ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Нехай дано коло (О; R), АВ і CD — січні, AB ∩ CD = ц. M, CM = 4 см, DM = 6 см, AM на 2 см > ВМ, CM • MD = ВМ • МА, 4 • 6 = ВМ • МА, 24 = ВМ • МА.

Нехай х (см) — ВМ, тоді AM = х + 2 (см). 24 = х • (х + 2), х² + 2х - 24 = 0, х₁ = -6 — не задовольняє умові х > 0, х₂ = 4. АВ = АМ + МВ, МВ = 4 см, АМ = 4 + 2 = 6 см, АВ = 6 + 4 = 10 см.

3. Розв’язування прямокутних трикутників

Розглянемо △СКВ, ∠К = 90°, за теоремою Піфагора СВ² = СК² + КВ², СВ² = 8² + 4², СВ² = 64 + 16, СВ² = 80, СВ = √80 = 4√5 см. Розглянемо △АВС, ∠C = 90°, за теоремою Піфагора АВ² = АС² + СВ², 20² = АС² + 80, АС² = 400 - 80, АС² = 320, АС = √320 = 4√20 = 8√5 см. Р_△ABC = АВ + ВС + AC, P_△ABC = 20 + 4√5 + 8√5= 20 + 12√5 (см).

△ANB — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора: АВ² = AN² + NB².

Складемо і розв’яжемо рівняння:

15² = х² + (2х - 6)²; 225 = х² + 4х² - 24х + 36; 5х² - 24х + 36 - 225 = 0; 5х² - 24х - 189 = 0; а = 5, b = -24, с = -189; D = b² - 4ас;

D = (-24)² - 4 • 5 • (-189) = 516 + 3780 = 4356 = 66²;

За аксіомою вимірювання відрізків: AD = AN + ND, AD = 25 + 4 = 29 (см). За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику AOD (∠AOD = 90° за властивістю діагоналей ромба) маємо: AO² = AN • AD, OD² = ND • AD,

За властивістю діагоналей ромба маємо: АС = 2АО, BD = 2OD, АС = 10√29 см, ВD = 4√29 см.

△АВС, ∠C = 90°, коло (О; R), т. О є АВ, т. В є колу (О; R), АС — дотична до кола, М — точка дотику, СВ = 5 см, АС = 12 см. ОВ = ОМ = R. ОМ ⟂ АС (як радіус, проведений у точку дотику), ВС ⟂ АС, тоді МО ∥ СВ.

Розглянемо △АСВ, оскільки МО ∥ СВ, то △АМО ~ △АСВ, з цього виходить, що

За умовою АВ > ВС, отже, за властивістю трикутника: ∠C > ∠А. Отже, ∠A — менший гострий кут. Отже, треба знайти АО. Розглянемо чотирикутник BNOP — квадрат. За властивістю радіусів, проведених в точку дотику , ON ⟂ AB, ОР ⟂ ВС, ∠ABC = 90° (за умовою). ON = ОР = r, BN = ВР (за властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки). Нехай BN = ВР = х см, тоді за аксіомою вимірювання відрізків: AN = АВ - NB, PC = ВС - ВР, АС = АК + КС, AN = 8 - х (см), PC = 6 - x (см). За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: AN = АК = 8 - х (см), PC = КС = 6 - х (см), АС = (8 - х) + (6 - х) = 14 - 2х (см). Розглянемо △АВС — прямокутний (∠B = 90°). За теоремою Піфагора: АС² = АВ² + ВС², АС² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 = 10², АС = 10 см. Отже, АС = 14 - 2х = 10, -2х = 10 - 14, -2х = -4, х = -4 : (-2), х = 2. ON = OP = BP = NB = 2 cм. AN = 8 - 2 = 6 (cм). Розглянемо △ANO — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора: AO² = AN² + NO², АО² = 6² + 2² = 36 + 4 = 40, АО = √40 = √4 • 10 = 2√10 (см)

Точка К належить колу, отже, ∠AKВ є вписаним у коло. Оскільки ∠AKВ спирається на діаметр АВ, то ∠AКB = 90°.

Розглянемо △АКВ, ∠К = 90°, KF — висота, проведена до гіпотенузи.

KF² = AF • FB.

Нехай АF = х (см), тоді FB = х + 27 (см). 18² = х(х + 27), 324 = х² + 27х, х² + 27х - 324 = 0, x₁ = 9, х₂ = -36 — не задовольняє умові х > 0. AF = 9 см, FB = 9 + 27 = 36 см. АВ = AF + FB = 9 + 36 = 45 см.