ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Дано ромб ABCD, ∠B = α, коло (О; r) — коло вписане у ромб, BD і АС — діагоналі, АС ∩ BD = п. О. Нехай M, N, K, P — точки дотику кола зі сторонами ромба.

Проведемо радіуси ОК і ОМ, ОК ⟂ ВС, ОМ ⟂ AD, тоді МК — спільний перпендикуляр до ВС і AD, отже, МК — висота ромба. МК = ОК + ОМ, МК = r + r = 2r.

Проведемо висоту AF, AF = МК = 2r. Розглянемо △ABF, ∠F = 90°.

У △АВС: AC = a, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°, BH — висота. Нехай АН = х см, тоді НС = (а - х) см. У △АВH ∠BHA = 90°, ВH = AH tg ∠BAH, BH = x tg 60° = x√3. У △ВНС ∠ВНС = 90°, ∠C = 45°, тоді ВH = НС, ВН = а - х. х√3 = а - х, x√3 + х = а,

ABCD — паралелограм, РABCD = 48 см, ВК — бісектриса ∠B, AK : KD = 2 : 1. Нехай х (см) — одна частина, тоді АК = 2х (см), KD = х (см).

Оскільки ВК — бісектриса ∠B, то ∠ABK = ∠KBC.

∠CBK = ∠BKA (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній ВК), тоді ∠ABK = ∠AKB. Отже, △АВК — рівнобедрений з основою ВК, АВ = АК = 2х (см).

РABCD = (АВ + AD) • 2; AD = АК + KD, AD = 2х + х = 3х (см), (2х + 3х) • 2 = 48, 10х = 48, х = 4,8. АВ = 2 • 4,8 = 9,6 (см). Менша сторона не може дорівнювати 7 см.

∠BAC = ∠BDC = 52° як кути, вписані в коло і спираються на хорду ВС.

∠D = ∠ADB + ∠BDC, ∠D = 17° + 52° = 69°.

∠CBD = ∠CAD = 34° як кути, вписані в коло і спираються на хорду DC.

∠A = ∠BAC + ∠CAD, ∠А = 52° + 34° = 86°.

Оскільки чотирикутник вписаний в коло, то ∠А + ∠С = ∠В + ∠D = 180°, ∠А + ∠С = 180°, 86° + ∠C = 180°, ∠C = 180° - 86° = 94°, ∠B + ∠D = 180°, ∠В + 69° = 180°, ∠B = 180° - 69° = 111°.


15