CD = 4√3 см.

Коло проходить через точки А, В, С, перетинає пряму AD у точці К.

∠АКВ = 60°.

Трапеція АВСК є вписаною в коло, отже АВ = СК, ∠КАС = ∠АКВ = 60°, трапеція АВСК є рівнобедрена, тому AC = ВК.

△ACD. За теоремою синусів:

△ACD — прямокутний. За теоремою Піфагора: АС2 = AD2 - CD2 = 64 - 48 = 16; АС = 4 см.

Відповідь: ВК = 4 см.

21.8. стор. 209. рис.

ABCD — трапеція. ВС = 3 см; AD = 7 см; АВ = 5 см; CD = 6 см.

Проведемо СК ∥ AB. СК = 5 см; KD = 7 - 3 = 4 см.

△CKD: за теоремою косинусів маємо: СК2 = CD2 + KD2 - 2D • KD • cos ∠A; 25 = 36 + 16 - 2 • 6 • 4 • cos ∠A;

21.9. стор. 209. рис.

Нехай коло, вписане в △АВС, дотикається до сторони АВ в точці D. BD = 1 см; AD = 5 см; ∠АВС = 120°.

М — точка дотику кола до сторони ВС;

N — точка дотику кола до сторони АС.

За властивістю дотичних, проведених з однієї точки, маємо:

AD = AN = 5 см; BD = ВМ = 1 см;

МС = NC = х см.

△АВС. За теоремою косинусів: АС2 = + АВ2 + ВС2 - 2АВ • ВС • cos ∠B.

21.10. стор. 209. рис.

△АВС; АВ = 11 см; ВС = 12 см; AС = 13 см, ВМ — медіана, проведена до більшої сторони. AM = МС.

Продовжимо ВМ і відкладемо MD = МВ.

ABCD — паралелограм.

За властивістю діагоналей паралелограма складемо рівняння: АС2 + BD2 = 2АВ2 + 2ВС2, BD = х.

169 + х2 = 2 • 112 + 2 • 122;