ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

791. 1) Позначте т. N — середину CD і через неї проведіть пряму, паралельну АВ, її точка перетину з AD — L, з прямою, на якій лежить ВС, — К. Паралелограм ABKL — шуканий, оскільки △CNK = △DNL.

Позначте середину AB — точку Е і середину CD — точку О. Через точки Е і О проведіть прямі, перпендикулярні основам. Точки перетину з AD — точки К і N, точки перетину з прямою, яка містить основу ВС, — точки F і М. Чотирикутник KFMN — шуканий прямокутник, оскільки △FEB = △KEA, ∠СОМ = ∠DON.

Позначимо середини бічних сторін: М — середина AB, N — середина CD. Оберіть на AD точку О. Із т. О через т. М і N проведемо промені. Точки їх перетину з прямою, яка містить ВС, позначимо Р i К. △РКО — шуканий, оскільки △АМО = △BMP, △OND = △KNC.

Оскільки трапеція ABCD (AB = CD) вписана в коло і діагональ BD ⟂ АВ, то більша основа є діаметром кола. За умовою АВ = 15 см, АО = 12,5 см, де О — центр кола, середина АD. Тоді АD = 2АО, АD = 25 см. Опустимо висоту ВН. За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику АВ² = АН • АD,

Нехай у трапеції ABCD AC ⟂ BP, ВD = 48 см, середня лінія m = 25 см. Проведемо через т. С пряму, паралельну ВD, її точка перетину з прямою АD — т. К. BCKD — паралелограм, тому DK = ВС. У ⟂АСК ∠АСК = 90°, АК = АР + DK = AD + ВС = 2m = 50 см (сума основ дорівнює двом середнім лініям);

797. Нехай у трапеції ABCD (AB = CD) вписано коло з центром О. К — точка дотику кола до AD, М — до AB, N — до ВС, ВМ = 4 см, AM = 9 см.

За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, BN = ВМ = 4 см, АК = AM = 9 см. Тоді ВС = 2BN = 8 см, AD = 2АК = 18 см; AB = AM + ВМ = 9 + 4 = 13 (см). Опустимо висоту ВН, тоді

Нехай у трапеції ABCD AB ⟂ AD, О — центр кола, вписаного в трапецію. Точки дотику: М — з ВС, N — з CD, К — з AD. ON = ОМ = OK = 12 см. Нехай ND = 16 см. За властивістю дотичних KD = ND = 16 см; AK = ON = 12 см; AB = 2OM = 24 cм = CH; AD = 28 см. Позначимо довжину CN за x см, тоді CD = (16 + x) см, BC = (12 + x) см. Опустимо висоту CH, тоді HD = AD - AH = AD - BC 28 - (12 + x) = (16 - x) см. У △CHD ∠CHD = 90°, тоді CD² = CH² + HD², (16 + x)² = 24² + (16 - x)²,

Нехай у трапеції ABCD ВС ∥ AD, М — середина АВ, S_ABCD = S. Проведемо через точку М перпендикуляр до основ трапеції, тоді його точку перетину з AD — N, з продовженням ВС — N, MH = MN, NH — висота трапеції.

Нехай AB = а см, AD = b см. P_ABCD = 2(a + b) = 50 см | : 2; a + b = 25 см; Р_△ABD = AB + BD + AD. За умовою BD = AD. Отже, BD = b cм; (a + b) + b = 40 cм; 25 + b = 40; b = 40 - 25 = 15 (cм). a + b = 25; a + 15 = 25; a = 25 - 15 = 10 (cм).

За умовою ABCD — ромб. За властивістю діагоналей ромба: AC ⟂ BD. Отже, △АОВ — прямокутний (∠АОВ = 90°). За умовою N — середина АВ, отже, ОМ — медіана △АОВ, проведена до гіпотенузи. За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи у прямокутному трикутнику:

Розглянемо △АВО — прямокутний (∠AOB = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника: ∠ОАВ + ∠АВО = 90°, ∠АВО = 90° - 60° = 30°. Отже, за властивістю діагоналей ромба: ∠DAB = 2∠ОАВ = 2 • 60° = 120°, ∠АВС = 2∠ABO = 2 • 30° = 60°. За властивістю протилежних кутів ромба: ∠A = ∠С = 120°, ∠B = ∠D = 60°.

Р_AMKD = 2(АМ + МК). AMKD — паралелограм (за умовою МК ∥ АС, тобто МК ∥ AD і DK ∥ АВ, тобто DK ∥ AM). За аксіомою вимірювання відрізків: AM = АВ - ВМ, АМ = 25 - 15 = 10 (см).

P_AMKD = 2 • (10 + 9) = 2 • 19 = 38 (см).