ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Нехай у заданих квадратів площі а2 і b2, тоді їхня сума а2 + b2. Нехай сторона шуканого квадрата с, його площа с2 = а2 + b2. Тоді можна побудувати прямокутний трикутник з катетами а і b, а на його гіпотенузі с побудувати шуканий квадрат. За теоремою Піфагора с2 = а2 + b2.

Площа заданого прямокутника S = аb. Тоді, якщо сторона шуканого квадрата с, то с2 = ab. Таке саме співвідношення мають висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, і проекції катетів на гіпотенузу. Тому на прямій а позначимо точку Н і по обидва боки від неї відкладемо відрізки НА = а і НВ = b. Відрізок АВ поділимо навпіл точкою О і з радіусом ОА побудуємо коло з центром О. Через точку Н проведемо перпендикуляр до АВ, точку його перетину з колом позначимо С. Квадрат із стороною СН — шуканий. СН2 = НА • НВ.

Розглянемо △BОК і △DOМ.

1. ∠BOK = ∠DOM = 90° (за умовою).

2. ВО = OD (МК — серединний перпендикуляр).

3. ∠KBO = ∠MDO (як внутрішні різносторонні при ВК ∥ MD і січній BD).

Отже, △ВОК = △DOM за катетом і гострим кутом, з цього виходить, що ОК = ОМ.

Розглянемо чотирикутник MBKD: BD і МК — діагоналі, перетинаються в т. О і цією точкою діляться навпіл. BO = OD, MO = OK, тоді цей чотирикутник — паралелограм.

BD ⟂ МК за умовою, тоді паралелограм MBKD є ромбом.


15