ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Нехай у трапеції ABCD АВ = CD, AC — бісектриса ∠A, MN — середня лінія, О — точка перетину MN і АС, МО = 6 cм, ON = 12 см. ∠ВСА = ∠CAD як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD та січній AC, ∠BAC = ∠CAD, оскільки АС — бісектриса, тоді ∠BAC = ∠ВСА і △АВС — рівнобедрений з основою АС, отже, АВ = ВС. У △АВС МО — середня лінія, тоді ВС = 2МО, ВС = 2 см = АВ. У △АСD ON — середня лінія, тоді АD = 2ON, AD = 24 см. Опустимо висоту ВH,

Нехай у трапеції ABCD АВ ⟂ AD, ВС = 9 cм, AD = 17см, CA — бісектриса ∠BCD. ∠DAC = ∠ВСА як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD та січній АС, ∠ВСА = ∠DCA, оскільки СА — бісектриса ∠BCD, тоді ∠DCA = ∠DAC i △ACD — рівнобедрений з основою АС, отже, CD = AD = 17 см. Опустимо висоту СН, тоді HD = AD - AH = AD - BC, HD = 17 - 9 = 8 (см). У △CHD ∠CHD = 90°, тоді

Нехай у трапеції ABCD АВ = 17 см, CD = 25 см, АО — бісектриса ∠А, DO — бісектриса ∠D, О — точка перетину АО і DO, О є ВС, ВН — висота, ВН =15 см. ∠DAO = ∠BOА = ∠ВАО, тоді АВ = BО = 17 см; ∠COD = ∠ADO = ∠CDO, тоді ОС = СD - 25 см. ВС = ВО + ОС, ВС = 17 + 25 = 42 (см). Опустимо висоти ВН і CN.

Нехай у трапеції ABCD АВ = 10 см, CD = 17 см, ВО — бісектриса ∠В, СО — бісектриса ∠С, О — точка перетину бісектрис, О є AD, ВН — висота, ВН = 8 см. ∠АОВ = ∠СВО = ∠АВО, тоді АО = АВ = 10 см; ∠COD = ∠ВСО = ∠DCO, тоді OD = CD = 17 см. AD = AO + OD = 10 + 17 = 27 (см). Опустимо висоти ВН і CN.

Нехай у трапеції ABCD АВ = CD = 20√3 см, ∠А = 60° і в дану трапецію можна вписати коло, тоді АВ + CD = ВС + AD, отже, ВС + AD = 2 • 20√3 = 40√3 (см). Опустимо висоту ВН. У △АВН ∠АНВ = 90°, тоді ВН = АВ sin ∠А,

= 50 см, h — висота. Виконаємо додаткову побудову: висоту BN (BN ⟂ AD). За умовою у трапецію можна вписати коло, тому ВС + AD = АВ + CD. За умовою АВ = CD, тоді 2АВ = 32 + 50; 2АВ = 82; АВ = 82 : 2 = 41 (см).

Розглянемо △ANB — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора: AB2 = AN2 + NB2; BN2 = AB2 - AN2. За властивістю рівнобічної трапеції: AN = (AD - ВС) : 2; AN = (50 - 32) : 2 = 18 : 2 = 9 (см). BN2 = 412 - 92 = (41 - 9)(41 + 9) = 32 • 50;

Нехай у трапеції ABCD MN — середня лінія, О — середина MB, EF проходить через т. О, Е є ВС, F є AD. Утворились трапеції АВЕF, FECD, які мають таку ж висоту h, як і трапеція ABCD. Тоді SABEF = MO • h, дe МО — середня лінія трапеції ANEF; SEFCD = ON • h, де ON — середня лінія трапеції FECD. Оскільки MO = ON, то SABEF = SFECD. Що й треба було довести.


15