ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

3. Ознаки паралелограма

∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°, ∠C + ∠D = 180°, ∠A + ∠C = 180°. ∠A і ∠B — внутрішні односторонні кути при прямих AD і ВС та їхній січній АВ, тоді за ознакою паралельності прямих AD ∥ ВС. ∠A і ∠D — внутрішні односторонні при прямих АВ і CD та їхній січній AD. Тоді за ознакою паралельності прямих АВ ∥ CD. Отже, у чотирикутника АВСD протилежні сторони паралельні. Тоді за означенням паралелограма ABCD — паралелограм.

91. ABCD — паралелограм, тоді ВС ∥AD, ВС = AD. AMKD — паралелограм, тоді МК ∥ AD, MK = AD. Тоді ВС ∥ МК, ВС = МК, що за ознакою паралелограма ВМКС — паралелограм.

92. АО — медіана △ABD, тоді BO = OD. ВО — медіана △АВС, тоді АО = ОС. BD і АС — діагоналі чотирикутника ABCD і вони перетинаються в одній точці та діляться нею навпіл. Отже, ABCD — паралелограм.

У △ВКС і △DMA AM = КС за умовою, AD = ВС за властивістю паралелограма, ∠DAM = ∠BCD, як внутрішні різносторонні при AD ∥ ВС та їхній січній АС. Тоді △BKD = △DMA, звідки MD = ВК. У △АВМ і △CKD AM = СК за умовою, АВ = CD за властивістю паралелограма. ∠ВАМ = ∠DCK, як внутрішні односторонні кути при АВ ∥ CD та їхній січній АС. Тоді △АВМ = △CDK, звідки ВМ = KD. У чотирикутника MBKD протилежні сторони рівні. Отже, MBKD — паралелограм.

94. Оскільки О — центр кола з діаметром АВ, то АО = ОВ. Оскільки О — центр кола з діаметром CD, то CO = OD. АВ і CD — діагоналі чотирикутника ACBD і вони перетинаються в точці О та діляться нею навпіл. Отже, ACBD — паралелограм за ознакою.

96. АВ ∥ CD, АВ = CD. За побудовою AM = СК, тоді MB = АВ - AM, KD = CD - СК і MB = KD. МВ ∥ KD, MB = KD, тоді MBKD — паралелограм за ознакою.

97. АВ = CD і AM = СЕ, то MB = ED; оскільки ВС = AD і KD = FD, то КС = AF. У △МВК і △EDF ВК = FD, MB = ED, ∠B = ∠D, як протилежні кути паралелограма ABCD, тоді △МВК = △EDF за двома сторонами і кутом між ними, звідки МК = EF. У △AMF і △ECK AM = СЕ, AF = КС, ∠A = ∠C, як протилежні кути паралелограма ABCD, тоді △MAF = △ЕСК за двома сторонами і кутом між ними, звідки MF = КЕ. У чотирикутника MKEF протилежні сторони попарно рівні, тоді MKEF — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

AM — медіана △АВС, то ВМ = МС. За побудовою точки А, М і К лежать на одній прямій і AM = МК. У чотирикутника АВКС АК і ВС — діагоналі, які перетинаються в точці М і діляться нею навпіл. Отже, АВКС — паралелограм.

Оскільки АВ ∥ CD, то ∠A + ∠D = 180° (внутрішні різносторонні при цих паралельних прямих і січній AD). Але ∠A = ∠C, тому ∠C + ∠D = 180°, a ∠C і ∠D — внутрішні односторонні при прямих ВС, AD і січній CD. Оскільки ∠C + ∠D = 180°, то ВС ∥ AD. Звідки ABCD — паралелограм (АВ ∥ CD і ВС ∥ AD).

У паралелограма ABCD ∠A = ∠С, ∠B = ∠D. ∠ВМА = ∠MAD, як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та їхній січній АМ: ∠ВАМ = ∠MAD, оскільки AM — бісектриса ∠А, тоді ∠ВАМ = ∠ВМА і △АBМ — рівнобедрений, де AB = ВМ. Аналогічно міркуючи, маємо: ∠DKC = ∠ВСК, ∠ВСК = ∠DCK, отже, ∠DCK = ∠DCK, △KCD — рівнобедрений, звідки KD = CD. У △АBМ і △CDK ∠В = ∠D, АB = ВМ = CD = KD, тоді △АBМ = △CDK за двома сторонами і кутом між ними, звідки AM = КС. ∠CKD = ∠MAD і вони відповідні при прямих AM і КС та їхній січній AD, тоді AM ∥ КС. У чотирикутника АМСК AM ∥ КС, AM = КС, тоді АМСК — паралелограм за ознакою.