ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 9 клас
§ 19. Симетрія відносно точки
Початковий рівень
906. На мал. 171.
907. З’єднаємо А і О, на продовженні відрізка АО за точку О відкладаємо ОА′ = ОА, А і А′ симетричні відносно О.
Промінь BО, від т. О на цьому промені відкладемо OB′ = ОВ (В i В′ по різні сторони від О). В i В′ — симетричні відносно О.
Середній рівень
ОВ = OB′, ОА = ОА′. А′В′ симетричний АВ відносно O(0; 0). А′(2; -3); В′(-4; -5).
M′N′ симетричний MN відносно початку координат. М′(2; 1); N′(-4; 3).
Симетричні відносно початку координат пари точок: 1) А(-2; 3) і D(2; -3); 2) В(2; 3) і С(-2;-3).
912. Точки А і В симетричні відносно точки О, якщо О — середина АВ.
916. 1) Центром симетрії відрізка є його середина.
2) Промінь не має центру симетрії.
3) Люба точка прямої є її центром симетрії.
4) Центр кола є центром симетрії кола.
Достатній рівень
917. А і Е симетричні відносно D, тому AD = DE, але AD = ВС, тому DE = ВС.
∠OED = ∠OBC (внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній ВС); ∠ODE = ∠ОСВ (внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній CD). Звідси △ODE = △ОСВ (II ознака рівності трикутників).
З рівності трикутників:
1) OD = ОС. Отже, С і D симетричні відносно О.
2) ВО = ЕО. Отже, В і Е симетричні відносно О.
918. ВО = ЕО, бо Е і В симетричні відносно О.
∠СОВ = ∠DOE (вертикальні); ∠СВО = ∠DEO (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній BE).
Звідси: △ВОС → △EOD. З рівності трикутників:
1) CO = DO. Отже, С і D симетричні відносно О.
2) DE = СВ, а СВ = DA, тоді DE = DA.
Отже, А і Е симетричні відносно точки D.
919. (х - 2)2 + (у + 3)2 = 16 — коло;
O(2; -3) — центр; R = 4.
1) Коло, симетричне даному відносно початку координат, має центр О1(-2; 3), R = 4; задається рівнянням (х + 2)2 + (у - 3)2 = 16.
920. (х + 1)2 + (у - 5)2 = 9;
(-1; 5) — центр; R = 3.
1) Коло симетричне відносно початку координат. (1; -5) — центр;
R = 3. (х + 1)2 + (у + 5)2 = 9.
2) Коло симетричне даному відносно точки O(2; -3). (х; у) — центр.
