ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

681. a i b — сторони (сусідні) прямокутника, його площа S = ab.

1) Одну із сусідніх сторін збільшили в 3 рази, тоді b′ = 3b, тоді S′ = а • b′, S′ = а • 3b = 3ab = 3S, отже, площа збільшилась в 3 рази;

2) кожну із сусідніх сторін збільшили в 3 рази, тоді а′ = 3а, b′ = 3b, тоді S′ = а′ • b′ = 3а • 3b = 9аb = 9S, отже, площа збільшилась в 9 разів;

У △ВОC і △MOD DM = ВС, DM = AD за умовою, a AD = ВС; ∠ODM = ∠OCB як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD та січній CD; ∠ОMD = ∠OBC як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD та січній ВМ. Тоді △ВОС = △MOD за стороною і прилеглими до неї кутами. Площа паралелограма S_ABCD = S_ABOD + S_△BOC, площа трикутника S_△ABM = S_ABOD + S_△MOD, тоді S_ABCD = S_△ABM. Отже, паралелограм і трикутник рівновеликі.

684. Проведемо діагональ АС, вона перетинає діагональ BD в точці О, АС ⟂ BD. S_ABCD = АD², AD² = 10 см², АD = √10 см.

Паралельні прямі ВС і AD перетинають сторони ∠AKD так, що АЕ = ЕК, тоді KF = FD за теоремою Фалеса. Опустимо із точки К перпендикуляр КН. Тоді:

1) у прямокутних △ВЕА і △НЕК АЕ = EK, ∠BEA = ∠KEH як вертикальні, тоді △ВЕА = △НЕК, тоді S_△BEA = S_△HEK;

2) у прямокутних △КНЕ і △DCF KF = FD, ∠KFH = ∠DFC, тоді △KHF = △DCF і S_△KHF = S_△DCF. Площа прямокутника S_ABCD = S_AEFD + S_△BEA + S_△HEK, площа трикутника S_△AKD = S_AEFD + S_△KHF + S_△DCF, тоді S_ABCD = S_△AKD.

687. Оскільки необхідні квадрати площею 4 см², то їхні сторони по 2 см. Тоді вирізати можна з паперу розміром 2x6 або 3x4, оскільки їхня площа 12 см². Якщо папір розміром 2x6, то можна вирізати 3 квадрати; якщо папір розміром 3x4, то вирізати можна 2 квадрати. Із прямокутника 1x12 вирізати квадрати неможливо.

688. Вирізати квадрати зі стороною З см можна лише з паперу розміром 3x6. Таких квадратів можна вирізати 2. Із паперу розміром 1x18 або 2x9 вирізати квадрат не можна.

Якщо х — коефіцієнт їх пропорційності, тоді АD — 7х см, АВ — 2х см. S_ABCD = 4х • х = 4х². За умовою Р_ABCD = 2(АВ + AD), 2(АВ + AD) = 108, AB + AD = 54, 2х + 7х = 54, 9х = 54, х = 6. Тоді S_ABCD = АВ • АD = 2х • 7х = 14х² = 14 • 36 = 504 (см²).