ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

731. Нехай у △ABC ∠C = 90°, CH — висота, АН = 3 см, ВН = 27 см. Тоді АВ = АН + НВ, АВ = 3 + 27 = 30 (см). За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику CH² = АН • ВН, CH² = 3 • 27 = 81, CH = 9 см.

У △АВС (∠C = 90°) вписано коло з центром О, яке дотикається до АВ в т. К, до АС — в т. М і до ВС — в т. N, АК = 8 см, ВК = 12 см. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: AM = АК = 8 cм, BN = ВК = 12 см, МС = CN. Позначимо довжину МС як х см, х > 0, тоді і CN — х см. У △АВС АВ = АК + ВК, АВ = 8 + 12 = 20 (см); АС = AM + NC, АС = 8 + х (см); ВС = CN + BN, ВС = 12 + х (см). За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², тоді 20² = (8 + х)² + (12 + х)², 64 + 16х + х² + 144 + 24х + х² - 400 = 0,2х² + 40х - 192 = 0, х² + 20х - 96 = 0, звідки х₁ = 4, х₂ = -24 < 0. Тоді х = 4, АС = 8 + 4 = 12 (см),